数学人教A版（2019）必修第一册4.2.1指数函数的概念 教案（表格式）

4.2.1指数函数的概念
教学内容分析： 指数函数刻画了现实事物中增长率或衰减率为常数的变化规律，它的一般形式是，其中是自变量，定义域为Ｒ。抽象是指数函数概念形成的基本方法，通过运算发现代数规律，得到增长率或衰减率是常数，从而抽象出函数关系，归纳指数函数的概念。函数的一般概念和性质是指数函数研究的上位，指数幂及其运算是指数函数研究的基础。在层层递进的精确化过程中，形成数学概念，发展学生数学抽象的素养。借助图象和运算，研究指数函数，学会用数学的方式研究一类变化规律，用数学的语言表达规律。
教学目标： 1.通过具体的实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念与意义。 2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 3.通过学习指数函数的概念和意义，锻炼数学抽象素养；借助指数函数的实际应用，提升数学建模和数学运算素养。
教学重难点： 1.重点：指数函数的概念。 2.难点：指数函数概念的形成过程。
教学用具：PPT、平板、制图软件等
教 学 过 程
教学环节及内容 设计意图
1.创设情境、导入新课 上一章我们学习了函数的概念和基本性质，然后研究了一类特殊的基本初等函数—幂函数，那么我们是如何研究幂函数的？今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数——指数函数。首先我们来看几个情境实例。 问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 时间/年A地景区B地景区人次/万次增长量人次/万次增长量增长率（保留两位小数）200160027820026099309310.11200362011344350.11200463111383390.11200564110427440.1120066509475480.11200766111528530.11200867110588600.11200968110655670.11201069110729740.11201170211811820.1120127119903920.1120137211010051020.1120147321111181130.1120157431112241260.11
探究１请同学们观察表格中的数据，比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 追问1：你能用数学方法来描述这种变化吗？ 追问2：为了便于观察，用光滑的曲线连接起来，观察图象，你发现了怎样的变化规律？ 追问3：你能从增加量上发现什么规律了吗？你能用函数关系表示吗？ 师生活动：对于景区A,设年份为自变量，游客人次为因变量，则 追问4：那Ｂ地呢 它的年增加量越来越大，依然是一种定性的刻画，能不能像Ａ地一样，从定量的角度来表达它的变化规律？数学上，除了用增长量刻画数据的增长情况，还有什么数值能刻画数据的增长情况呢？ 探究2我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？ 师生活动：2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，结果表明是一个常数，我们可以将1.11-1=0.11称之为年增长率。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。 探究3写出Ｂ地景区人数变化规律的函数解析式。 师生活动：１年后，游客人次是2001年的倍； ２年后，游客人次是2011年的倍； ３年后，游客人次是2011年的倍； …… 年后，游客人次是2011年的倍。 如果设经过年后的游客人次为2011年的倍,那么。这是一个函数，其中指数是自变量。 小结：通过图象呈现，数据分析，我们通过运算得到增加量、增长率这两个量，得到两个景区游客变化的函数关系式，他们同为增长，但Ａ地用一次函数刻画线性增长，Ｂ地用一个新的函数来刻画的指数增长。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量。 问题2（“三星堆”考古发现）当生物死后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 追问：若设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，你能刻画死亡生物体内碳１４含量与死亡年数之间的关系吗？ 师生活动：如果刚死亡时碳14含量为1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为; 死亡2年后，生物体内碳14含量为; 死亡3年后，生物体内碳14含量为; ...... 死亡5730年后，生物体内碳14含量为; 根据已知条件，从而 。 所以设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，则 2.抽象特征、形成概念 问题3比较上述两个实例，B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？ 师生活动：从数据看，它们的变化率（增长率、衰减率）是常数，从解析式看，如果用代替底数，则它们都是的形式，这就是我们今天要学习的一类新函数，指数函数。教师板书指数函数定义：一般地，函数（）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R。 追问：为什么？它与我们学过的哪类函数有些相似，区别是什么？ 师生活动：指数函数的自变量在指数位置，而幂函数的自变量在底数位置。在指数函数中，当时，（）还可以表示为，其中表示增长率；（）还可以表示为，其中表示衰减率。因此，指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型。 3.概念应用、加深理解 例1已知函数（），且，求的值。 师生活动：由学生独立完成，并请学生代表板书讲解。 例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况。 （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 师生活动：问题（1）请学生说说看怎么分析这个问题，首先一个难点是列出两地的函数关系式，其次是比较大小。由于两个函数都较复杂，所以需要叫做图形计算器画计算机来画图。这些对于县中学生来说都是挑战。因此，这里由教师借助几何画板作图，然后师生共同合作来完成。问题（2）难度不大，但是同样需要借助计算器来计算。 4.课堂总结、提炼升华 （1）我们是如何引出指数函数概念的？ （2）什么样的函数是指数函数，其解析式有什么特征？ 5.板书设计、总览提纲 4.2.1指数函数的概念 1、问题1 电子白板4、例12、问题25、例23、定义：6、指数增长模型
6.目标检测、练习巩固 教材p115练习题1、2、3 7.作业布置、巩固提高 习题4.2 第2、4、8题 复习回顾，导入新课，引出课题 学生直观感知表格中数据的变化规律，建立初步认识。教师在学生回答的基础上追问，引导学生观察图象，从形到数，回归数与数之间的运算。类比年增加量，迁移运算思路，从对给出的数据的认识，抽象到对数学运算的认识。 通过问题串，启发学生思维。引导学生经历从表格到图象，再到解析式的研究过程，分析游客人次的增长倍数与年份之间的关系，体验数学函数模型的抽象过程，体会函数模型的发生发展过程，学会研究问题的一类方法。 两个实例侧重点不同，实例１重在体验函数模型的形成发生过程，实例２重在数学化过程，所以在处理方法上也应有所区别，体现层次性。 不直接给出概念，学生先自己发现共性并尝试归纳。通过对定义域的讨论，来抛出问题：对底数的要求，一方面充分发挥了学生的主观能动性，另一方面可以巩固前一节根式的相关内容。 例1是对函数概念的理解和应用。 例2（1）中引导学生体会增长模型的增长速度，（2）中引导学生体会衰减模型的衰减速度，从而对指数函数的图象形成初步的认识，为下一课做铺垫。两道例题都是教材理的，例1是基础题，而例2有一定难度，这里选择继续采用的目的是培养学生的建模意识，以及提高学生应用数学解决实际问题的能力。