高二数学人教A版2019选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式 精品讲义（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版2019选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式 精品讲义（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-28 18:35:51 | ||
图片预览
文档简介
2．3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：距离问题的综合灵活运用
题型九：线段和与差的最值问题
【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例1．（2022·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使是方程组的一组解
D．存在，使之有无穷多解
例2．（多选题）（2022·江苏·高二课时练习）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（ ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
例3．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
例5．（2022·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．
例6．（2022·上海交大附中高一期末）解关于．的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．
【方法技巧与总结】
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
题型二：过两条直线交点的直线系方程
例7．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
例9．（2022·全国·高三专题练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
例10．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式．
例11．（2022·全国·高三专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
例12．（2022·全国·高三专题练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【方法技巧与总结】
直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
题型三：交点问题
例13．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
例14．（2022·北京十五中高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
例17．（2022·全国·高二专题练习）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．
例18．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1：与l2：相交于点，则__．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．
例21．（2022·江苏·高二）三条直线 有且只有两个交点，求实数的值．
例22．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
（1）外心的坐标；
（2）重心的坐标；
（3）垂心的坐标．
【方法技巧与总结】
直接联立两直线方程，解方程即可．
题型四：对称问题
例23．（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
例24．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．
例26．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
例27．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求直线，关于点的对称直线的方程．
例28．（2022·江苏·高二单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
例30．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线．
（1）求点A关于直线的对称点B的坐标；
（2）求直线关于直线的对称直线方程．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
【方法技巧与总结】
（1）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（2）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（3）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（4）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
题型五：两点间的距离
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
例33．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形，为矩形外的一点，，，，求的长．
例36．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
例37．（2022·全国·高二课时练习）如图，在中，，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则点的坐标为______，______．
【方法技巧与总结】
两点间的距离公式为．
题型六：点到直线的距离
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
例39．（2022·全国·高二专题练习）（1）求点P到直线l的距离：P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；
（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．
例40．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
例41．（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
例42．（2022·广西桂林·高一期末）已知的三个顶点是，则的面积为________．
例43．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【方法技巧与总结】
点到直线的距离为．
题型七：两平行直线间的距离
例44．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
例45．（2022·全国·高二专题练习）设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
例46．（2022·全国·高二专题练习）若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．
例47．（2022·全国·高二专题练习）若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数 _____．
例48．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______．
例49．（2022·全国·高二专题练习）到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．
例50．（2022·重庆八中高一期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
例51．（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，．
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线与直线的距离为．
题型八：距离问题的综合灵活运用
例52．（2022·广东·华中师范大学海丰附属学校高二阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为______
例53．（2022·江苏·射阳县第二中学高一阶段练习）已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．
例54．（2022·江苏·高二单元测试）已知实数a，b满足，则的最小值为___________．
例55．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
例56．（2022·江西南昌·高二期末（理））定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________．
例57．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
例58．（2022·全国·高二专题练习）设的最小值为_______．
例59．（2022·全国·高二课时练习）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
例60．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
例61．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例62．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
例63．（2022·江苏·高二专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
【方法技巧与总结】
利用距离的几何意义进行等价转换．
题型九：线段和与差的最值问题
例64．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
例65．（2022·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
例66．（2022·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例67．（2022·全国·高二专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．
例68．（2022·全国·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上，则的最小值为___________．
例69．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
例70．（2022·江苏·高二）已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________．
例71．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
例72．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．
【方法技巧与总结】
利用三角形的性质进行判断.
