高二数学人教A版2019选择性必修第一册 2.1 直线的倾斜角与斜率 精品讲义（Word版含答案）

2．1 直线的倾斜角与斜率
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1．要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角．
2．从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
3．倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．
4．直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
5．已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．
知识点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
（1）当直线与x轴平行或重合时，，；
（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
知识点诠释：
1．对于上面的斜率公式要注意下面五点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2．斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
（1）由、点的坐标求的值；
（2）已知及中的三个量可求第四个量；
（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；
（4）证明三点共线．
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．
因此，若，则．
反之，若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2．当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为．若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
【题型归纳目录】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
例1．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
例2．（2022·重庆南开中学高一期末）过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
例3．（2022·四川资阳·高一期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·江苏·高二）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
例5．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
【方法技巧与总结】
（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
例6．（2022·上海市建平中学高一期末）设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则|___．
例7．（2022·全国·高二专题练习）直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
例11．（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
例12．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
【方法技巧与总结】
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
例13．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
例14．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
例15．（2022·江苏省木渎高级中学高一阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
例17．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线与轴 轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．
例19．（2022·全国·高二课时练习）若 三点共线，则实数m的值为___________.
例20．（2022·全国·高二课时练习）已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．
例22．（2022·江苏·高二专题练习）（1）设坐标平面内三点 ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
例23．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值．
【方法技巧与总结】
由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
例24．（2022·江苏·高二专题练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
例26．（2022·全国·高二专题练习）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
例27．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例28．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
例29．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
例30．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
例32．（2022·全国·高二专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
例33．（2022·全国·高二课时练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
【方法技巧与总结】
直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．
一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型五：直线平行
例34．（2022·全国·高二课时练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)的倾斜角为60°，经过点，；
(2)平行于y轴，经过点，．
例35．（2022·江苏·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
例36．（2022·全国·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
例37．（2022·贵州·高二学业考试）已知直线，．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
例38．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线与直线平行，则（ ）
A．或0 B． C．1或0 D．1
例39．（2022·全国·高三专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
例40．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
例41．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））直线：，：，若，则________．
【方法技巧与总结】
判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）．
判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
题型六：直线垂直
例42．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
例43．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线：，：，若，则__________.
例44．（2022·全国·高二专题练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
例45．（2022·江苏·高二课时练习）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．
例46．（2022·四川资阳·高一期末）已知直线与互相垂直，则（ ）
A． B． C．1 D．1或
例47．（2022·全国·高二专题练习）以点，，为顶点的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【方法技巧与总结】
利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
例48．（2022·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
例49．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
例50．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
例51．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
例52．（2022·全国·高二专题练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
例53．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法技巧与总结】
解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．
【同步练习】
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
3．若直线与直线平行，则（ ）
A．或0 B． C．1或0 D．1
4．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
7．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、多选题
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
10．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线的倾斜角一定大于
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．设集合，，且，则正实数a的取值可以为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．
三、填空题
13．已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为______.
14．若函数所表示直线的倾斜角为，则的值为______．
15．若直线，的夹角为，则m的值为___________.
16．直线的倾斜角的取值范围是_______.
四、解答题
17．已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；
(2)．
18．（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
19．下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求实数m的取值集合.
20．已知点，，，.
（1）若直线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.
21．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
22．已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由
2．1 直线的倾斜角与斜率
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1．要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角．
2．从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
3．倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．
4．直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
5．已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．
知识点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
（1）当直线与x轴平行或重合时，，；
（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
知识点诠释：
1．对于上面的斜率公式要注意下面五点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2．斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
（1）由、点的坐标求的值；
（2）已知及中的三个量可求第四个量；
（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；
（4）证明三点共线．
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．
因此，若，则．
反之，若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2．当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为．若，则．
知识点诠释：
1．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
【题型归纳目录】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
例1．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
例2．（2022·重庆南开中学高一期末）过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【解析】由已知直线的斜率为，，
所以倾斜角．
故选：D
例3．（2022·四川资阳·高一期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角．
故选：D．
例4．（2022·江苏·高二）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【答案】D
【解析】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
例5．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
【答案】①②③
【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；
对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；
当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；
对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误.
