高二数学人教A版2019选择性必修第一册 2.4 圆的方程 精品讲义（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版2019选择性必修第一册 2.4 圆的方程 精品讲义（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-28 18:36:33 | ||
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文档简介
2．4 圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程
例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．
例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
，
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
（1）求圆心所在直线的方程；
（2）求周长最小的圆的标准方程；
（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【方法技巧与总结】
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是 ，求它的外接圆的方程．
例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
例16．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________．
【方法技巧与总结】
（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．
（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例18．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例19．（2022·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例20．（2022·全国·高一）画出方程表示的曲线．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆的周长的最大值．
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
（1）若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
例23．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
例25．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
例26．（2022·山东济宁·高二期中）若某圆的方程为，则a的值为______．
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型五：圆过定点问题
例28．（2022·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例30．（2022·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线 找出通过定点的坐标．
例31．（2022·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上．
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点．
例33．（2022·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程即可．
题型六：轨迹问题
例34．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
，
例35．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
例36．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
例38．（2022·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求l的方程及的面积
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点．求点的轨迹方程；
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
例43．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点，且______．
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
例44．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B是平面内的两点，且，用坐标法判断平面内满足下列条件的动点P是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（1）；
（2）．
例46．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
例47．（2022·西藏·拉萨中学高一期中）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高一课时练习）设定点，动点在圆上运动，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．
例49．（2022·北京十五中高二期中）已知圆，则圆C的坐标为____，圆C的半径为_______．
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；
（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；
（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
求轨迹时常用的方法：代入法
对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
【同步练习】
一．单选题
1．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A． B． C． D．
2．过点且与直线相切的半径最小的圆方程是
A． B．
C． D．
3．已知点在圆的外部，则的取值范围是
A．， B．，，
C．，， D．，，
4．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆方程的圆心为
A． B． C． D．
6．某圆经过，两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为
A． B． C．或 D．或
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点．的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为
A．1 B． C． D．2
二．多选题
9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有
A． B． C． D．
10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A．
B．圆关于直线对称
C．圆与轴相切
D．的最大值为9
11．已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为
A． B． C． D．
三．填空题
13．设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
14．过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ．
15．如图，点，，那么在轴正半轴上存在点，使得最大，这就是著名的米勒问题．那么当取得最大时，外接圆的标准方程是 ．
16．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为 ．（化为标准形式）
四．解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
18．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得两段弧长之比．
19．求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点，，圆心在轴上；
（2）经过直线与的交点，圆心为点．
20．1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知中，，，的欧拉线方程为．
（1）求外接圆的标准方程；
（2）求点到直线的距离．
注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，，，，则的重心是．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，求圆的一般方程．
