2.5 一元二次方程的应用（2）教案

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2.5一元二次方程的应用(2)教案
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课 题 一元二次方程应用(2) 章节 2.5 学科 数学 年级 九
教材分析 这节课教学运用一元二次方程模型解决几何图形中的有关问题，体会根据几何图形的性质和公式，建立一元二次方程模型解决图形中有关线段或与线段有关（如运动时间）的问题的方法.
核心素养分析 本节课核心素养包括：①运用一元二次方程解决几何图形的面积问题；②运用一元二次方程解决动点问题；③掌握运用一元二次方程解决几何图形问题的方法：设好未知数并用未知数表示相关线段，根据图形的性质和公式（如面积公式）列出一元二次方程；④结合图形性质确定实际问题的正确答案.
教学目标 1. 能运用一元二次方程解决与面积相关的问题. 2. 能运用一元二次方程解决动点问题. 3. 提高学生综合分析问题、运用方程解决问题的能力. 4. 体验借助一元二次方程实现数形结合的应用价值.
教学重点 1. 运用一元二次方程解决与面积相关的问题. 2. 运用一元二次方程解决动点问题.
教学难点 1. 分析实际问题中所涉及的等量关系，列出适当的二元一次方程； 2. 掌握列一元二次方程解决几何图形的技巧，注意根据实际确定答案.
教 学 活 动
一、复习铺垫 （一）说一说： 1、 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？这些步骤中，应注意些什么？ 2、 利用一元二次方程求变化率问题、利用一元二次方程解决利润问题的过程中，所涉及的等量关系分别有哪些？ （二）导入：如何利用一元二次方程解决几何图形中的问题呢？ 二、教学新知 探究问题：如图，在一长为40m、宽为28m的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子. 若已知长方体盒子的底面积为364cm ，求截去的四个小正方形的边长. 1、 分析：将铁皮截去四个小正方形后，可以得到右图.这个长方形盒子的底面积就是右图中的阴影部分，因此本问题涉及的等量关系是： 盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽. 2、 设未知数，列方程： 设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面长与宽分别为(40-2x) cm， (28-2x)cm，根据等量关系，可以列出方程 (40-2x)(28-2x)=364. 即 2(20-x)·2(14-x)=364. 3、 解方程： 程两边都除以4，得 (20-x)·(14-x)=91. 去括号并整理，得 x -34x+189=0. 解得 x =27，x =7. 4、 检验，写出实际问题的答案. 如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左上角和右上角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长度(40cm).因此x1=27不合题意，应当舍去. 因此，截去的小正方形的边长为7cm. 说明：通过本问题的教学，学生能够体会到列一元二次方程解决几何图形问题的一般方法：设恰当的未知数，并用这个未知数表示相关的线段，再根据图形的性质和计算公式列出方程，最后几何图形确定答案. 三、讲解例题 例3 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m ，求道路的宽. 分析 虽然“整个矩形的面积－道路所占面积=绿化面 积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算！若把道路 平移到矩形的边缘，则此时绿化部分就成了一个新的矩形 了(如图所示)，再由本题涉及到的等量关系： 矩形的面积=矩形的长×矩形的宽，就可建立一个一元二次方程. 解 设道路宽为xm，则新矩形的长为(32-x)m，宽为(20-x)m. 根据等量关系得方程 (32-x)(20-x)=540. 整理，得 x -52x+100=0. 解得 x =2，x =50(不合题意，舍去). 答：道路宽为2m. 说一说 为什么x=50不合题意？ 生：因为道路宽不可能超过矩形的长，不可能超过矩形的宽. 讨论：如何运用一元二次方程解决面积问题？ Ppt：运用一元二次方程解决面积问题的方法： ①根据问题设一条线段的长(如设为x)； ②用含x的代数式表示底和高(或长和宽等)； ③根据图形，选择面积公式列出一元一次方程； ④解一元二次方程，并根据图形确定实际问题的解. 例4 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm 分析 设点P，Q出发的时间为xs，然后用含x的代数式表示△PCQ 的直角边PC，CQ的长，即可结合直角三角形的面积公式根据等量 关系列出一元二次方程求解. 解 设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm .根据题意得 AP=xcm， PC=(6-x)cm，CQ=2xcm. 则由S△POQ=PC·CQ可得 (6 x) 2x=9. 整理，得 x -6x+9=0. 解得 x =x =3. 答：点P ，Q出发3秒后，可使△PCQ的面积为9cm . 讨论：如何运用一元二次方程解决动点问题？ Ppt：运用一元二次方程解决动点问题的方法： ①设运动时间为x(单位：min、s等)； ②根据路程=速度×时间，用含x的代数式表示相关线段的长； ③根据图形的性质和公式列出一元二次方程； ④解一元二次方程，并根据图形确定实际问题的解. 四、巩固练习 1、 (江西模拟)如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m、宽为20m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为am的通道.若花圃的面积恰好等于264m ，则通道的宽a= m. 【答案】4 【点拨】本根据图形可列方程：(30-2a) (20-2a)=264，将方程整理后，即可结合实际求出问题的解. (天宁区月考)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动，且当点P到达点B时，点Q也停止运动，当△PQC的面积等于16cm时，运动时间为 s. 【答案】2 五、课堂总结 1、如何运用一元二次方程解决面积问题？ PPT：①根据问题设一条线段的长(如设为x)； ②用含x的代数式表示底和高(或长和宽等)； ③根据图形，选择面积公式列出一元一次方程； ④解一元二次方程，并根据图形确定实际问题的解 2、 如何运用一元二次方程解决动点问题 PPT：①设运动时间为x(单位：min、s等)； ②根据路程=速度×时间，用含x的代数式表示相关线段的长； ③根据图形的性质和公式列出一元二次方程； ④解一元二次方程，并根据图形确定实际问题的解. 六、作业布置及指导 课后练习第52页第1、第53页2题： 1、 如图，在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分绿化.若要使绿化面积为7644m ，则道路的宽应为多少米 分析 把两条道路平移到矩形边缘，得到绿化部分是一个新的 矩形，再利用矩形的面积公式：面积=长×宽，即可列出一元 二次方程求解. 解 把道路平移得到新的矩形如图，设道路宽为xm，则新矩形的长为(100-x)m，宽为(80-x)m. 根据等量关系得方程 (100-x) (80-x)=7644. 整理，得 x -180x+356=0. 所以 (x-2)(x-178)=0. 解得 x =2，x =178(舍去). 答：道路宽为2m. 2、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为△ABC 面积的一半 解 设点P，Q出发x秒后，可使△PCQ的面积为△ABC 面积的一半.由题意得 S△ABC=AC·BC=×8×6=24(cm ). S△PCQ=PC·CQ=(8 x)(6 x)(cm ). ∴ (8 x)(6 x)=×24. 整理，得 x -14x+24=0. 因式分解，得 (x-2)(x-12)=0. 解得 x =2，x =12(舍去). 因此，点P，Q出发2秒后，可使△PCQ的面积为△ABC 面积的一半.
板书设计 2.5 一元二次方程的应用(2) 1、 运用一元二次方程模型解决面积问题； 2、 运用一元二次方程解决动点问题； 3、 用一元二次方程解决几何图形问题的方法： ①设好适当的未知数； ②用所设未知数表示有关线段； ③根据图形性质及公式(如面积公式)列出一元二次方程； ④解方程，根据图形和题意确定正确的答案.
课后反思
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