故答案为：①②③.
【方法技巧与总结】
（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
例6．（2022·上海市建平中学高一期末）设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则|___．
【答案】
【解析】由，且，即，
若，则，而，故，即；
同理，可得.
综上，|.
故答案为：
例7．（2022·全国·高二专题练习）直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【答案】
【解析】直线经过点，，
，
，
，
设直线的倾斜角为，则，
得，
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由斜率的定义可知，.
故选：A．
例9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【解析】∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
例11．（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【解析】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
例12．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
【解析】（1）由斜率公式，得，，，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 ，所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时由增大到，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为．
【方法技巧与总结】
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
例13．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】由题意得，即，所以，
故选：BCD．
例14．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
【答案】
【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
故答案为：.
例15．（2022·江苏省木渎高级中学高一阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
例16．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
例17．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线与轴 轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，解得：，，，
.
故选：D.
例18．（2022·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．
【答案】
【解析】由三点共线
故
故答案为：.
例19．（2022·全国·高二课时练习）若 三点共线，则实数m的值为___________.
【答案】
【解析】由题设，，则，可得.
故答案为：
例20．（2022·全国·高二课时练习）已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．
【答案】或
【解析】设或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．
【解析】若在轴上，则可设，，解得：，；
若在轴上，则可设，，解得：，；
综上所述：点的坐标为或.
例22．（2022·江苏·高二专题练习）（1）设坐标平面内三点 ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【解析】（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.
例23．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值．
【解析】由题意，直线PQ的斜率
解得：
【方法技巧与总结】
由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
例24．（2022·江苏·高二专题练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图，
函数，表示线段其中，，
的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍，
，，
的取值范围是；
故答案为：
例25．（2022·全国·高二专题练习）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
例26．（2022·全国·高二专题练习）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【解析】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
故答案为：.
例27．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线过点，
画出图象如下图所示，
，，
由于直线与线段AB没有公共点，
当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，
根据图象可知的取值范围是，
所以的取值范围是.
故选：A
例28．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
故选：A．
例29．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或
故选：A
例30．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线与线段有交点．
故选：B．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
【答案】[1，2]
【解析】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率.
当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示.
又，，所以，即的取值范围是[1，2].
故答案为：[1，2]
例32．（2022·全国·高二专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
例33．（2022·全国·高二课时练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，
如图，，则，，故的取值范围是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．
一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型五：直线平行
例34．（2022·全国·高二课时练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)的倾斜角为60°，经过点，；
(2)平行于y轴，经过点，．
【解析】（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．
（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．
例35．（2022·江苏·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】D
【解析】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.
故选：D
例36．（2022·全国·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【答案】B
【解析】因为直线和直线平行，
所以，
故直线为，与直线平行
故选：B
例37．（2022·贵州·高二学业考试）已知直线，．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题意得，，解得.经验证符合题意.
故选：D.
例38．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线与直线平行，则（ ）
A．或0 B． C．1或0 D．1
【答案】D
【解析】当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当时，因为直线与直线平行，
所以，解得，
综上，，
故选：D
例39．（2022·全国·高三专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
【答案】
【解析】因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.
①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；
③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；
所以正确的命题个数是4．
故答案为：．
例40．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
【答案】1
【解析】因为，且斜率一定存在，所以，即，
又因为，为两条不同的直线，所以，所以
故答案为：1
例41．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））直线：，：，若，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，则，
所以或，
当，：，：重合，不合题设；
当，：，：平行，满足题设；
故.
故答案为：2
【方法技巧与总结】
判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）．
判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
题型六：直线垂直
例42．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【解析】(1)设两条直线，的斜率分别为，，则，，
因为，所以；
(2)设两条直线，的斜率分别为，，则，，
因为，所以；
(3)由两个方程，可知轴，轴，所以．
例43．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线：，：，若，则__________.
【答案】
【解析】若，则，解得.
故答案为：.
例44．（2022·全国·高二专题练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，
因为，因此，.
故答案为：.