22．设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于，两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由
2．4 圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程
例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为．
故选：D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9．
故选：B．
例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或，
故选：AD．
例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，
因为圆过点，且圆心在直线上，
则有，解得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
【答案】
【解析】设圆的圆心，半径为，
由条件可知，所以圆的方程是．
故答案为：
例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
【答案】
【解析】因为，
所以线段PQ的中点为（0，0），，
所以以为直径的圆的方程为，
故答案为：
例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为．
故答案为：．
例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，
圆心（2，2），半径为2，
圆心（2，2）关于直线的对称点为原点，
所以所求对称圆的标准方程为，
故答案为：
例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
【答案】
【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，
所以可设圆心为，半径为，
由题意知，，
又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，
，
所以，
解得，，
所以所求圆C的方程为．
故答案为：
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
（1）求圆心所在直线的方程；
（2）求周长最小的圆的标准方程；
（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【解析】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【解析】（1）点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为．
（2）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为．
【方法技巧与总结】
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是 ，求它的外接圆的方程．
【解析】由题意得，等腰三角形顶点的坐标为或．
当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为，
则解得
所以圆的方程为．
当顶点坐标是时，同理可得圆的方程为．
综上，它的外接圆的方程为或．
例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得，所以所求圆的方程为．
故选：B
例15．（2022·全国·高三专题练习）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是．
故选：B．
例16．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________．
【答案】
【解析】设圆C的一般方程为，
由题意可得，解得，
即圆C的一般方程为．
【方法技巧与总结】
（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．
（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例18．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，解得或a＞3，
则实数a的取值范围是，
故选：C．
例19．（2022·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故．
故选：D．
【方法技巧与总结】
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例20．（2022·全国·高一）画出方程表示的曲线．
【解析】由题意得：，，方程两边平方得：，
如图所示：实线为所求
方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆的周长的最大值．
【解析】（1）原方程可化为，
若方程表示一个圆，则，解得，
即实数m的取值范围是．
（2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为．
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
（1）若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为点M（6，9）在圆N上，所以，
即，又，所以．
（2）因为圆心，，，
所以，，
所以，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为，
所以，故实数a的取值范围是．
例23．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
【答案】ACD
【解析】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对．
故选：ACD．
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
【答案】AC
【解析】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误．
故选：AC
例25．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【解析】由题意知：，即，解得或．
故答案为：或．
例26．（2022·山东济宁·高二期中）若某圆的方程为，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由，得或，当时，方程为，不满足题意；当时，方程为表示圆．
故答案为：2
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若表示圆，则，
解得．
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是．
故选：B
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型五：圆过定点问题
例28．（2022·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
故选：D．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】方程可化为．
曲线恒过定点，，解得或．
点在第三象限，，代入直线的方程，
可得．
故选：．
例30．（2022·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线 找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由
解得
即圆过定点．
例31．（2022·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点．
【解析】证明：圆系方程可化为．
设．
∵对（）恒成立，
∴，解得或．
因此，圆系过定点和．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上．
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点．
【解析】（1）因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为．
又因为动圆经过坐标原点，
所以动圆的半径，所以半径的最小值为．
并且此时圆的方程为：．
（2）设定点坐标，，因为圆的方程为：
所以，
即，
因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，
所以只可能且
即解方程组可得：，或者，（舍去）
所以圆恒过一定点，．
例33．（2022·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【解析】（1）由题可知圆心的坐标为，
令消去，得．
∵直线过点．
∴圆心在过点的定直线上．
（2）∵以为直径的圆过原点，
∴．
∴，
∴．
即当时，以为直径的圆过原点．
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程即可．
题型六：轨迹问题
例34．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
【答案】