【同步练习】
一、单选题
1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
2．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
3．若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．直线和间的距离为（ ）
A．4 B．5
C． D．
5．直线关于对称直线，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
8．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一束光线自点射入，经轴反射后过点，则下列点在反射光线所在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
12．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若是三角形的三个顶点，则有
C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
三、填空题
13．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
14．如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
15．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
16．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
四、解答题
17．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
18．已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
19．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
22．正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围
2．3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：距离问题的综合灵活运用
题型九：线段和与差的最值问题
【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例1．（2022·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使是方程组的一组解
D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意，则，
∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确；
若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．
故选：B．
例2．（多选题）（2022·江苏·高二课时练习）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（ ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行；
对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；
对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；
对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交．
故选：BD．
例3．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合，集合，且，
所以直线与直线平行或交于点，
当两线平行时，；
当两线交于点时，，解得．
综上得a等于或2．
故选：AD．
例4．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
【答案】4
【解析】若方程组有无穷多组解，
即两条直线重合，即
，
则
故答案为：4
例5．（2022·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．
【解析】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）．
（2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2．
例6．（2022·上海交大附中高一期末）解关于．的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．
【解析】（1）当时，方程组有无数个解，
解得；
（2）当时，方程组无解，
解得；
（3）当时，方程组只有一组解为，
解得且，
综上，，无数个解；，无解；且，．
【方法技巧与总结】
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
题型二：过两条直线交点的直线系方程
例7．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，
故选：B
例8．（2022·全国·高三专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
【解析】（1）法一：直线与的交点为，
当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
所以由直线系方程可设所求直线为
，
当直线的斜率为时，，解得，
故所求直线方程为；
（2）法一：过点时，由两点式得：即为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
过点时，代入（1）中直线系方程得，
故所求直线方程为．
（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得，
故所求直线方程为．
例9．（2022·全国·高三专题练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
【解析】设直线方程为，
化简得，
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线的斜率为，
或，解得或．
代入并化简得直线的方程为或．
所以所求的直线方程为或．
例10．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式．
【解析】设点 ，
因为直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，
所以有，，
故成立，
即说明点在直线上；
下面只需证明过点的直线的斜率可以取任意值或斜率不存在；
可变为，即该方程表示的是一条直线，
不可能同时为零，否则 不相交，则一定存在 使得，
此时表示过P斜率不存在的直线；
当时，该直线斜率 ，m，n不能同时为0，总存在m，n使得取到任意实数，
故综合上述：过点P的直线可以写成 的形式 ．
例11．（2022·全国·高三专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【解析】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2，
解得 λ，
∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
例12．（2022·全国·高三专题练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【解析】解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即．
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得．
【方法技巧与总结】
直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
题型三：交点问题
例13．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.
故选：C．
例14．（2022·北京十五中高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
例15．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
例16．（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【答案】A
【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．
故选：A
例17．（2022·全国·高二专题练习）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】由得，由得，
由得，
若在上，则．
故若能构成一个三角形，则．
故答案为：且．
例18．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
且，
故答案为：
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1：与l2：相交于点，则__．
【答案】﹣1
【解析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，
得，
所以，
所以．
故答案为：-1．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．
【解析】由，解得，
即，又，，
所以直线的方程是，即；
因为边上的高线所在直线的方程是，所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即．
例21．（2022·江苏·高二）三条直线 有且只有两个交点，求实数的值．
【解析】由得：，即有一个交点，或；
即或，解得：或．
例22．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
（1）外心的坐标；
（2）重心的坐标；
（3）垂心的坐标．
【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心．
（2）设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心．
（3）由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心．
【方法技巧与总结】
直接联立两直线方程，解方程即可．
题型四：对称问题
例23．（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
例24．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
【答案】
【解析】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．
方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．
方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．
故答案为：．
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．
【答案】
【解析】直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
光线所经过的路程．
故答案为：．
例26．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
【答案】
【解析】设对称直线为，
则有，
解这个方程得（舍）或．
所以对称直线的方程中
故答案为：
例27．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求直线，关于点的对称直线的方程．
【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为，
所以，解得m，n，
所以点关于直线l的对称点为；
（2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为，
在直线上取一点，它关于点的对称点为，
而该点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为．
例28．（2022·江苏·高二单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
（2），解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，
所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，
则，得，
即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，
即．
例30．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线．
（1）求点A关于直线的对称点B的坐标；
（2）求直线关于直线的对称直线方程．
【解析】（1）设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
（2）由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
【解析】（1）因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，
