高二数学人教A版2019选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 单元综合测试卷（Word版含解析）

第一章 空间向量与立体几何 单元综合测试卷
一、单选题
1．两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．的充要条件为
B．的充要条件为
C．的充要条件为存在实数使得
D．的充要条件为
2．以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．四面体的外接球体积为
8．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为； ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为； ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给定下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，分别是平面，的法向量，则
B．若，分别是平面，的法向量，则
C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面BCE⊥平面ABN B．MC⊥AN
C．平面CMN⊥平面AMN D．平面BDE∥平面AMN
11．下列四个命题中，正确命题的有（ ）
A．若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为；
B．若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；
C．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为；
D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则.
12．如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．向量共面
C．
D．若，则该平行六面体的高为
三、填空题
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
14．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
15．已知向量，若共面，则________．
16．在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
四、解答题
17．如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．
(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角平面角为．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
19．如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，．
(1)求直线与直线所成角的余弦值．
(2)若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值．
20．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
21．如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使，M为线段DE上的动点，如图2.
(1)求二面角的大小；
(2)设，若AM所在直线与平面BCE相交，求的取值范围.
22．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值
第一章 空间向量与立体几何 单元综合测试卷
一、单选题
1．两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．的充要条件为
B．的充要条件为
C．的充要条件为存在实数使得
D．的充要条件为
【答案】D
【解析】
【分析】
依据面面垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项A；依据线线垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项B；依据面面平行的定义及数乘向量的几何意义判断选项C；依据线面平行的定义及向量数量积的几何意义判断选项D.
【详解】
选项A：.判断正确；
选项B：.判断正确；
选项C：存在实数使得.判断正确；
选项D：若，则有；若，则有或，
则是的充分不必要条件.判断错误.
故选：D
2．以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】B
【解析】
【分析】
利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，设，所以，，无解；
对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设，所以，，无解；
对于D选项，设，所以，，矛盾.
故选：B.
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共面定理即可求解．
【详解】
解：对A：，故A选项中向量共面；
对B：，故B选项中向量共面；
对D：，故D选项中向量共面；
假设，，共面，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，故C选项中向量不共面；
故选：C.
4．在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
5．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
6．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.
【详解】
由题意得：，，且，
又，，
，
，.
故选：D.
7．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．四面体的外接球体积为
【答案】C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角，二面角及线面角，判断ABC选项，D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球半径和体积.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
A选项，设异面直线与所成的角为，
则，
故异面直线与所成的角为，A正确；
B选项，设平面的法向量为，
则有，令得：，
则，
平面的法向量为，
设二面角的大小为，显然为锐角，则，
所以，，故二面角的正切值为，B正确；
C选项，设平面的法向量为，
则令，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
则，C错误；
D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，
设外接球半径为R，则，则外接球体积为，D正确.
故选：C
8．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为； ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为； ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作平面，垂足为，取中点，利用长度关系可求得，利用勾股定理可知①正确；在上取点，使得，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，可表示出，利用点到平面距离的向量求法可表示出，令，可得，由此确定②正确；将等边三角形与沿展开，可知，由此可知③正确；设为中点，若点在线段上，设，利用余弦定理表示出，可知当时，；当时，，结合二次函数最值的求法可求得的范围，知④正确.
【详解】
四面体所有棱长均为，四面体为正四面体；
对于①，作平面，垂足为，
四面体为正四面体，为的中心，且；
取中点，连接，则，且平面；
，，；
平面，平面，，，①正确；
对于②，在上取点，使得，则，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设，，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
，
点到平面的距离，
令，则，，
，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确；
对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示，
则（当且仅当为中点时取等号），
四边形为菱形，分别为中点，，
，
则在四面体中，周长的最小值为，③正确；
对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中，
在中，；
在中，同理可得：，
；
当时，；
当时，，，
，；
的取值范围为；
同理可得：当在线段上时，的取值范围为；
综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确.
故选：D.
二、多选题
9．给定下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，分别是平面，的法向量，则
B．若，分别是平面，的法向量，则
C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得出答案.
【详解】
对A，若，分别是平面，的法向量，则，故A正确B错误；
对C，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C正确；
对D，若两个平面垂直时，它们的法向量垂直是真命题，所以它的逆否命题“若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直”也是真命题，故D正确.
故选：ACD.
10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面BCE⊥平面ABN B．MC⊥AN
C．平面CMN⊥平面AMN D．平面BDE∥平面AMN
【答案】ABD
【解析】
【分析】
在A中，推导出，，从而平面，进而平面平面；在B中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出；在C中，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法推导出平面与平面不垂直；在D中，求出平面的法向量，利用向量法能推导出平面平面．
【详解】
解：在A中，四边形是边长为1的正方形，，
平面，平面，，
,平面，，平面，
平面，平面平面，故A正确；
在B中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，1，，，1，，，0，，，0，，
，0，，，0，，
，，故B正确；
在C中，，1，，，0，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
，
平面与平面不垂直，故C错误；
在D中，，1，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，，，所以，
平面平面，故D正确．
故选：ABD．
11．下列四个命题中，正确命题的有（ ）
A．若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为；
B．若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；
C．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为；
D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则.
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据题意，逐项分析，结合相关公式和概念即可求解.
