2.5 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系学案
知识点一：点与圆的位置关系
1.圆外一点
如图，圆O的半径为r，A为圆外一点，A到圆心O的距离OA=d，P为圆0上一动点；
PA的最小值为 PA最大值为
PA + PO的最小值 PA - PO最大值
A与直径CD所形成的角∠CAD为 （锐角/直角/钝角）
过A点能向圆0引 条切线
PQ为圆上两个动点，∠PAQ最大时候，AP、AQ与圆O是 （相切/相交）
P
A
2.圆内一点
如图，圆O的半径为r，A为圆内一点，A到圆心O的距离OA=d，P为圆0上一动点；
PA的最小值为 PA最大值为
PA + AO的最小值 PA - AO最大值
P0 - PA的最大值 PA - PO最大值
A与直径CD所形成的角∠CAD为 （锐角/直角/钝角）
P
知识点二：直线与圆的位置关系
如图，圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，P为圆上一动点；
（1）d>r时，直线l和圆的位置关系是相离的 有0个交点
P到直线l的距离最小值 最大值 范围
距离最大的点有 个，距离最小的点有 个，距离介于两者之间的点有 个
的最小值 的最大值
过直线l上的点Q向圆O引切线，Q到切点的距离为切线长，切线长最小值=
P P’
例：直线l：y=x+4与圆C：的位置关系是
过直线l:y=x+4上一点Q，向圆C引切线，切线长的最小值为
d=r时直线l和圆的位置关系是相切的 有1个交点
P到直线l的距离最小值 最大值 范围
距离最大的点有 个，距离最小的点有 个，距离介于两者之间的点有 个
例题：求切线 求过点（4，4）与圆（x-2）2+y2＝4相切的直线
P P’
例题：直线与圆相切，则b的值是（ ）
－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
变式1：求过点A（2,1）与圆相切的直线方程
（3）d当P为劣弧上的点时，
P到直线l的距离最小值 最大值 范围
当P为优弧上的点时，
P到直线l的距离最小值 最大值 范围
圆上点到直线l距离为（0，r-d）的点有 4 个
圆上点到直线l距离为r-d的点有 3 个
圆上点到直线l距离为（r-d，r+d）的点有 2 个
圆上点到直线l距离为r+d的点有 1 个
例题：已知圆C：x2+y2＝1，直线l：3x﹣4y﹣4＝0，则直线l被圆C所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
例题：圆C：x2+y2＝25上恰好有三个点到直线x+y+m=0距离为3，求m=
变式1：直线4x﹣3y+6＝0与圆（x﹣4）2+（y+1）2＝25的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
变式2：已知直线l：x+y﹣m＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m＝（ ）
A．2 B．±2 C． D．
知识点三：圆与圆的位置关系
已知圆C1半径为r1，圆C2半径为r2，圆心距|C1C2|=d
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
图示
圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
交点个数 个 个 个 个 个
公切线条数 条 条 条 条 条
两圆有交点，两圆的位置关系可以是 d与r1 r2需满足
例题：圆C1：x2+（y﹣1）2＝1与圆C2：（x+4）2+（y﹣1）2＝4的公切线的条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式1：圆（x+2）2+（y+2）2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
变式2：圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
变式3：已知点（1,1）是圆内一点，过点最长弦的直线方程为 过点最短弦的直线方程为 若P是弦AB的中点，AB的方程为
二、随堂练习：
1．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2.已知A（0,1），B（3,2），P是x轴上动点，求PB+PA的最小值和PB-PA的最大值，以及此时P点的坐标。
3.已知圆，圆，M、N分别是圆上动点，P是x轴上动点，则的最小值是（ ）最大值是( )
A． B． C． D．
4．（多选）已知点是直线上一定点，点是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______________．
7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
8.已知点点在圆上运动.
（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；
（2）求的最值.