【解析】，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
例35．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为．
故答案为：
例36．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】，圆心，半径，
设过点的弦为，，
当直线、斜率存在时，，，
因为，所以，
则，整理得；
当直线斜率不存在时，
直线方程为，，满足；
当直线斜率不存在时，
直线方程为，，满足，
综上所述，点的轨迹方程为，
故答案为：．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【解析】（1）设，，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则，所以，；
（3）作出关于轴得对称点，如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为．
例38．（2022·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
例39．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点，则，
化简整理得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所求图形的面积为，
故选：D．
例40．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求l的方程及的面积
【解析】（1）由圆，可化为，
所以圆心为，半径为4，
设，则，，
由题设知，故，
即．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是．
（2）由上可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，
从而，
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，
故的方程为，即，
又，
O到的距离为，，
所以的面积为．
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点．求点的轨迹方程；
【解析】设线段中点为，点，
，，
，，
又因为点A在圆上，
，
即点C的轨迹方程为：．
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
例43．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点，且______．
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【解析】（1）方案一：选条件①．
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为．
方案二：选条件②．
直线恒过点．
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即．
方案三：选条件③．
设圆E的方程为．
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即．
（2）设．
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为．
例44．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
【解析】（1）设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即．
（2）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B是平面内的两点，且，用坐标法判断平面内满足下列条件的动点P是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（1）；
（2）．
【解析】（1）以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，因为，
则，
即，
（2）设，
因为，
所以，
即，这样的点P不存在，所以点P的轨迹不存在．
例46．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
【解析】方法一：设点，
，，，，
由题意可知：，
，，
整理得：，
三点不共线，
应去除．
直角顶点的轨迹方程为：（除去两点．
方法二：设BC中点为D（），则DB＝DC＝DA，即A在以D为圆心，为半径的圆上（不能和B、C重合），
故A的轨迹方程为（除去两点）．
例47．（2022·西藏·拉萨中学高一期中）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
【解析】（1）设，则，
设线段中点坐标为，
则，解得，
代入，得，
即；
（2）设线段中点坐标为，
因为，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
化简得．
例48．（2022·全国·高一课时练习）设定点，动点在圆上运动，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．
【解析】如图所示，连接，．设，，
则线段的中点坐标为，线段的中点坐标为．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，，
所以．
又点在圆上，
所以，
即所求点的轨迹方程为，
但应除去两点和（点在直线上的情况）．
例49．（2022·北京十五中高二期中）已知圆，则圆C的坐标为____，圆C的半径为_______．
【答案】（0，2） 2
【解析】因为圆，即圆，
所以圆的圆心为（0，2），半径为2．
故答案为：（0，2），2．
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；
（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；
（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
求轨迹时常用的方法：代入法
对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
【同步练习】
一．单选题
1．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A． B． C． D．
【解析】圆可化为，
圆心为，半径为1，
圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为1，
圆的方程为：，
即，
故选：．
2．过点且与直线相切的半径最小的圆方程是
A． B．
C． D．
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为．
故选：．
3．已知点在圆的外部，则的取值范围是
A．， B．，，
C．，， D．，，
【解析】圆的圆心为，半径，
由于点在圆的外部，
所以，解得．
即．
故选：．
4．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】方程是圆，
，解得：，
故命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，
故选：．
5．已知圆方程的圆心为
A． B． C． D．
【解析】因为，即，所以圆心坐标为；
故选：．
6．某圆经过，两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
【解析】因为圆经过，两点，
所以圆心在中垂线上，
联立解得圆心，
所以圆的半径，
故所求圆的方程为，
故选：．
7．已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为
A． B． C．或 D．或
【解析】设圆的半径为，圆心为，
则由已知可得，
解得或0，当时，，
当时，，
故选：．
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点．的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为
A．1 B． C． D．2
【解析】因为点、是轴正半轴上的两个定点，点是轴正半轴上的一个动点，
根据米勒定理可知，当的外接圆与轴相切时，最大，
由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过的外接圆圆心，
所以弦中点的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即，
依题意，可求得的外接圆的方程为，
令，求得点的横坐标为，
故选：．
二．多选题
9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有
A． B． C． D．
【解析】因为，所以点在圆外．
因为，所以点在圆内．
因为，所以点在圆内．
因为，所以点在圆外．
故选：．
10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A．
B．圆关于直线对称
C．圆与轴相切
D．的最大值为9
【解析】方程表示以为圆心，4为半径的圆，
故它的标准方程为，故，，，，
故正确；
由于圆心在直线上，故圆关于直线对称，故正确；
