数学北师大版选修1-1：2.3.1双曲线及其标准方程 教案

2.3.1双曲线及其标准方程
【教学目标】
掌握双曲线的定义，图形，以及标准方程的推导过程。
掌握双曲线的标准方程，以及与椭圆标准方程的区别与联系。
会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。
通过双曲线的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
【教学重点】：双曲线的定义及其标准方程．
【教学难点】：双曲线标准方程的推导．
【教学过程】
一、复习旧知、情景导入、：
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹叫做椭圆。
即：|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
二、合作探究、创设情境：
【问题1】将拉链的下端分别固定在上，拉动拉锁，若把拉锁看着一个动点的话，动点 满足什么几何条件？的轨迹是什么？
学生探究得出结论：动点满足的几何条件: . 的轨迹是线段 的垂直平分线.
【问题 2】在问题1中，若将拉链的右支截去5cm后重新固定在处,拉动拉锁，此时动点 满足什么几何条件？此时动点的轨迹是一条什么样的曲线呢？
学生探究得出结论：动点满足的几何条件:
【追问】我们已经知道：满足 的动点的轨迹是椭圆;那么满足 的动点的轨迹是一条什么样的曲线呢？
学生讨论，教师播放视频。
【问题 3】在问题1中，若将拉链的左支截去5cm后重新固定在处,拉动拉锁，此时动点 满足什么几何条件？此时动点的轨迹又是一条什么样的曲线呢？
学生探究得出结论：动点满足的几何条件是
【追问】那么满足 的动点的轨迹又是一条什么样的曲线呢？
学生讨论，教师继续播放相关视频。
【问题4】若把这两条曲线看作是一个动点形成的轨迹，此时动点满足的几何条件又是什么呢？
动点满足的几何条件:
【追问】那么动点 的轨迹是一条什么样的曲线呢？
得出结论：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.
【探究1】探究距离差与 的关系
（1）若距离差为0,则轨迹是什么？
线段F1F2的垂直平分线
（2）若距离差< ,则轨迹是什么？
双曲线
（3）若距离差= ,则轨迹是什么？
两条射线F1P、F2Q。
（4）若距离差> ,则轨迹是什么？
无轨迹
三、理论构建：双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
动点满足的几何条件：（ 常数（小于 ））
【概念中几个关键词】
（1）必须在平面内;
（2）距离的差的绝对值是常数;
（3）常数小于
四、直观感受
生活中的双曲线，双曲线在日常生活中很常见，特别是在建筑学上，因此，我们很有必要推导双曲线的标准方程。
五、探究双曲线的标准方程推导
类比椭圆标准方程的推导过程，来一步步推导双曲线的标准方程。
（1）建系
以 所在的直线为 轴，线段垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系.
（2）设点
设为双曲线上任意一点，设，则
又设点与 的距离的差的绝对值等于常数 .
（3）列式
（4）化简
移项得
平方整理得
再平方得
由双曲线定义知：即
令
代入上式，得
即
（5）验证
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程，有推导逆过程可知，以方程的解为坐标的点到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为,由此，方程是曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是
【问题6】
双曲线的焦点 在轴上的标准方程是什么
学生探究得出焦点在轴上的双曲线方程为：
六、双曲线两种标准形式的对比
定义
图形
方程
焦点
a,b,c 的关系 ，但是 不一定大于 ，
【问题7】
双曲线的标准方程有何特点？
方程的右边是“1”.
方程的左边是与的平方差的形式.
【问题8】
如何判断焦点在哪个轴上？
学生讨论得出：看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
【问题9】
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系
列表：双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 双曲线
定 义
方 程
焦 点
a,b,c 的关系 ，但是 不一定大于 ，
学生讨论得出结论：
相同点：
焦点坐标相同，焦距相等.
的大小满足勾股定理
不同点：
椭圆中最大，并且，在双曲线中最大，并且.
椭圆方程中“+”连接，双曲线中“-”.
判断焦点位置方法不同，由方程定焦点：椭圆看大小，双曲线看符号。
七、课堂练习
1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是
3、设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是 .
4、如果方程表示双曲线，则m的取值范围是 __________
八、课堂小结
1.双曲线的定义： 常数（小于
双曲线 1.焦点在x轴上：
2.双曲线的标准方程: 2.焦点在y轴上：
3.应用
九、课后分层作业
必做题：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点(3，－4)和(，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
选做题：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)；
(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)．
思考探究题：双曲线的焦点三角形问题
设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．
(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；
(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？
十、课后反思