解得，所以，
（2）设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，所以，
经过点，所以
所以直线的方程为整理得．
（3）设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线上，
代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
【方法技巧与总结】
（1）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（2）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（3）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（4）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
题型五：两点间的距离
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
【答案】
【解析】设的中点为，
因为的顶点，，
则，又，
所以 ．
故答案为：．
例33．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】或
【解析】设，由题意知，，
得，
可化为，解得或，
所以点的坐标为或．
故答案为：或
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形，为矩形外的一点，，，，求的长．
【解析】设，，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．
设，则，，，
整理得，故．
例36．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
【解析】（1）根据两点间的距离公式，得，，
，，即，
所以是直角三角形．
（2）依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为．
例37．（2022·全国·高二课时练习）如图，在中，，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则点的坐标为______，______．
【答案】
【解析】设因为的中点在轴上，的中点在轴上，，，所以，解得，所以点的坐标是，．
故答案为：；．
【方法技巧与总结】
两点间的距离公式为．
题型六：点到直线的距离
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
【解析】（1）设点，因为在直线上，所以， ①
又，的中点为，且点在的中线上，
所以， ②
联立①②，得，即点．
由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即， ③
因为点在AB边上的中线上，
所以点的坐标满足直线方程， ④
联立③④，得，即．
（2）由（1）得，
到直线的距离为，
所以，
故的面积为7．
例39．（2022·全国·高二专题练习）（1）求点P到直线l的距离：P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；
（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．
【解析】（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；可得d3．
（2）点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，
可得：4，解得m＝﹣3或m．
例40．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【解析】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
例41．（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
例42．（2022·广西桂林·高一期末）已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】
【解析】
设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离
．
故答案为：
例43．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【解析】记为点到直线的距离，则，其中；
当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
点到直线的距离为．
题型七：两平行直线间的距离
例44．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将直线化为，
则这两条平行直线间的距离为．
故选：D．
例45．（2022·全国·高二专题练习）设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
【答案】
【解析】由于直线l1：，整理得，
由，解得，即直线l1恒过点；
则过点作直线l2，且l1∥l2，
所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离
．
故答案为：．
例46．（2022·全国·高二专题练习）若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．
【答案】
【解析】由两平行线间的距离为，直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，可得直线和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为，故直线的倾斜角为
故答案为：
例47．（2022·全国·高二专题练习）若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数 _____．
【答案】-1
【解析】平面内两条平行线：：，
或．
当时，两条平行直线即 ：：，
它们之间的距离为，不满足条件．
当时，两条平行直线即：：，
它们之间的距离为，满足条件，
故实数．
故答案为：
例48．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______．
【答案】0
【解析】因为直线（）与直线互相平行，
所以且．
又两直线间的距离是，所以，
因为，解得：．
所以．
故答案为：0
例49．（2022·全国·高二专题练习）到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．
【答案】，或
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，
解得，或
所求直线的方程为：，或
例50．（2022·重庆八中高一期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
【答案】
【解析】由于直线，整理得：，
故，解得，
即直线恒过点；则过点作直线，且，
则最大距离．
故答案为：．
例51．（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，．
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围．
【解析】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，．
故两直线方程为或．
（2）
如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，
又两平行直线，不重合，故．
【方法技巧与总结】
直线与直线的距离为．
题型八：距离问题的综合灵活运用
例52．（2022·广东·华中师范大学海丰附属学校高二阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为______
【答案】2
【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离
∴的最小值为原点到直线的距离，即
∴的最小值为2
故答案为2
例53．（2022·江苏·射阳县第二中学高一阶段练习）已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边
则
点在直线：上，
表示原点到的距离平方，
当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小
则由点到直线距离公式可得
所以的最小值为9
故答案为：．
例54．（2022·江苏·高二单元测试）已知实数a，b满足，则的最小值为___________．
【答案】5
【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和．
如图，设点N关于直线对称的点为，
则，解得，
当三点共线时，最小，即最小
所以的最小值为．
故答案为：5．
例55．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
【答案】
【解析】因点M在直线上，设，
于是得，
当时，，当时，，当时，，
因此，当且仅当时，取最小值，
所以点M的坐标是．
故答案为：
例56．（2022·江西南昌·高二期末（理））定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________．
【答案】2
【解析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值．
故答案为：2
例57．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
【答案】
【解析】函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：．
故答案为：．
例58．（2022·全国·高二专题练习）设的最小值为_______．
【答案】
【解析】从几何意义看，
+表示点到点和距离的和，
其最小值为和两点间的距离．
故答案为：
例59．（2022·全国·高二课时练习）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.
故选：C
例60．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】C
【解析】依题意，，，.
取中点为，由于为直角三角形，故
由于为直角三角形，故
显然，，当且仅当 三点共线时，等号成立.
因此，最大值为.
故选：C.
例61．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
例62．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
例63．（2022·江苏·高二专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
【答案】A
【解析】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设，
则两点的“垂直距离”为：
所以两点的“垂直距离”的最小值为．
故选A．
【方法技巧与总结】
利用距离的几何意义进行等价转换．
题型九：线段和与差的最值问题
例64．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：D
例65．（2022·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
【答案】C
【解析】依题意，点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取“=”，
因此，，
所以 的最小值为10．
故选：C
例66．（2022·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是．
故选：A
例67．（2022·全国·高二专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．
【答案】
【解析】由平行线距离公式得：，
设，则，
所以
，
设点，如下图：
则有：
即当三点共线时等号成立），
综上，．
故答案为：
例68．（2022·全国·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为关于x轴的对称点，则 ，所以的最小值为．
故答案为：
例69．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，
所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
例70．（2022·江苏·高二）已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________．
【答案】
【解析】点在直线的同侧
设点关于的对称点为
解得，即
由题意，点为直线与的交点
直线的方程为：
故点的坐标为
故答案为：
例71．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】如图，作B关于l的对称点，设，
则，解得，
所以．
因为与B关于l对称，所以，
所以，
当且仅当P为与l的交点时取等号．
所以的最大值为，
故答案为：
例72．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】如图，可得两点在直线的异侧，点关于直线的对称点为，
则，所以当三点共线时，取得最大值为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
利用三角形的性质进行判断.