由于圆心到轴的距离为2，小于半径4，故圆和轴相交，故错误，
结合圆心到点的距离为5，
而表示圆上的点到点的距离，
故的最大值为，故正确，
故选：．
11．已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】圆，即圆，
表示以为圆心，半径为的圆，
圆在曲线的内部，
故圆心到直线的距离大于或等于半径，
且圆心到直线的距离大于或等于半径，
，且，即，
，求得，
故选：．
12．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为
A． B． C． D．
【解析】如图，，
过点， 的直线方程为
即，
点到直线 的距离，
又
由图可知，以原点为圆心的圆若与 有唯一的公共点，
则公共点为或，
所以圆的半径为1或．
故所求圆的方程为 或．
故选：．
三．填空题
13．设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【解析】由点在直线上，可设，
由于点和均在上，圆的半径为，
求得，可得半径为，圆心，
故的方程为，
故答案为：．
14．过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ．
【解析】设圆的方程为，
因为过且与直线垂直的直线方程为，即，
又，，
则的中垂线方程为，
联立得，，即圆心，
因为，
所以圆的方程为．
故答案为：．
15．如图，点，，那么在轴正半轴上存在点，使得最大，这就是著名的米勒问题．那么当取得最大时，外接圆的标准方程是 ．
【解析】因为点、是轴正半轴上的两个定点，点是轴正半轴上的一个动点，
根据米勒定理可知，当的外接圆与轴相切时，最大，
由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过外接圆的圆心，
所以弦的中点的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即，
依题意，可得的外接圆的方程为，，
把点代入圆的方程，求得，
所以的外接圆的方程为．
故答案为：．
16．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为 ．（化为标准形式）
【解析】设，则
过、作两条互相垂直的直线和的交点，
，
，，，
，
化简整理可得．
故答案为：．
四．解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【解析】（Ⅰ）设圆心半径为，则有，（1分）
又落在过且垂直于的直线上，（3分）
，解得，，从而（5分）
圆方程为：（6分）
（Ⅱ）设，，，则有，，（8分）
解得，，代入圆方程得：，（10分）
化简得（11分）
表示以为圆心，为半径的圆．（12分）
18．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得两段弧长之比．
【解析】（1）设圆，代入已知点的坐标，
可得
解得：，，．
圆的方程为；
（2）由，得，
可知圆的圆心坐标为，该点在直线上，
直线截圆所得两段弧长之比为．
19．求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点，，圆心在轴上；
（2）经过直线与的交点，圆心为点．
【解析】（1）圆经过点，，圆心在轴上，
设圆心，由，可得，
解得，故圆心，半径，
故要求的圆的方程为．
（2）由，求得，
故直线与的交点为，
半径为，
故要求的圆的方程为．
20．1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知中，，，的欧拉线方程为．
（1）求外接圆的标准方程；
（2）求点到直线的距离．
注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，，，，则的重心是．
【解析】由题知，边的中点为，直线的斜率为，
所以边的中垂线的方程为，
即，
又因为的外心在其欧拉线 上，
所以联立，解得，
即 的外心为，
所以外接圆的半径为，
所以外接圆的标准方程为．
（2）设点，则由（1）知，
因为 的重心在欧拉线上，
所以，
即，
所以，解得，
即
又，所以直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，求圆的一般方程．
【解析】（1）若此方程表示圆，则，，
即实数的取值范围是，
（2）由（1）可知，此时圆，
圆心坐标为，半径为1，
因为圆和圆关于轴对称，
所以圆圆心坐标是，半径是1，
故圆方程为，
化为一般方程为．
22．设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于，两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由．
【解析】（1）设圆心，，半径为，由垂径定理得，
，且，解得，．
圆的方程为；
（2）设，，，是直线与圆的交点，
将代入圆的方程，可得．
△．
，，
的中点，．
假如以为直径的圆过原点，则，
圆心到直线的距离，
，
又由，
则有，
整理得，解得．
经检验，时，直线与圆相交，
的方程为或
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程
例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．
例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
，
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
（1）求圆心所在直线的方程；
（2）求周长最小的圆的标准方程；
（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【方法技巧与总结】
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是 ，求它的外接圆的方程．
例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
例16．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________．
【方法技巧与总结】
（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．
（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例18．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例19．（2022·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例20．（2022·全国·高一）画出方程表示的曲线．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆的周长的最大值．
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
（1）若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
例23．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
例25．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
例26．（2022·山东济宁·高二期中）若某圆的方程为，则a的值为______．
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型五：圆过定点问题
例28．（2022·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例30．（2022·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线 找出通过定点的坐标．
例31．（2022·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上．
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点．
例33．（2022·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程即可．
题型六：轨迹问题
例34．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
，
例35．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
例36．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
例38．（2022·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求l的方程及的面积
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点．求点的轨迹方程；
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
例43．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点，且______．
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
