高二数学人教A版2019选择性必修第一册 1.1空间向量及其运算 精品讲义（Word版含答案）

1.1空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
例2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
例3．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
例6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
例7．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC BD EF，点E F G分别是BC CD DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
例11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
【技巧总结】
在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．
题型二：共线向量定理的应用
例12．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知O A B C D E F G H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A B C D四点共面，E F G H四点共面；
(2)；
(3).
例14．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
例15．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
例16．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【技巧总结】
利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
题型三：共面向量及应用
例17．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）例18．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例19．（2021·全国·高二课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面ABCD．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量不共面，且，判断向量是否共面，并说明理由.
例22．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
例23．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
例24．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
例25．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【技巧总结】
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
题型四：空间向量的数量积
例26．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
例27．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
例28．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
【技巧总结】
向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例29．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
例30．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
例31．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
例32．（2021·山东山东·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
例33．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【技巧总结】
本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例34．（2021·河北省博野中学高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)求；
(2)求．
例35．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.
例36．（2021·全国·高二课时练习）如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．
(1)求；
(2)求点，间的距离．
例37．（2021·河北·滦南县第一中学高二阶段练习）如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
【技巧总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例38．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
例39．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【技巧总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·101中学高二期末）在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量的模是3 B．、、两两垂直
C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线
10．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量与满足＋＝，则.
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.
11．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
12．（2022·福建南平·高二期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．为直线的方向向量
D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
14．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
16．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知 是不共面的向量，且，，，.
(1)判断P A B C四点是否共面；
(2)能否用 表示？并说明理由.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
(2)求对角线的长．
20．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱AD，的中点，设，，，试分别用，，表示，．
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
22．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值
1.1空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.
【详解】
对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
例2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】
空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则 的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
故选：D.
例3．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
例4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.
【详解】
因为，
，
所以有，因此，
故选：C
例5．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果.
【详解】
对于①，；
对于②，
；
对于③，；
对于④，.
故答案为：②④.
例6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
【答案】 ，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，， 不共面
【解析】
【分析】
对于(1)(2)(3)，根据题意，结合空间向量的概念与长方体的性质，即可求解；
对于(4)(5)，根据共线向量的判定，结合图象即可求解.
【详解】
(1)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，．
(2)与相等的向量有，，．
(3)的相反向量为，，，．
(4)的共线向量（平行向量）为，，，，，，．
(5)因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面．
故(1)答案为：，，，，，，，；
(2)答案为：，，；
(3)答案为：，，，；
(4)答案为：，，，，，，；
(5)答案为：不共面.
例7．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)
【答案】
【解析】
利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．
【详解】
，，，，．
．
故答案为：
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
【答案】(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.
（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.
（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.
(1)
解：的相等向量有：，，；
的负向量即相反向量有：，，，.
(2)
由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）
(3)
由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC BD EF，点E F G分别是BC CD DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
【答案】(1)，作图答案见解析
(2)，作图答案见解析
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算求解.
(1)
解：；
向量如图所示.
(2)
因为点E F G分别为BC CD DB的中点.
所以，，
所以.
向量如图所示.
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，结合向量减法法则求解；
（2）根据向量加法法则求解即可；
（3）根据向量加法法求解即可.
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
例11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
(1)因为M、N、P分别是、BC、的中点
所以，；
；
；
(2)因为，所以，所以．
【技巧总结】
在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．
题型二：共线向量定理的应用
例12．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得.
【详解】
因为正方体中，，
设，又，
所以，即，
因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.
故答案为：.
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知O A B C D E F G H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A B C D四点共面，E F G H四点共面；
(2)；
(3).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
(1)因为，，
所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，
因为有公共点，有公共点，
所以A B C D四点共面，E F G H四点共面，
(2)因为
，
所以；
(3)
例14．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
【答案】共线.
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【详解】
因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
例15．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设分别表示出,
，利用向量共线证明B，G，N三点共线．
【详解】
设
则
所以,
∴.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
例16．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
求出后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线．
【详解】
，而，
所以，故B，C，D三点共线．
【技巧总结】
利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
题型三：共面向量及应用
例17．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】
对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
（多选题）例18．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据向量共面定理判断．
【详解】
，A选项中向量共面；
，B选项中向量共面；
假设，，共面，
则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；
同理D选项中向量也不共面．
故选：AB．
例19．（2021·全国·高二课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面ABCD．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【解析】
【分析】
（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面；（2）利用共线向量定理，可得：∥，∥，从而利用面面平行的判定定理即可证明.