例45．（2022·江苏·高二课时练习）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．
【答案】
【解析】因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根，所以，
因为l1⊥l2，所以，即，
故答案为：
例46．（2022·四川资阳·高一期末）已知直线与互相垂直，则（ ）
A． B． C．1 D．1或
【答案】C
【解析】因为直线与互相垂直，
所以，解得.
故选：C
例47．（2022·全国·高二专题练习）以点，，为顶点的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由题意，同理，，，，
三角形是直角三角形．
故选：B．
【方法技巧与总结】
利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
例48．（2022·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
【解析】以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为
因为四边形是菱形，所以
由，
所以，菱形的对角线互相垂直.
例49．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【解析】由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
例50．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【解析】四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
例51．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
【解析】由斜率公式，得，
，
，
，
，
.
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
又，∴.
又，∴与不垂直，
∴四边形为矩形.
例52．（2022·全国·高二专题练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【解析】（1）由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为（7，2），
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
例53．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设点．若，则，
解得，
点．
若，则，解得，
点
【方法技巧与总结】
解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．
【同步练习】
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
2．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
3．若直线与直线平行，则（ ）
A．或0 B． C．1或0 D．1
【答案】D
【解析】当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当时，因为直线与直线平行，
所以，解得，
综上，，
故选：D
4．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
5．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
6．直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
7．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为
故选：B.
8．三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】设,，
根据题意可知表示第名同学早上的工作时间，表示第名同学早上的加工零件数；
同理，表示第名同学下午的工作时间，表示第名同学下午的加工零件数.
所以，
因此，可理解为线段中点与原点连线的斜率（如图）
因此，由图可以看出最大
故选：B
二、多选题
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
【答案】ABD
【解析】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；
D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.
故选：ABD
10．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线的倾斜角一定大于
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】A：当时，直线的方程为，可化为：，所以该直线的斜率为1，
直线的斜率为，因为，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正确；
B：由直线与直线平行，可得或，因此本选项说法不正确；
C：直线方程可化为：，设直线的倾斜角为，
所以，所以本选项说法正确；
D：当时，直线的方程为，当时，；当时，，
因为，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，因此本选项说法不正确，
故选：AC
11．已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】由点，可得的中点坐标，且，
因为点到直线的距离相等，
当直线过点的中点，可得，解得；
当直线时，可得，即，
综上可得，实数的值为或，
故选：AB.
12．设集合，，且，则正实数a的取值可以为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．
【答案】BD
【解析】∵，
∴．
将点代入，得，解得(舍去)或．
又当时，可变形为，
当直线与平行时，
有，解得或(舍去)
当或时，符合题意.
故选：BD
三、填空题
13．已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为______.
【答案】或
【解析】设的倾斜角，的倾斜角，
如图所示：
或
则或，.
当时，.
当时，.
故答案为：或
14．若函数所表示直线的倾斜角为，则的值为______．
【答案】
【解析】直线的斜率为
又
故答案为：
15．若直线，的夹角为，则m的值为___________.
【答案】0
【解析】直线的斜率为-1，倾斜角为，由题知，直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或0（舍），所以.
故答案为：0.
16．直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【解析】若，则直线方程为，即倾斜角；
若，则直线方程为，即，
∵，∴或，
即或，解得
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；
(2)．
【解析】(1)由得：，解得：或.
(2)由得：，解得：.
18．（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
【解析】（1）因为，，，，
结合正切函数在的单调性得，
（2）直线l的斜率，，，
结合正切函数在的单调性得.
19．下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求实数m的取值集合.
【解析】（1）当三条直线交于一点时：由，
解得l1和l2的交点A的坐标，
由A在l3上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或m＝－1.
（2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，
当m＝4时，l1//l2；
当m＝－时，l1//l3；
若l2//l3，则需有＝，m2＝－不可能.
综合（1）、（2）可知，m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形
∴m的取值集合是.
20．已知点，，，.
（1）若直线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.
【解析】（1），，
，
解得或，
当时，与重合，舍去.
当时，，与不共线，
所以符合题意.
（2）由于，所以，所以直线的斜率存在，
且，
所以直线倾斜角的取值范围是.
21．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
【解析】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.
22．已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设点．若，则，解得，
点．
若，则，解得，点