例44．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B是平面内的两点，且，用坐标法判断平面内满足下列条件的动点P是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（1）；
（2）．
例46．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
例47．（2022·西藏·拉萨中学高一期中）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高一课时练习）设定点，动点在圆上运动，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．
例49．（2022·北京十五中高二期中）已知圆，则圆C的坐标为____，圆C的半径为_______．
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；
（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；
（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
求轨迹时常用的方法：代入法
对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
【同步练习】
一．单选题
1．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A． B． C． D．
2．过点且与直线相切的半径最小的圆方程是
A． B．
C． D．
3．已知点在圆的外部，则的取值范围是
A．， B．，，
C．，， D．，，
4．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆方程的圆心为
A． B． C． D．
6．某圆经过，两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为
A． B． C．或 D．或
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点．的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为
A．1 B． C． D．2
二．多选题
9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有
A． B． C． D．
10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A．
B．圆关于直线对称
C．圆与轴相切
D．的最大值为9
11．已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为
A． B． C． D．
三．填空题
13．设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
14．过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ．
15．如图，点，，那么在轴正半轴上存在点，使得最大，这就是著名的米勒问题．那么当取得最大时，外接圆的标准方程是 ．
16．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为 ．（化为标准形式）
四．解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
18．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得两段弧长之比．
19．求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点，，圆心在轴上；
（2）经过直线与的交点，圆心为点．
20．1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知中，，，的欧拉线方程为．
（1）求外接圆的标准方程；
（2）求点到直线的距离．
注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，，，，则的重心是．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，求圆的一般方程．
22．设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于，两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由
2．4 圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程
例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为．
故选：D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9．
故选：B．
例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或，
故选：AD．
例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，
因为圆过点，且圆心在直线上，
则有，解得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
【答案】
【解析】设圆的圆心，半径为，
由条件可知，所以圆的方程是．
故答案为：
例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
【答案】
【解析】因为，
所以线段PQ的中点为（0，0），，
所以以为直径的圆的方程为，
故答案为：
例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为．
故答案为：．
例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，
圆心（2，2），半径为2，
圆心（2，2）关于直线的对称点为原点，
所以所求对称圆的标准方程为，
故答案为：
例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
【答案】
【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，
所以可设圆心为，半径为，
由题意知，，
又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，
，
所以，
解得，，
所以所求圆C的方程为．
故答案为：
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
（1）求圆心所在直线的方程；
（2）求周长最小的圆的标准方程；
（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【解析】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【解析】（1）点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为．
（2）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为．
【方法技巧与总结】
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是 ，求它的外接圆的方程．
【解析】由题意得，等腰三角形顶点的坐标为或．
当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为，
则解得
所以圆的方程为．
当顶点坐标是时，同理可得圆的方程为．
综上，它的外接圆的方程为或．
例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得，所以所求圆的方程为．
故选：B
例15．（2022·全国·高三专题练习）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是．
故选：B．
例16．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________．
【答案】
【解析】设圆C的一般方程为，
由题意可得，解得，
即圆C的一般方程为．
【方法技巧与总结】
（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．
（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例18．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，解得或a＞3，
则实数a的取值范围是，
故选：C．
例19．（2022·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故．
故选：D．
【方法技巧与总结】
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例20．（2022·全国·高一）画出方程表示的曲线．
【解析】由题意得：，，方程两边平方得：，
如图所示：实线为所求
方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆的周长的最大值．
【解析】（1）原方程可化为，