(1)
证明：因为从所在平面外一点O作向量，，，，所以，所以
故，，，四点共面，证毕.
(2)
证明：，从而∥，
∵平面，平面
∴∥平面
由（1）知：∥，
同理可证：∥平面
因为
所以平面ABCD∥平面
证毕.
例20．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
【答案】共面
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，化简得到，结合空间向量的共面定理，即可求解.
【详解】
根据空间向量的运算法则，可得：
，
又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量不共面，且，判断向量是否共面，并说明理由.
【答案】共面，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据向量共面定理，假设共面，则存在实数，使得.
【详解】
假设共面，则存在实数，使得，
则，
∵不共面，∴即故向量共面.
例22．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过证明来证得四点共面.
（2）利用空间向量运算证得结论成立.
(1)
.
,
所以，所以四点共面.
(2)
.
例23．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
【答案】(1)；
(2)是.
【解析】
【分析】
（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
(1)
解：∵，
，
∴.
(2)
解：由（1）可知，，
∴向量与向量，共面.
例24．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
【答案】（1）共面；（2）点在平面内.
【解析】
【分析】
（1）由向量的线性关系可得，由向量减法有，由空间向量共面定理，知共面.
（2）由（1）结论，有四点共面，即可知在平面内.
【详解】
（1）由题意，知：，
∴，即，
故共面得证.
（2）由（1）知：共面且过同一点.
所以四点共面，从而点在平面内.
例25．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【解析】
【分析】
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
【详解】
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
【技巧总结】
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
题型四：空间向量的数量积
例26．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【解析】
【分析】
（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
(1)
因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
(2)
由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
例27．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用向量基本定理知，计算
，知向量在向量方向上投影的数量为，进而求得其取值范围.
【详解】
由已知E为棱上的动点，设
因为
所以
所以向量在向量方向上投影的数量为，
又，，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为
例28．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
【答案】（1），；（2）1
【解析】
【分析】
（1）由，可得，由，可得；
（2）由空间向量投影的定义找出在向量方向上的投影即可求解
【详解】
（1）在正方体中，
因为，
所以，
因为，
所以；
（2）连接，
因为平面，
所以，
又因为，
所以在向量方向上的投影为，
因为，
所以向量在向量方向上的投影的数量为1
【技巧总结】
向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例29．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小余弦值；
(3)判断与是否垂直．
【解析】
(1)正方体中， ,
故;
(2)由题意知, ,
,
，
故，
故 ，
故与的夹角的大小余弦值为 ；
(3)由题意， ,
,
故与垂直.
例30．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.
(1)
，，故，所以的长为；
(2)
，由（1）知：，
设直线与所成角为
∴，
∴直线与所成角的余弦值为.
例31．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）计算的值即可得，再计算的值，由空间向量夹角公式即可求解.
(1)
因为，，，
所以.
(2)
因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
例32．（2021·山东山东·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)设，，然后表示出，然后结合已知条件，利用数量积求解即可；(2)利用，，表示出，，然后利用数量积求得即可证明.
(1)
设，，，
则，，，，，
∵，
∴
∴线段的长为.
(2)
∵，，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角为90°.
例33．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
(1)
，，，
，
∴
，
；
(2)
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
【技巧总结】
本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例34．（2021·河北省博野中学高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；
（2）先表示出，再按照数量积运算求解.
(1)
，
，，
，
，
即有；
(2)
．
例35．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.
【答案】(1).
(2).
【解析】
(1)解：，
所以；
(2)解：因为
.
又因为四面体是正四面体，
则，
，
，
所以.
例36．（2021·全国·高二课时练习）如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．
(1)求；
(2)求点，间的距离．
【答案】(1)2或-2
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由空间向量数量积的定义即可求解；
（2）由即可求解.
(1)
解：由已知得，翻折后与所成的角为60°，所以或120°，
所以，或．
(2)
解：连接，由已知得，，
则，
所以或5，解得或，即点，间的距离为或．
例37．（2021·河北·滦南县第一中学高二阶段练习）如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
【答案】或.
【解析】
【分析】
根据，由向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到长.
【详解】
，四边形为平行四边形，，
，；
与成角，或；
；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
的长为或.
【技巧总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例38．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)，
(2)
(3)垂直
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
(1)
解：根据空间向量的运算法则，可得，
.
(2)
解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，
则.
(3)
解：根据空间向量的运算法则，可得；
则，
所以与垂直．
例39．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【解析】
(1)正方体中， ,
故;
(2)由题意， ,
,
故与垂直.
