直线专题：与直线有关的最值问题
一、距离公式
1、点到点的距离公式
平面内两点，间的距离公式为：.
2、点到直线的距离公式：点到直线的距离.
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，
它们之间的距离为：
二、点关于直线的对称
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，
则
（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为
三、线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.
题型一 两点间距离最值问题
【例1】设的最小值为_______.
【答案】
【解析】从几何意义看，
+表示点到点和距离的和，
其最小值为和两点间的距离.
故答案为：
【变式1-1】已知x，y∈R，，则S的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，
如图所示：
由图象知：，
当点P在线段AB上时，等号成立，
所以S取得最小值为2．故选：B
【变式1-2】已知实数x，y，则的最小值是______.
【答案】
【解析】如图所示，设点，，，，，
则.
因为，，
所以（当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立）．
所以的最小值是．
故答案为：
【变式1-3】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】表示点到点和点的距离之和．
因为点关于直线的对称点为，
所以m的最小值为点与点之间的距离，
即．
此时点为与的交点.故选：C
【变式1-4】直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】因为与的交点坐标为
所以，
当时， ，
所以的最大值是，故选：B.
题型二 点到直线的距离最值问题
【例2】已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．
【答案】
【解析】联立方程，解得：，
故交点坐标为，直线l经过点，
则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，
且.
【变式2-1】若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点在直线上，
则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，
即，故选：C
【变式2-2】设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解析】，
所以表示直线上的点与点的距离，
所以最小值为.故选：C.
【变式2-3】设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
【变式2-4】已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．故选：A
题型三 线段和的最值问题
【例3】已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.故选：B.
【变式3-1】已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【解析】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，
显然，直线垂直平分线段，
则有，
当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
【变式3-2】设，求的最小值是_______.
【答案】
【解析】，
即d可看作点和
到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
【变式3-3】已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则直线的方程为，
由，
所以，
设，
则表示直线上的点与连线的距离之和，
所以的最小值为.
故选：C
【变式3-4】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D
题型四 线段差的最值问题
【例4】已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
作点关于轴的对称点，
由对称性可知，则.
当、、三点不共线时，由三角形三边关系得；
当、、三点共线时，.
所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
此时，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
在直线的方程中，令，解得，即点.
故选：D.
【变式4-1】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是.
故选：A
【变式4-2】已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】如图，作B关于l的对称点，设，
则，解得，所以．
因为与B关于l对称，所以，
所以，
当且仅当P为与l的交点时取等号．
所以的最大值为.
【变式4-3】已知点在直线上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
∴，又，
∴.
故选：C直线专题：与直线有关的最值问题
一、距离公式
1、点到点的距离公式
平面内两点，间的距离公式为：.
2、点到直线的距离公式：点到直线的距离.
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，
它们之间的距离为：
二、点关于直线的对称
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，
则
（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为
三、线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.
题型一 两点间距离最值问题
【例1】设的最小值为_______.
【变式1-1】已知x，y∈R，，则S的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【变式1-2】已知实数x，y，则的最小值是______.
【变式1-3】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【变式1-4】直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
题型二 点到直线的距离最值问题
【例2】已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．
【变式2-1】若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2-2】设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【变式2-3】设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型三 线段和的最值问题
【例3】已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【变式3-1】已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．10
【变式3-2】设，求的最小值是_______.
【变式3-3】已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
题型四 线段差的最值问题
【例4】已知点，，在轴上找一点使最大，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【变式4-3】已知点在直线上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