若方程表示一个圆，则，解得，
即实数m的取值范围是．
（2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为．
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
（1）若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为点M（6，9）在圆N上，所以，
即，又，所以．
（2）因为圆心，，，
所以，，
所以，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为，
所以，故实数a的取值范围是．
例23．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
【答案】ACD
【解析】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对．
故选：ACD．
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
【答案】AC
【解析】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误．
故选：AC
例25．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【解析】由题意知：，即，解得或．
故答案为：或．
例26．（2022·山东济宁·高二期中）若某圆的方程为，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由，得或，当时，方程为，不满足题意；当时，方程为表示圆．
故答案为：2
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若表示圆，则，
解得．
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是．
故选：B
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型五：圆过定点问题
例28．（2022·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
故选：D．
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】方程可化为．
曲线恒过定点，，解得或．
点在第三象限，，代入直线的方程，
可得．
故选：．
例30．（2022·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线 找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由
解得
即圆过定点．
例31．（2022·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点．
【解析】证明：圆系方程可化为．
设．
∵对（）恒成立，
∴，解得或．
因此，圆系过定点和．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上．
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点．
【解析】（1）因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为．
又因为动圆经过坐标原点，
所以动圆的半径，所以半径的最小值为．
并且此时圆的方程为：．
（2）设定点坐标，，因为圆的方程为：
所以，
即，
因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，
所以只可能且
即解方程组可得：，或者，（舍去）
所以圆恒过一定点，．
例33．（2022·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【解析】（1）由题可知圆心的坐标为，
令消去，得．
∵直线过点．
∴圆心在过点的定直线上．
（2）∵以为直径的圆过原点，
∴．
∴，
∴．
即当时，以为直径的圆过原点．
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程即可．
题型六：轨迹问题
例34．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
【答案】
【解析】，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
例35．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为．
故答案为：
例36．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】，圆心，半径，
设过点的弦为，，
当直线、斜率存在时，，，
因为，所以，
则，整理得；
当直线斜率不存在时，
直线方程为，，满足；
当直线斜率不存在时，
直线方程为，，满足，
综上所述，点的轨迹方程为，
故答案为：．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
【解析】（1）设，，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则，所以，；
（3）作出关于轴得对称点，如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为．
例38．（2022·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
例39．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点，则，
化简整理得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所求图形的面积为，
故选：D．
例40．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求l的方程及的面积
【解析】（1）由圆，可化为，
所以圆心为，半径为4，
设，则，，
由题设知，故，
即．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是．
（2）由上可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，
从而，
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，
故的方程为，即，
又，
O到的距离为，，
所以的面积为．
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点．求点的轨迹方程；
【解析】设线段中点为，点，
，，
，，
又因为点A在圆上，
，
即点C的轨迹方程为：．
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
例43．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点，且______．
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【解析】（1）方案一：选条件①．
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为．
方案二：选条件②．
直线恒过点．
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即．
方案三：选条件③．
设圆E的方程为．
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即．
（2）设．
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为．
例44．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
【解析】（1）设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即．
（2）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B是平面内的两点，且，用坐标法判断平面内满足下列条件的动点P是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（1）；
（2）．
【解析】（1）以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，因为，
则，
即，
（2）设，
因为，
所以，
即，这样的点P不存在，所以点P的轨迹不存在．
例46．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
【解析】方法一：设点，
，，，，
由题意可知：，
，，
整理得：，
三点不共线，
应去除．
直角顶点的轨迹方程为：（除去两点．
方法二：设BC中点为D（），则DB＝DC＝DA，即A在以D为圆心，为半径的圆上（不能和B、C重合），
故A的轨迹方程为（除去两点）．
例47．（2022·西藏·拉萨中学高一期中）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
【解析】（1）设，则，
设线段中点坐标为，
则，解得，
代入，得，
即；
（2）设线段中点坐标为，
