数列3-数列的前n项和的求法题型归类--2023届高考数学一轮复习讲义（Word无答案）

数列3： 数列的前n项和的求法题型归类
目录
【题型一】错位相减求和 2
【题型二】 裂项相消法 7
【题型三】 分组求和法 13
【题型四】 倒序相加法 15
【题型一】错位相减求和
【典例分析】
（2021年福建G02福州）（12分）已知等比数列的公比，满足：，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值．
【2021年乙卷文科】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
3. （2021·六盘山高级中学高二月考）设等差数列中，，各项均为正数的数列的前项为，已知点在函数的图像上，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和为．
4.（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知①；②；③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为， ，，对都有成立.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
5.（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考）已知数列满足，，设.
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和.
6. （2021·辽宁阜新·高二期末）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
7. （2021·全国高二课时练习）已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列， 公比q∈(0，1).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
8.（2021·全国高二专题练习）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
9. （2021·全国高二专题练习）数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设bn＝3n×，求数列{bn}的前n项和Sn.
10. （2021·全国高二专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an.
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）设bn=（2n）an，求数列{bn}的前n项和Tn.
11. （2021·全国高二专题练习）设数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
12.（2021高三数学冲刺原创卷）已知是首项为1的单调递增的等差数列，其中，，成等比数列．的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
13. （2022河南省顶级名校高三上学期9月联考）已知数列、满足：且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求．
【提分秘籍】
基本规律：这个规律很重要，所以上课的时候会以模版的形式和大家在这里归纳：
（到时候详细的在这里写）
（以上为留空）
【变式演练】
已知单调递增的等比数列｛an｝满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若bn=,sn=b1+b2+┉+bn，求sn+n >50成立的正整数 n的最小值。
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝nan，求证：b1＋b2＋…＋bn＜.
（2021年广东G16）(12分)已知数列是等差数列，是前项和，且.
(1)求数列的通项公式。
(2)记，数列的前项和为，求的取值范围.
已知等比数列的公比为，前项和为，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
已知各项均不为零的数列的前n项和为,且对任意的n∈N*,满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足,数列的前n项和为,求证：.
（2021年河北G01五个一名校联盟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝-8，S6＋a5＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn＝2n＋1，求数列{|an|·bn}的前n项和Tn．
（2021年广东G13广州）（本小题满分12分）设是公比大于1的等比数列，，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
已知是等差数列，是等比数列，，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）的前项和为，求证：.
数列的前项和，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）求的前项和.
（2021年福建G03福州）(12分)已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
已知数列的前项和为，，当时，.
（Ⅰ）求，和通项；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
已知数列{}的前n项和为,且=2，n=2(n+1)
（1）记，求数列{}的通项公式；
（2）求通项及前n项和.
已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2) 设，求数列的前项和的最小值.
【题型二】 裂项相消法
【典例分析】
（2021·全国高二课时练习）数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＋S4＝0，b9＝a1.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Wn.
2. （2021·全国）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
3. （2021·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列，求数列的前项和．
4. （2021·内蒙古集宁一中（文））等差数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
5. 设正项数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
已知数列满足，，设.
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前n项和.
已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设梯形的面积是，求证：．
在①；②；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项数列的前项和为，，满足 .
(1)求的通项公式；
(2)若为数列的前项和，记，求证：.
已知，求数列{bn}的前项和Tn.
已知等比数列的前n项和为Sn，，.
（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和Tn.
已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，Sn为an与的等差中项．
(1)求证：数列{S}为等差数列；
(2)设bn＝，求{bn}的前100项和T100.（an＝－）
【提分秘籍】
基本规律：（上课补充）
1分式裂项：
2根式裂项：
3 指数型裂项：
【变式演练】
1．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知数列，其前项和记为，满足，.
（1)求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2．（2021·江西上高二中高二月考 ）设数列前项和为，若，且
(1)求的通项公式
(2)设，求前项的和.
3．（2021·辽宁阜新·高二期末）在等差数列中，是数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若______，求数列的前项和.（在①；②两个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）
4．（2021·全国高二单元测试）已知等比数列的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，等差数列满足b2＝5，b6+b8＝30．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
5．（2021·全国高二专题练习）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足，S7＝63.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.
6．（2021·河南信阳高中高二月考）已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）求证：.
7. 已知数列的前项和为，且满足，，（），
记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为 ．
8. 已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；（，；）
（2）设，数列的前项和为，求证：.
设为各项不相等的等差数列的前n 项和，已知，．
（1）求数列{}的通项公式；（）
（2）若，数列{}的前n 项和为Tn ，求的最小值。
已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为，
且.
（1）求数列和数列的通项和；（，；）
（2）设，证明：.
等比数列的各项均为正数，且。
（I）求数列的通项公式；（）
（II）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
【题型三】 分组求和法
【典例分析】
1．（2021·全国高二专题练习）数列的前n项和为，则（ ）
A．1010 B．－1010 C．2020 D．－2020
2．（2021·全国高二专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
3．（2021·全国）已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－2(n∈N*)．
（1）求证：数列{an＋n－1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
4（2021·全国高二专题练习）求和：．
5．（2021·全国高二专题练习）在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
6．（2021·全国高二专题练习）各项均为正数的等比数列{an}，a1＝1，a2a4＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N＋)．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
7．（2021·全国高二课时练习）已知等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列为正项数列时，若数列满足，求数列的前项和．
8. 设数列是公比为正数的等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
9. 已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列前项和．
10. （2021年福建G05宁德）（12分）已知等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【提分秘籍】
基本规律：分组求和是一种思想，并没有技巧。。。
【变式演练】
（略）
【题型四】 倒序相加法
【典例分析】
1（2021·全国高二课时练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）已知函数，数列为等比数列，，，则______．
3．（2021·全国）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．
4（2021·全国高二课时练习）设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．
（2021·全国高二专题练习）函数f(x)＝(x∈R)，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝______，若n∈N*，
【提分秘籍】
基本规律：是一种思想，并没有技巧。。。
【变式演练】
（略）