2021-2022学年青岛版九年级数学上册3.1.1圆的对称性 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
3.1.1圆的对称性
1.圆是轴对称图形，经过_______的每一条______都是它的对称轴。
圆心
直线
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及___________________。
平分弦所对的两条弧
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
O
A
C
B
N
M
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
结论
练习1.判断题
(1)直径是弦 . (2)弦是直径.
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
(6)长度相等的两条弧是等弧.
A
C
E
F
G
H
弧长
FE
=
3.84 cm
弧长
HG
=
3.84 cm
(对)
(错)
(错)
(对)
(对)
(错)
思路：
与证明相似三角形的判定定理 1，2 类似，如果能在△ABC 中用平行于 BC 边的直线截得一个△ADE，使它与△A'B'C' 全等，并与△ABC相似，问题就可以解决。
看一看
B
.
O
C
A
E
D
O
.
C
A
E
B
D
AE≠BE
AE＝BE
AB是⊙O的一条弦
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
●O
C
D
M└
A
B
题设
结论
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
　AD =BD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
知识拓展：
所对圆心角大于180°的圆弧叫做优弧。
与优弧相对的是"劣弧"，即小于180°的弧。
同弧或等弧所对圆周角相等。
半圆既不是优弧也不是劣弧，而是与其并列的一个概念。
也就是说圆弧分三类，优弧、劣弧、半圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
总结：
1.圆的对称性:圆的对称性有无数条；圆的对称线是直径所在的直线，而不是直径。
2.垂径定理：在垂径定理中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分这条弦；④平分这条弦所对的劣弧；⑤平分这条弦所对的优弧。
随堂检测
1. P是⊙O半径上一点，OP = 5, 经过点P的最短的弦长为24, 则⊙O的半径为 _______.
（2）如图3-1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P，若AP∶PB = 1∶4, CD = 8, 则AB 的长为= _______.
（3）如图3-2，⊙O的半径为25cm，弦AB = 48cm, OD⊥AB于C交⊙O于D, 则AD = _____ .
13
10
30
(4) 已知：、是⊙O的两条劣弧，且= 2，则弦AB与CD之间的关系为（ ）
A. AB = 2CD B. AB < 2CD
C. AB > 2CD D. 不能确定
(5) 下列说法中，正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的弧相等
B
C
1.“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-3，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（ ）.
A. 12.5寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
D
2.已知：如图3-4，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O的半径.
3.已知：如图3-5，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.