因为，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
化简得．
例48．（2022·全国·高一课时练习）设定点，动点在圆上运动，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．
【解析】如图所示，连接，．设，，
则线段的中点坐标为，线段的中点坐标为．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，，
所以．
又点在圆上，
所以，
即所求点的轨迹方程为，
但应除去两点和（点在直线上的情况）．
例49．（2022·北京十五中高二期中）已知圆，则圆C的坐标为____，圆C的半径为_______．
【答案】（0，2） 2
【解析】因为圆，即圆，
所以圆的圆心为（0，2），半径为2．
故答案为：（0，2），2．
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；
（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；
（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
求轨迹时常用的方法：代入法
对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
【同步练习】
一．单选题
1．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A． B． C． D．
【解析】圆可化为，
圆心为，半径为1，
圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为1，
圆的方程为：，
即，
故选：．
2．过点且与直线相切的半径最小的圆方程是
A． B．
C． D．
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为．
故选：．
3．已知点在圆的外部，则的取值范围是
A．， B．，，
C．，， D．，，
【解析】圆的圆心为，半径，
由于点在圆的外部，
所以，解得．
即．
故选：．
4．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】方程是圆，
，解得：，
故命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，
故选：．
5．已知圆方程的圆心为
A． B． C． D．
【解析】因为，即，所以圆心坐标为；
故选：．
6．某圆经过，两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为
A． B．
C． D．
【解析】因为圆经过，两点，
所以圆心在中垂线上，
联立解得圆心，
所以圆的半径，
故所求圆的方程为，
故选：．
7．已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为
A． B． C．或 D．或
【解析】设圆的半径为，圆心为，
则由已知可得，
解得或0，当时，，
当时，，
故选：．
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点．的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为
A．1 B． C． D．2
【解析】因为点、是轴正半轴上的两个定点，点是轴正半轴上的一个动点，
根据米勒定理可知，当的外接圆与轴相切时，最大，
由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过的外接圆圆心，
所以弦中点的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即，
依题意，可求得的外接圆的方程为，
令，求得点的横坐标为，
故选：．
二．多选题
9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有
A． B． C． D．
【解析】因为，所以点在圆外．
因为，所以点在圆内．
因为，所以点在圆内．
因为，所以点在圆外．
故选：．
10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A．
B．圆关于直线对称
C．圆与轴相切
D．的最大值为9
【解析】方程表示以为圆心，4为半径的圆，
故它的标准方程为，故，，，，
故正确；
由于圆心在直线上，故圆关于直线对称，故正确；
由于圆心到轴的距离为2，小于半径4，故圆和轴相交，故错误，
结合圆心到点的距离为5，
而表示圆上的点到点的距离，
故的最大值为，故正确，
故选：．
11．已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】圆，即圆，
表示以为圆心，半径为的圆，
圆在曲线的内部，
故圆心到直线的距离大于或等于半径，
且圆心到直线的距离大于或等于半径，
，且，即，
，求得，
故选：．
12．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为
A． B． C． D．
【解析】如图，，
过点， 的直线方程为
即，
点到直线 的距离，
又
由图可知，以原点为圆心的圆若与 有唯一的公共点，
则公共点为或，
所以圆的半径为1或．
故所求圆的方程为 或．
故选：．
三．填空题
13．设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【解析】由点在直线上，可设，
由于点和均在上，圆的半径为，
求得，可得半径为，圆心，
故的方程为，
故答案为：．
14．过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ．
【解析】设圆的方程为，
因为过且与直线垂直的直线方程为，即，
又，，
则的中垂线方程为，
联立得，，即圆心，
因为，
所以圆的方程为．
故答案为：．
15．如图，点，，那么在轴正半轴上存在点，使得最大，这就是著名的米勒问题．那么当取得最大时，外接圆的标准方程是 ．
【解析】因为点、是轴正半轴上的两个定点，点是轴正半轴上的一个动点，
根据米勒定理可知，当的外接圆与轴相切时，最大，
由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过外接圆的圆心，
所以弦的中点的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即，
依题意，可得的外接圆的方程为，，
把点代入圆的方程，求得，
所以的外接圆的方程为．
故答案为：．
16．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为 ．（化为标准形式）
【解析】设，则
过、作两条互相垂直的直线和的交点，
，
，，，
，
化简整理可得．
故答案为：．
四．解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【解析】（Ⅰ）设圆心半径为，则有，（1分）
又落在过且垂直于的直线上，（3分）
，解得，，从而（5分）
圆方程为：（6分）
（Ⅱ）设，，，则有，，（8分）
解得，，代入圆方程得：，（10分）
化简得（11分）
表示以为圆心，为半径的圆．（12分）
18．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得两段弧长之比．
【解析】（1）设圆，代入已知点的坐标，
可得
解得：，，．
圆的方程为；
（2）由，得，
可知圆的圆心坐标为，该点在直线上，
直线截圆所得两段弧长之比为．
19．求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点，，圆心在轴上；
（2）经过直线与的交点，圆心为点．
【解析】（1）圆经过点，，圆心在轴上，
设圆心，由，可得，
解得，故圆心，半径，
故要求的圆的方程为．
（2）由，求得，
故直线与的交点为，
半径为，
故要求的圆的方程为．
20．1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知中，，，的欧拉线方程为．
（1）求外接圆的标准方程；
（2）求点到直线的距离．
注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，，，，则的重心是．
【解析】由题知，边的中点为，直线的斜率为，
所以边的中垂线的方程为，
即，
又因为的外心在其欧拉线 上，
所以联立，解得，
即 的外心为，
所以外接圆的半径为，
所以外接圆的标准方程为．
（2）设点，则由（1）知，
因为 的重心在欧拉线上，
所以，
即，
所以，解得，
即
又，所以直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，求圆的一般方程．
【解析】（1）若此方程表示圆，则，，
即实数的取值范围是，
（2）由（1）可知，此时圆，
圆心坐标为，半径为1，
因为圆和圆关于轴对称，
所以圆圆心坐标是，半径是1，
故圆方程为，
化为一般方程为．
22．设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于，两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由．
【解析】（1）设圆心，，半径为，由垂径定理得，
，且，解得，．
圆的方程为；
（2）设，，，是直线与圆的交点，
将代入圆的方程，可得．
△．
，，
的中点，．
假如以为直径的圆过原点，则，
圆心到直线的距离，
，
又由，
则有，
整理得，解得．
经检验，时，直线与圆相交，
的方程为或