【同步练习】
一、单选题
1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【解析】方法一 由题意得，即，所以或，解得或．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．
故选：D
2．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点在直线上，
则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，
即 ，
故选：C
3．若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知的几何意义为点到点距离的平方，
故其最小值为点到直线：的距离的平方，
即，
故选：B.
4．直线和间的距离为（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线
由平行线的距离公式：
故选：C
5．直线关于对称直线，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，直线与直线交于点，直线过原点，
因为直线与直线l关于直线对称，
所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，
则直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即.
故选：C
6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知点P到直线l的距离为，
时，，
时，，，所以，
综上，．
故选：C．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
8．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，直线的方程为，即，
设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，
此时直线的方程为，联立，解得，
因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.
故选：C.
二、多选题
9．一束光线自点射入，经轴反射后过点，则下列点在反射光线所在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，
所以反射光线所在的直线方程为，即．
对于A，当时，，所以A错误．
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，当时，，得，所以C正确，
对于D，当时，，得，所以D正确，
故选：CD
10．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；
对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；
对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；
对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．
故选：BC
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【答案】ACD
【解析】对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
12．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若是三角形的三个顶点，则有
C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
【答案】AC
【解析】对A，若点在线段上，设，
则在之间，在之间，
则
，故A正确；
对B，在中，
，故B错误；
对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，
则，解得，故C正确；
对D，设，则，即的最小值为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
【答案】或
【解析】方法一：由，得两直线的交点坐标为．
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，
则，解得，
此时直线m的方程为；
当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．
综上，直线m的方程为或．
方法二：设直线m的方程为，即，则，
解得或，
所以直线m的方程为或．
故答案为：或
14．如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
【答案】
【解析】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
15．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】当，直线和平行，不满足题意，
故，此时联立方程，解得，
因为交点在第二象限，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：
16．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
【答案】
【解析】过点P作PR垂直于，垂足为R，
．
记与的夹角为，则
则
所以，即之间距离的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，
即．
根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．
故直线的方程为或．
（2）（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，
令，整理得，
则，方程无解，
所以没有符合题意的直线．
综上，不存在符合题意的直线．
18．已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
【解析】（1）直线，令，解得，
所以；
（2）直线与直线平行可知，解得，
所以，即，满足条件，
所以直线与直线间距离.
19．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
【解析】(1)选①直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
直线与直线平行．
可设直线的方程，把代入可得，
直线的方程为，
选②直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
由题意可知直线的斜率存在，设为且，
则过，
代入即解得，
直线的方程，
(2)在直线中，
令可得，
令可得，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【解析】（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，
由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d4，
化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，
∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．
②若l1、l2的斜率都不存在，
则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0
或l1：x＝0，l2：x＝4．
（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，
两点连线的直线的斜率为，
∴直线l1与l2的斜率均为，
此时，最大距离为5，
l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【解析】（1）设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
22．正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
【解析】（1）由于正方形中心所在直线平行于直线，设中心所在直线为，由平行线间的距离公式得，解得．则正方形中心所在的直线方程为；
（2）正方形的边长即为平行直线与间的距离，设正方形所在直线方程为，由于中心到的距离均等于，那么，解得 ①，又因为在直线上，那么，即 ②，把②代入①得 ③，联立方程，解得，由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得 ④，把③代入④得到，解得．故的取值范围为
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：距离问题的综合灵活运用
题型九：线段和与差的最值问题
【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例1．（2022·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使是方程组的一组解
D．存在，使之有无穷多解
例2．（多选题）（2022·江苏·高二课时练习）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（ ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
例3．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
例5．（2022·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．
例6．（2022·上海交大附中高一期末）解关于．的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．
【方法技巧与总结】
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
题型二：过两条直线交点的直线系方程
例7．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
例9．（2022·全国·高三专题练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
例10．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式．
例11．（2022·全国·高三专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
例12．（2022·全国·高三专题练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【方法技巧与总结】
直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
题型三：交点问题
例13．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
例14．（2022·北京十五中高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
例17．（2022·全国·高二专题练习）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．
例18．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1：与l2：相交于点，则__．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．
例21．（2022·江苏·高二）三条直线 有且只有两个交点，求实数的值．
例22．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
（1）外心的坐标；
（2）重心的坐标；
（3）垂心的坐标．
【方法技巧与总结】
直接联立两直线方程，解方程即可．
题型四：对称问题
例23．（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
例24．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．
例26．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
例27．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求直线，关于点的对称直线的方程．
例28．（2022·江苏·高二单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
例30．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线．
（1）求点A关于直线的对称点B的坐标；
（2）求直线关于直线的对称直线方程．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
【方法技巧与总结】
（1）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（2）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（3）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（4）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
题型五：两点间的距离
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
例33．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形，为矩形外的一点，，，，求的长．
例36．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
例37．（2022·全国·高二课时练习）如图，在中，，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则点的坐标为______，______．
【方法技巧与总结】
两点间的距离公式为．
题型六：点到直线的距离
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
例39．（2022·全国·高二专题练习）（1）求点P到直线l的距离：P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；
（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．
例40．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