9．已知点，直线，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
知识点一：点与圆的位置关系
1.圆外一点
如图，圆O的半径为r，A为圆外一点，A到圆心O的距离OA=d，P为圆0上一动点；
PA的最小值为 d - r PA最大值为 d + r
PA + PO的最小值 d PA - PO最大值 d
A与直径CD所形成的角∠CAD为 锐角 （锐角/直角/钝角）
过A点能向圆0引 2 条切线
PQ为圆上两个动点，∠PAQ最大时候，AP、AQ与圆O是 相切 （相切/相交）
P
A
2.圆内一点
如图，圆O的半径为r，A为圆内一点，A到圆心O的距离OA=d，P为圆0上一动点；
PA的最小值为 r - d PA最大值为 r + d
PA + PO的最小值 r PA - PO最大值 r
P0 - PA的最大值 d PA - PO最大值 d
A与直径CD所形成的角∠CAD为 钝角 （锐角/直角/钝角）
P
知识点二：直线与圆的位置关系
如图，圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，P为圆上一动点；
（1）d>r时，直线l和圆的位置关系是相离的 有0个交点
P到直线l的距离最小值 d - r 最大值 d + r 范围 [d - r，d + r]
距离最大的点有 1 个，距离最小的点有 1 个，距离介于两者之间的点有 2 个
的最小值 d 的最大值 d
过直线l上的点Q向圆O引切线，Q到切点的距离为切线长，切线长最小值=
P P’
例：直线l：y=x+4与圆C：的位置关系是 相离
过直线l:y=x+4上一点Q，向圆C引切线，切线长的最小值为
d=r时直线l和圆的位置关系是相切的 有1个交点
P到直线l的距离最小值 0 最大值 2r 范围 [0，2r]
距离最大的点有 1 个，距离最小的点有 1 个，距离介于两者之间的点有 2 个
例题：求切线 求过点（4，4）与圆（x-2）2+y2＝4相切的直线
P P’ x=4和3x-4y+4=0
P P’
例题：直线与圆相切，则b的值是（ D ）
－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
变式1：求过点A（2,1）与圆相切的直线方程 2x+y=5
（3）d当P为劣弧上的点时，
P到直线l的距离最小值 0 最大值 r - d 范围 [0,r-d]
当P为优弧上的点时，
P到直线l的距离最小值 0 最小值 r+d 范围 [0,r+d]
圆上点到直线l距离为（0，r-d）的点有 4 个
圆上点到直线l距离为r-d的点有 3 个
圆上点到直线l距离为（r-d，r+d）的点有 2 个
圆上点到直线l距离为r+d的点有 1 个
例题：已知圆C：x2+y2＝1，直线l：3x﹣4y﹣4＝0，直线l被圆C所截得的弦长为（ A ）
A． B． C． D．
例题：圆C：x2+y2＝25上恰好有三个点到直线x+y+m=0距离为3，求m=
变式1：直线4x﹣3y+6＝0与圆（x﹣4）2+（y+1）2＝25的位置关系是（ B ）
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
变式2：已知直线l：x+y﹣m＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m＝（ D ）
A．2 B．±2 C． D．
知识点三：圆与圆的位置关系
已知圆C1半径为r1，圆C2半径为r2，圆心距|C1C2|=d
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
图示
交点个数 0 个 1 个 2 个 1 个 0 个
公切线条数 4 条 3 条 2 条 1 条 0 条
两圆有交点，两圆的位置关系可以是 外切/相交/内切 d与r1 r2需满足 |r1－r2|≤d≤r1＋r2
例题：圆C1：x2+（y﹣1）2＝1与圆C2：（x+4）2+（y﹣1）2＝4的公切线的条数为（ A ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式1：圆（x+2）2+（y+2）2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（ B ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
变式2：圆与圆的位置关系是（ D ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
变式3：已知点（1,1）是圆内一点，过点最长弦的直线方程为 y=x
过点最短弦的直线方程为 y = -x + 2 若P是弦AB的中点，AB的方程为 y = -x + 2
二、随堂练习：
1．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( C )
A．4 B．3 C．2 D．1
2.已知A（0,1），B（3,2），P是x轴上动点，求PB+PA的最小值和PB-PA的最大值，以及此时P点的坐标。
PB+PA的最小值 P（1,0） PB-PA的最大值 P（-3,0）
3.已知圆，圆，M、N分别是圆上动点，P是x轴上动点，则的最小值是（ A ）最大值是( D )
A． B． C． D．
4．（多选）已知点是直线上一定点，点是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ AC ）
A． B． C． D．
5．（多选）欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ AD ）
A． B． C． D．
6．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是．
7．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程； x-2y+4=0
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
8.已知点点在圆上运动.
（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； x+y-2=0或x+7y+10=0
（2）求的最值.
9．已知点，直线，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围．
x=4 或3x-4y+4=0