【详解】
对于A，因为向量在基底下的坐标为（，，），则，
设向量在基底下的坐标为（，，，），
则，
所以，解得，，，
所以向量在基底，下的坐标为.故选项A不正确；
对于B，∵向量，，且与的夹角为钝角，
∴，且，解得，且，，故选项B不正确；
对于C，直线的方向向量为，点在上，
则点到的距离为：
，故选项C正确；
对于D，两个不同平面，的法向量分别是，，且，，因为，所以，则，故选项D正确.
故选：CD.
12．如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．向量共面
C．
D．若，则该平行六面体的高为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
选定空间的一个基底，表示出相关向量，计算数量积判断A；利用共面向量定理判断B；求出正四面体的高判断D作答.
【详解】
在平行六面体中，令，不妨令，
依题意，，，
因点M，N分别是棱的中点，则，
，则有，A正确；
，若向量共面，
则存在唯一实数对使得，
即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；
由,则，故C正确.
连接，依题意，，即四面体是正四面体，
因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，
由知，
由选项A知，，
则平面，是平面的一个法向量，，
，
则，所以平行六面体的高为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可.
【详解】
两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
如图，在正三棱锥中，以为基底， ，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.
【详解】
根据题意为正四面体，
两两成角，
所以，
，
所以
.
故答案为：
15．已知向量，若共面，则________．
【答案】±1
【解析】
【分析】
利用共面向量定理直接求解
【详解】
因为向量共面,
所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,
所以，解得,所以x=±1.
故答案为：±1.
16．在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
当为直线与平面的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；当为直线与平面的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断②；计算出的条件即可判断③；求出△的面积的最小值即可判断④.
【详解】
对于①，如图，因为，
所以平面平面，
当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确；
对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，，
则，
有，，所以，，
又平面，所以平面，
当直线交平面于点时，有平面，故②正确；
对于③，因为设（其中），
则△在平面的正投影面积为，
又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，
所以，
若，则，解得或，
因为，所以，故存在点，使得；故③错误；
对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，
取中点，连接，
由②的分析可证得平面，由平面得；
又平面，平面，所以，
所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；
因为在正方体中，易知，
又，所以，
因此，；
所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确.
故答案为：①②④
四、解答题
17．如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．
(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角平面角为．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）首先连接，，，，，根据题意得到且，即可证明四边形为梯形．
（2）首先在平面中，过点作，交于，根据面面垂直的性质得到平面.以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.
(1)
连接，，，，，如图所示：
因为，，
所以，又因为，即中
所以且，
∵中，为的中点，为的中点
所以且，
所以且，
即证：四边形为梯形．
(2)
在线段存在一点F满足，使得二面角平面角为．
因为平面平面，平面平面，
在平面中，过点作，交于.
所以平面.
如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，四边形为正方形，，
所以，，，，，，
平面PCD的一个法向量，
所以，，
设平面的一个法向量，
，令，则，， ，
因为二面角平面角为，
所以，
解得，所以．
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间直角坐标系，可得空间向量，进而可根据向量垂直证明线线垂直，进而可得线面垂直.（2）求解两个平面的法向量，根据法向量的夹角与二面角的关系即可求解.
(1)
证明：∵底面，，
故以为原点，分别为轴 轴 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以，，，
则，，即，，
又，所以平面
(2)
由(1)知，，，
设平面AEB的一个法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，，
所以平面与平面锐二面角的大小为
19．如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，．
(1)求直线与直线所成角的余弦值．
(2)若在线段上存在一点D，且= t，当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由勾股定理逆定理得到，再根据直棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；
（2）依题意可得，，求出、的坐标，依题意可得，则，即可得到方程，解得即可；
(1)
解：在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，．
所以，所以，
又平面，
以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
所以，
即直线与直线所成角的余弦值为；
(2)
解：依题意，，
因为，，
所以
因为，
则，
解得，
所以．
20．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
(1)
因为平面，平面，
所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
，，，
因为，
所以，而平面，
所以平面；
(2)
设平面的法向量为，
，
则有，
由（1）可知平面的法向量为，
所以有，
由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；
(3)
由（2）可知：平面的法向量为，
，所以可得：
，
所以点E到平面的距离为.
21．如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使，M为线段DE上的动点，如图2.
(1)求二面角的大小；
(2)设，若AM所在直线与平面BCE相交，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角；（2）根据题意得到，从而求出的取值范围.
(1)
因为，所以，易得DA，DC，DE两两垂直，以D为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
（1），，，
设平面ABE的法向量
，
，
令，得，.
所以平面ABE的法向量.
设平面CBE的法向量
，
令，得，
所以平面CBE的法向量，
二面角为钝角，所以二面角的大小为.
(2)
因为，所以且，，
因为AM所在直线与平面BCE相交，
所以，解得，
所以的取值范围为.
22．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.
(1)
在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.
即,又为两相交直线，则平面
取PD中点F，连接EF，又，则，则平面
又四边形中，，
则，则三直线两两互相垂直
以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，， ，，
，，,
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，令，则，则
设，则
由直线平面，可得，即
则，解之得，则，又，则
(2)
由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，
又，为平面PBE的一个法向量
则，即，解之得，
则，，
设平面的一个法向量为，又
则，即，令，则，则
设平面与平面夹角为
则
又，则