例41．（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
例42．（2022·广西桂林·高一期末）已知的三个顶点是，则的面积为________．
例43．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【方法技巧与总结】
点到直线的距离为．
题型七：两平行直线间的距离
例44．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
例45．（2022·全国·高二专题练习）设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
例46．（2022·全国·高二专题练习）若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．
例47．（2022·全国·高二专题练习）若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数 _____．
例48．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______．
例49．（2022·全国·高二专题练习）到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．
例50．（2022·重庆八中高一期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
例51．（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，．
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线与直线的距离为．
题型八：距离问题的综合灵活运用
例52．（2022·广东·华中师范大学海丰附属学校高二阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为______
例53．（2022·江苏·射阳县第二中学高一阶段练习）已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．
例54．（2022·江苏·高二单元测试）已知实数a，b满足，则的最小值为___________．
例55．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
例56．（2022·江西南昌·高二期末（理））定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________．
例57．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
例58．（2022·全国·高二专题练习）设的最小值为_______．
例59．（2022·全国·高二课时练习）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
例60．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
例61．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例62．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
例63．（2022·江苏·高二专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
【方法技巧与总结】
利用距离的几何意义进行等价转换．
题型九：线段和与差的最值问题
例64．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
例65．（2022·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
例66．（2022·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例67．（2022·全国·高二专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．
例68．（2022·全国·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上，则的最小值为___________．
例69．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
例70．（2022·江苏·高二）已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________．
例71．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
例72．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．
【方法技巧与总结】
利用三角形的性质进行判断.
【同步练习】
一、单选题
1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
2．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
3．若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．直线和间的距离为（ ）
A．4 B．5
C． D．
5．直线关于对称直线，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
8．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一束光线自点射入，经轴反射后过点，则下列点在反射光线所在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
12．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若是三角形的三个顶点，则有
C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
三、填空题
13．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
14．如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
15．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
16．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
四、解答题
17．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
18．已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
19．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
22．正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围
2．3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点梳理】
知识点一：直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
知识点诠释：
求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．
知识点二：过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
知识点三：两点间的距离公式
两点间的距离公式为．
知识点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．
知识点四：点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
知识点诠释：
（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．
知识点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【题型归纳目录】
题型一：判断两直线的位置关系
题型二：过两条直线交点的直线系方程
题型三：交点问题
题型四：对称问题
题型五：两点间的距离
题型六：点到直线的距离
题型七：两平行直线间的距离
题型八：距离问题的综合灵活运用
题型九：线段和与差的最值问题
【典型例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例1．（2022·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使是方程组的一组解
D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意，则，
∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确；
若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．
故选：B．
例2．（多选题）（2022·江苏·高二课时练习）与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（ ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行；
对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；
对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；
对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交．
故选：BD．
例3．（多选题）（2022·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合，集合，且，
所以直线与直线平行或交于点，
当两线平行时，；
当两线交于点时，，解得．
综上得a等于或2．
故选：AD．
例4．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
【答案】4
【解析】若方程组有无穷多组解，
即两条直线重合，即
，
则
故答案为：4
例5．（2022·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．
【解析】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）．
（2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2．
例6．（2022·上海交大附中高一期末）解关于．的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．
【解析】（1）当时，方程组有无数个解，
解得；
（2）当时，方程组无解，
解得；
（3）当时，方程组只有一组解为，
解得且，
综上，，无数个解；，无解；且，．
【方法技巧与总结】
分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．
题型二：过两条直线交点的直线系方程
例7．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，
故选：B
例8．（2022·全国·高三专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．
【解析】（1）法一：直线与的交点为，
当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
所以由直线系方程可设所求直线为
，
当直线的斜率为时，，解得，
故所求直线方程为；
（2）法一：过点时，由两点式得：即为．
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
过点时，代入（1）中直线系方程得，
故所求直线方程为．
（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，
直线方程为．
法二：由题意，直线不符合题意，
平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得，
故所求直线方程为．
例9．（2022·全国·高三专题练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．
【解析】设直线方程为，
化简得，
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线的斜率为，
或，解得或．
代入并化简得直线的方程为或．
所以所求的直线方程为或．
例10．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式．
【解析】设点 ，
因为直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，
所以有，，
故成立，
即说明点在直线上；
下面只需证明过点的直线的斜率可以取任意值或斜率不存在；
可变为，即该方程表示的是一条直线，
不可能同时为零，否则 不相交，则一定存在 使得，
此时表示过P斜率不存在的直线；
当时，该直线斜率 ，m，n不能同时为0，总存在m，n使得取到任意实数，
故综合上述：过点P的直线可以写成 的形式 ．
例11．（2022·全国·高三专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【解析】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2，
解得 λ，
∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
例12．（2022·全国·高三专题练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．
【解析】解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即．
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得．
【方法技巧与总结】
直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．
题型三：交点问题
例13．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．
方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.
