2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第24讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 精品讲义（Word含答案）

第24讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝.
考点1 公式的直接应用
[名师点睛]
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例]　
1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
[举一反三]　
1．（2022·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．
10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．
考点2 三角函数公式的逆用与变形用
[名师点睛]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[典例]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A． B． C． D．
[举一反三]　
1．（2022·江苏·高三专题练习）的值为（ ）
A．1 B．0 C．-0.5 D．0.5
2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·高三专题练习）（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·重庆·三模）___________.
7．（2022·全国·高三专题练习）的值等于_________.
8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.
9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）______．
10．（2022·全国·高三专题练习）________.
考点3 角的变换与名的变换
[名师点睛]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
3.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[典例]　
1．（2022·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍.
A．1 B． C． D．
3．（2022·湖南株洲·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则_______；_______.
8．（2022·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．
9．（2022·江苏·模拟预测）已知，则_________．
10．（2022·广东·三模）已知，则___________.
11．（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值
第24讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝.
考点1 公式的直接应用
[名师点睛]
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例]　
1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
，，，
，，，，
.
故选：C.
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，，所以，
所以＝.
故选：D．
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
即，，
∵，∴，即，
∴．
故选：D．
4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】.
故选：A．
[举一反三]　
1．（2022·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】角的终边过点，，
.
故选：B.
2．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，得，
所以，
故选:B.
3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，
故点的横坐标为，
点的纵坐标为，
故点的坐标为.
故选：B.
4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由两角差的正弦公式展开可得：，则，
所以.
故选：A.
5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，由图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，可得，
因为，可得，
所以，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
6．（2022·海南海口·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由题意得，．
故选:A
7．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】因为，，
所以，故A正确；
因为，
所以
所以
，故B正确；
，
，
由得，，解得；故C不正确；
由得，，解得；
，故D不正确.
故选：AB.
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．
【答案】 1
【解析】
故答案为：，1．
9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．
【答案】
【解析】由得，又，所以，
因为，，，所以，
因为，
所以．
故答案为：
10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．
【答案】
【解析】解：∵，∴．
故答案为：.
考点2 三角函数公式的逆用与变形用
[名师点睛]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[典例]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式=.
故选：D.
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
所以，
整理得：，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：B
3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】解：∵tan20°+msin20°，
∴m
4
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－.
又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝，∴ C＝.
故选：C
[举一反三]　
1．（2022·江苏·高三专题练习）的值为（ ）
A．1 B．0 C．-0.5 D．0.5
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
,
即，则，
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，故，
则
.
故选:D.
4．（2022·浙江·高三专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为，
故选项A错误；
因为，
故选项B错误；
因为，
所以，
故选项C正确；
因为，
所以，
故选项D正确；
故选：CD.
6．（2022·重庆·三模）___________.
【答案】
【解析】解：原式=.
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）的值等于_________.
【答案】
【解析】
故答案为：
8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.
【答案】（答案不唯一）．
【解析】由题意，
因此（实际上）．
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）______．
【答案】1
【解析】因为，
所以．
故答案为：1
10．（2022·全国·高三专题练习）________.
【答案】2
【解析】因为，
又，所以，
所以.
故答案为：2.
考点3 角的变换与名的变换
[名师点睛]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
3.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[典例]　
1．（2022·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：令，，则或，
令，，则，
又，，
所以，，，，
因为，，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】均为锐角，即，，
，又，
，
又，.
故选：C.
3．（2022·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，且，得，
则，，，
.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴；
∵，∴，又，∴
∵，∴
∵，∴，
∴，
∴.
故选：B.
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，又，故，
则，
故
.
故选：C.
2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍.
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意可得，，
所以，
即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
3．（2022·湖南株洲·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，故，
所以，，
故，因此，.
故选：C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由已知可得，
，，，.
故选：A.
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】解：因为，，其中，为锐角，
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选：AC．
6．（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则_______；_______.
【答案】 3
【解析】因为，，所以，
所以，因为，
所以
所以，
故答案为：3；.
8．（2022·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】因，即，又，则，
所以.
故答案为：
9．（2022·江苏·模拟预测）已知，则_________．
【答案】
【解析】由，可得，
因为，所以，所以，
又由
.
故答案为：.
10．（2022·广东·三模）已知，则___________.
【答案】
【解析】原式
.
故答案为：.
11．（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解】（1）因为为锐角，，
所以，
所以；
（2）因为，为锐角，所以，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，，
所以