【技巧总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；
【详解】
解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，
可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；
④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，
但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】
连接
.
故选：A
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】
由题意得，故.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依据向量加减法运算规则去求化简即可,
【详解】
故选：D
6．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.
【详解】
正六棱柱中，
故选：B
7．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
8．（2022·北京·101中学高二期末）在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【详解】
因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，
Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；
在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量的模是3 B．、、两两垂直
C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用向量的模的性质将的模转化为数量积求解，即可判断选项，计算数量积根据结果判断选项，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项，利用向量的夹角公式求出向量与的夹角，即可判断选项．
【详解】
对于选项，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以，且，
则，
所以向量的模是，
故选项错误；
对于选项，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以，
故、、两两垂直，故选项正确；
对于选项，设与的夹角为，
则，
所以向量和夹角的余弦值为，
故选项 正确；
对于选项，因为，
同理可得，
则，
所以向量与的夹角为，
则向量与不共线，
故选项错误．
故选：．
10．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量与满足＋＝，则.
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项命题正确；
B：由，所以，所以本选项命题正确；
C：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量可以是共面向量，所以本选项命题正确；
D：只有当时，P，A，B，C四点才共面，所以本选项命题不正确，
故选：ABC
11．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据向量的线性关系，结合已知及直三棱柱的性质，分别判断、时所在位置，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题设，在面上，△、△为正三角形且三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，，即△的周长为不为定值，故A正确，B错误；
当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，面，面，所以面，即到面距离不变，有三棱锥的体积为定值，故C、D正确.
故选：ACD
12．（2022·福建南平·高二期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．为直线的方向向量
D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用平行四边形性质判断A；利用向量加法法则判断B；利用向量共线判断C；利用向量加法运算计算判断D作答.
【详解】
在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则，，
于是得四边形是平行四边形，
因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，A不正确；
因四边形是平行四边形，则，B正确；
因，，则为直线的方向向量，C正确；
平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点，
则，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
对①，由向量的垂直没有传递性可得；对②，由空间任意两个向量都共面可得；对③，由空间向量基本定理可得；④由反证法可得.
【详解】
对①，若，，则与可能平行或者既不平行也不垂直，故①错误；
对②，空间任意两个向量都共面，故②正确；
对③，由空间向量基本定理可得对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故③正确；
对④，假设，，共面，设，化简得，所以共面，与已知矛盾，所以，，是不共面的向量，故④正确.
故答案为：②③④.
14．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意得.
故答案为：.
15．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据向量的加法的几何意义，将化为，结合数量积的运算法则和向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】
在空间四边形中, ,
则
,
故答案为：0
16．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到面，，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值.
【详解】
解：因为，，
可得平面，，
当最短时，面，且，
所以为的中心，为的中点，如图所示，
又因为正四面体的棱长为，，
所以，
因为平面，所以，
因为，
所以
.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
【答案】(1)、、、
(2)、、、
【解析】
【分析】
（1）依据相等向量的定义写出与相等的所有向量；
（2）依据相反向量的定义写出的相反向量．
(1)
与相等的所有向量为、、、
(2)
的相反向量为：、、、
18．（2022·全国·高二课时练习）已知 是不共面的向量，且，，，.
(1)判断P A B C四点是否共面；
(2)能否用 表示？并说明理由.
【答案】(1)不共面
(2)能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用反证法判断出四点不共面.
（2）结合平面向量的线性运算，用 表示出.
(1)
假设P A B C四点共面，则存在实数x y z，
使，且，
即.
比较对应的系数，得到关于x y z的方程组，
解得，这与矛盾，
故P A B C四点不共面；
(2)
能用 表示，理由如下：
若 共面，则存在实数m n，使，
同（1）可证， 不共面，即是向量 与的线性组合，
令，，，
由，得，
所以
.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
(2)求对角线的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）因为，所以利用空间向量数量积的定义及运算性质，从而即可证明；
（2）因为，所以利用空间向量数量积的定义及运算性质即可求解.
(1)
证明： 由题意，平行六面体的各棱长均为1，，
因为，
所以 ，
所以；
(2)
解：因为，
所以
.
所以.
20．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱AD，的中点，设，，，试分别用，，表示，．
【答案】，.
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算可得两个向量的线性表示.
【详解】
，
.
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、.
【解析】
【分析】
分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量.
【详解】
解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为，
由空间向量的平行六面体法则可得，
在长方体中，，
因此，向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；
（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.
【详解】
（1）由题可知，，
那么
，
因此，的长为；
（2）由题知，，
则，
，
所以，.
【点睛】
本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题