故选：C．
例14．（2022·北京十五中高二期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
例15．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
例16．（2022·全国·高二专题练习）曲线与的交点的情况是（ ）
A．最多有两个交点 B．两个交点
C．一个交点 D．无交点
【答案】A
【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．
故选：A
例17．（2022·全国·高二专题练习）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】由得，由得，
由得，
若在上，则．
故若能构成一个三角形，则．
故答案为：且．
例18．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
且，
故答案为：
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1：与l2：相交于点，则__．
【答案】﹣1
【解析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，
得，
所以，
所以．
故答案为：-1．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高线所在直线的方程是，求直线，的方程．
【解析】由，解得，
即，又，，
所以直线的方程是，即；
因为边上的高线所在直线的方程是，所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即．
例21．（2022·江苏·高二）三条直线 有且只有两个交点，求实数的值．
【解析】由得：，即有一个交点，或；
即或，解得：或．
例22．（2022·江苏·高二专题练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
（1）外心的坐标；
（2）重心的坐标；
（3）垂心的坐标．
【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心．
（2）设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心．
（3）由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心．
【方法技巧与总结】
直接联立两直线方程，解方程即可．
题型四：对称问题
例23．（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
例24．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．
【答案】
【解析】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．
方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．
方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．
故答案为：．
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．
【答案】
【解析】直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
光线所经过的路程．
故答案为：．
例26．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
【答案】
【解析】设对称直线为，
则有，
解这个方程得（舍）或．
所以对称直线的方程中
故答案为：
例27．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求直线，关于点的对称直线的方程．
【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为，
所以，解得m，n，
所以点关于直线l的对称点为；
（2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为，
在直线上取一点，它关于点的对称点为，
而该点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为．
例28．（2022·江苏·高二单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
（1）求直线的方程；
（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
（2），解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【解析】（1）因为，所以．
设直线的方程为（，且）．
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，
即点的坐标为．
把点的坐标代入直线的方程，得，解得，
所以直线的方程为．
（2）由，得，
所以与的交点坐标为．
另取上不同于A的一点，
设关于的对称点为，
则，得，
即点的坐标为．
所以过与的直线的方程为，
即．
例30．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线．
（1）求点A关于直线的对称点B的坐标；
（2）求直线关于直线的对称直线方程．
【解析】（1）设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
（2）由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．
【解析】（1）因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，
解得，所以，
（2）设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，所以，
经过点，所以
所以直线的方程为整理得．
（3）设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线上，
代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
【方法技巧与总结】
（1）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
（2）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
（3）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（4）直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
题型五：两点间的距离
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．
【答案】
【解析】设的中点为，
因为的顶点，，
则，又，
所以 ．
故答案为：．
例33．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】或
【解析】设，由题意知，，
得，
可化为，解得或，
所以点的坐标为或．
故答案为：或
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】设，则，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形，为矩形外的一点，，，，求的长．
【解析】设，，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．
设，则，，，
整理得，故．
例36．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
【解析】（1）根据两点间的距离公式，得，，
，，即，
所以是直角三角形．
（2）依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为．
例37．（2022·全国·高二课时练习）如图，在中，，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则点的坐标为______，______．
【答案】
【解析】设因为的中点在轴上，的中点在轴上，，，所以，解得，所以点的坐标是，．
故答案为：；．
【方法技巧与总结】
两点间的距离公式为．
题型六：点到直线的距离
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求的面积．
【解析】（1）设点，因为在直线上，所以， ①
又，的中点为，且点在的中线上，
所以， ②
联立①②，得，即点．
由题意，得，所以，
所以所在直线的方程为，即， ③
因为点在AB边上的中线上，
所以点的坐标满足直线方程， ④
联立③④，得，即．
（2）由（1）得，
到直线的距离为，
所以，
故的面积为7．
例39．（2022·全国·高二专题练习）（1）求点P到直线l的距离：P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；
（2）若点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，求m的值．
【解析】（1）P（1，﹣2），l：3x+4y﹣10＝0；可得d3．
（2）点（2，﹣m）到直线5x+12y+6＝0的距离是4，
可得：4，解得m＝﹣3或m．
例40．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【解析】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
例41．（2022·全国·高二专题练习）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
例42．（2022·广西桂林·高一期末）已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】
【解析】
设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离
．
故答案为：
例43．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【解析】记为点到直线的距离，则，其中；
当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
点到直线的距离为．
题型七：两平行直线间的距离
例44．（2022·全国·高二课时练习）两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将直线化为，
则这两条平行直线间的距离为．
故选：D．
例45．（2022·全国·高二专题练习）设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 __．
【答案】
【解析】由于直线l1：，整理得，
由，解得，即直线l1恒过点；
则过点作直线l2，且l1∥l2，
所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离
．
故答案为：．
例46．（2022·全国·高二专题练习）若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．
【答案】
【解析】由两平行线间的距离为，直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，可得直线和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为，故直线的倾斜角为
故答案为：
例47．（2022·全国·高二专题练习）若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数 _____．
【答案】-1
【解析】平面内两条平行线：：，
或．
当时，两条平行直线即 ：：，
它们之间的距离为，不满足条件．
当时，两条平行直线即：：，
它们之间的距离为，满足条件，
故实数．
故答案为：
例48．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______．
【答案】0
【解析】因为直线（）与直线互相平行，
所以且．
又两直线间的距离是，所以，
因为，解得：．
所以．
故答案为：0
例49．（2022·全国·高二专题练习）到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．
【答案】，或
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，
解得，或
所求直线的方程为：，或
例50．（2022·重庆八中高一期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．
【答案】
【解析】由于直线，整理得：，
故，解得，
即直线恒过点；则过点作直线，且，
则最大距离．
故答案为：．
例51．（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，．
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围．
【解析】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，．
故两直线方程为或．
（2）
如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，
又两平行直线，不重合，故．
【方法技巧与总结】
直线与直线的距离为．
题型八：距离问题的综合灵活运用
例52．（2022·广东·华中师范大学海丰附属学校高二阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为______
【答案】2
【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离
∴的最小值为原点到直线的距离，即
∴的最小值为2
故答案为2
例53．（2022·江苏·射阳县第二中学高一阶段练习）已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边
则
点在直线：上，
表示原点到的距离平方，
当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小
则由点到直线距离公式可得
所以的最小值为9
故答案为：．
例54．（2022·江苏·高二单元测试）已知实数a，b满足，则的最小值为___________．
【答案】5
【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和．
如图，设点N关于直线对称的点为，
则，解得，
当三点共线时，最小，即最小
所以的最小值为．
故答案为：5．
例55．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
【答案】
【解析】因点M在直线上，设，
于是得，
当时，，当时，，当时，，
因此，当且仅当时，取最小值，
所以点M的坐标是．
故答案为：
例56．（2022·江西南昌·高二期末（理））定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________．
【答案】2
【解析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值．
故答案为：2
例57．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．
【答案】
【解析】函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：．
故答案为：．
例58．（2022·全国·高二专题练习）设的最小值为_______．
【答案】
【解析】从几何意义看，
+表示点到点和距离的和，
其最小值为和两点间的距离．
故答案为：
例59．（2022·全国·高二课时练习）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.
故选：C
例60．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】C
【解析】依题意，，，.
取中点为，由于为直角三角形，故
由于为直角三角形，故
显然，，当且仅当 三点共线时，等号成立.
因此，最大值为.
故选：C.
例61．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
例62．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
例63．（2022·江苏·高二专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（ ）
A． B．
C． D．|ax0+by0+c|
【答案】A
【解析】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设，
则两点的“垂直距离”为：
所以两点的“垂直距离”的最小值为．
故选A．
【方法技巧与总结】
利用距离的几何意义进行等价转换．
题型九：线段和与差的最值问题
例64．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：D
例65．（2022·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（文））已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
【答案】C
【解析】依题意，点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取“=”，
因此，，
所以 的最小值为10．
故选：C
例66．（2022·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是．
故选：A
例67．（2022·全国·高二专题练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．
【答案】
【解析】由平行线距离公式得：，
设，则，
所以
，
设点，如下图：
则有：
即当三点共线时等号成立），
综上，．
故答案为：
例68．（2022·全国·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为关于x轴的对称点，则 ，所以的最小值为．
故答案为：
例69．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，
所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
例70．（2022·江苏·高二）已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________．
【答案】
【解析】点在直线的同侧
设点关于的对称点为
解得，即
由题意，点为直线与的交点
直线的方程为：
故点的坐标为
故答案为：
例71．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】如图，作B关于l的对称点，设，
则，解得，
所以．
因为与B关于l对称，所以，
所以，
当且仅当P为与l的交点时取等号．
所以的最大值为，
故答案为：
例72．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】如图，可得两点在直线的异侧，点关于直线的对称点为，
则，所以当三点共线时，取得最大值为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
利用三角形的性质进行判断.
【同步练习】
一、单选题
1．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【解析】方法一 由题意得，即，所以或，解得或．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．
故选：D
2．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点在直线上，
则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，
即 ，
故选：C
3．若点在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知的几何意义为点到点距离的平方，
故其最小值为点到直线：的距离的平方，
即，
故选：B.
4．直线和间的距离为（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线
由平行线的距离公式：
故选：C
5．直线关于对称直线，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，直线与直线交于点，直线过原点，
因为直线与直线l关于直线对称，
所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，
则直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即.
故选：C
6．已知点，直线：，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知点P到直线l的距离为，
时，，
时，，，所以，
综上，．
故选：C．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
8．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，直线的方程为，即，
设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，
此时直线的方程为，联立，解得，
因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.
故选：C.
二、多选题
9．一束光线自点射入，经轴反射后过点，则下列点在反射光线所在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，
所以反射光线所在的直线方程为，即．
对于A，当时，，所以A错误．
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，当时，，得，所以C正确，
对于D，当时，，得，所以D正确，
故选：CD
10．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；
对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；
对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；
对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．
故选：BC
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【答案】ACD
【解析】对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
12．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若是三角形的三个顶点，则有
C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
【答案】AC
【解析】对A，若点在线段上，设，
则在之间，在之间，
则
，故A正确；
对B，在中，
，故B错误；
对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，
则，解得，故C正确；
对D，设，则，即的最小值为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．
【答案】或
【解析】方法一：由，得两直线的交点坐标为．
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，
则，解得，
此时直线m的方程为；
当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．
综上，直线m的方程为或．
方法二：设直线m的方程为，即，则，
解得或，
所以直线m的方程为或．
故答案为：或
14．如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．
【答案】
【解析】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
15．已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】当，直线和平行，不满足题意，
故，此时联立方程，解得，
因为交点在第二象限，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：
16．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
【答案】
【解析】过点P作PR垂直于，垂足为R，
．
记与的夹角为，则
则
所以，即之间距离的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，
即．
根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．
故直线的方程为或．
（2）（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，
令，整理得，
则，方程无解，
所以没有符合题意的直线．
综上，不存在符合题意的直线．
18．已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
【解析】（1）直线，令，解得，
所以；
（2）直线与直线平行可知，解得，
所以，即，满足条件，
所以直线与直线间距离.
19．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
【解析】(1)选①直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
直线与直线平行．
可设直线的方程，把代入可得，
直线的方程为，
选②直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
由题意可知直线的斜率存在，设为且，
则过，
代入即解得，
直线的方程，
(2)在直线中，
令可得，
令可得，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知斜率存在的两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
【解析】（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，
由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d4，
化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，
∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．
②若l1、l2的斜率都不存在，
则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0
或l1：x＝0，l2：x＝4．
（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，
两点连线的直线的斜率为，
∴直线l1与l2的斜率均为，
此时，最大距离为5，
l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【解析】（1）设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
22．正方形一条边所在方程为，另一边所在直线方程为，
(1)求正方形中心所在的直线方程；
(2)设正方形中心，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求的取值范围．
【解析】（1）由于正方形中心所在直线平行于直线，设中心所在直线为，由平行线间的距离公式得，解得．则正方形中心所在的直线方程为；
（2）正方形的边长即为平行直线与间的距离，设正方形所在直线方程为，由于中心到的距离均等于，那么，解得 ①，又因为在直线上，那么，即 ②，把②代入①得 ③，联立方程，解得，由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得 ④，把③代入④得到，解得．故的取值范围为