第7章三角函数专项训练-2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（Word版含解析）

《第7章　三角函数》专项训练
专项一　正弦、余弦函数的性质
1.[2022四川达州高一上期末]y=(sin x-1)2-cos 2 x的(　　)
A.最大值为4,最小正周期为2π
B.最大值为4,最小正周期为π
C.最小值为0,最小正周期为2π
D.最小值为0,最小正周期为π
2.[2022江苏南通如皋高一下期初]已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=x2cos x
B.f(x)=x+x3
C.f(x)=|x|sin x
D.f(x)=x2+cos x
3.已知f(x)=x·sin x,x∈R,则(　　)
A.f(-)>f(1)>f()
B.f(1)>f()>f(-)
C.f()>f(1)>f(-)
D.f()>f(-)>f(1)
4.[2022江苏镇江高一下期初]下列函数中同时具有性质①最小正周期是π,②图象关于点(-,0)对称,③在[-,]上为减函数的是(　　)
A.y=sin() B.y=sin(2x-)
C.y=cos(2x+) D.y=cos(2x-)
5.函数f(x)=cos(sin x)+sin(cos 2x)是(　　)
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
6.[2022安徽淮南一中高三段考]已知函数f(x)=cos x+x2-2πx的定义域为[,],则不等式f(+x)>f(π-x)的解集为(　　)
A.[-,) B.[-,)
C.(,] D.(,π]
7.[2022云南昆明高三质检]已知函数f(x)=sin(2x+)在[-m, m]上单调递增,则实数m的最大值为(　　)
A. B.π C. D.
8.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
9.已知函数f(x)=|sin x-a|,a∈R.
(1)试讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)当f(x)取得最大值时,求x的取值范围.
10.[2022广东深圳高一上期末]已知关于x的函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0).
(1)若ω=2,求f(x)在(0,]上的值域;
(2)存在唯一的实数t∈(0,),使得函数f(x)的图象关于点(t,0)对称,求ω的取值范围.
11.已知函数f(x)=sin2x+(2-m)sin x-m.
(1)当m=时,求方程f(x)=0的解集;
(2)若关于x的方程f(x)=0在区间[,]上有解,求实数m的取值范围.
专项二　函数y=Asin(ωx+φ)+h的图象与性质
1.[2022安徽淮北一中、安师大附中、铜陵一中、中科大附中四校高一下调研]将函数f(x)=2sin(2x+)-1的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在[-,m]上的值域为[-2,1],则实数m的取值范围是(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,+∞)
2.(多选)[2022辽宁沈阳市第一二○中学高一下月考]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,2<ω<3,-π<φ<-)的部分图象如图所示.把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x+)为偶函数
B.g(x+)的最小正周期是π
C.g(x+)的图象关于直线x=对称
D.g(x+)在区间(,π)上单调递减
3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间[,π]上是增函数,则φ的取值范围为(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,]
4.[2022江苏海安市实验中学高一月考]函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,先把函数f(x)的图象上的各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),把得到的曲线向左平移个单位长度长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求函数g(x)的图象的对称中心;
(2)当x∈[-,]时,求g(x)的值域;
(3)当x∈[-,]时,关于x的方程[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围.
5.将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若区间[a,b](a,b∈R,且a参考答案
专项一　正弦、余弦函数的性质
1.A　y=(sin x-1)2-cos2 x=1+sin2 x-2sin x-(1-sin2 x)=2sin2 x-2sin x,最小正周期为2π.令t=sin x,则原函数等价于f(t)=2t2-2t, t∈[-1,1].当t=时,f(t)取最小值-;当t=-1时,f(t)取最大值4.故选A.
2.C　由图可知,f(x)的图象关于原点对称,是奇函数.A中,f(-x)=x2cos x=f(x),是偶函数;B中,f(-x)=-x-x3=-f(x),是奇函数; C中,f(-x)=-|x|sin x=-f(x),是奇函数;D中,f(-x)=x2+cos x=f(x),是偶函数.故排除A,D.当x>0时,f(x)=x+x3>0恒成立,排除B.故选C.
3.C　因为f(-x)=-x·sin(-x)=x·sin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(-)=f().因为f(x)在[0,]上为增函数,且>1>,所以f()> f(1)>f()=f(-),故选C.
4.C
5.D　因为f(x+π)=cos(sin(x+π))+sin(cos 2(x+π))=cos(-sin x)+sin(cos 2x)=cos(sin x)+sin(cos 2x)=f(x),所以f(x)的最小正周期为π.因为f(-x)=cos(sin(-x))+sin(cos(-2x))=cos(sin x)+sin(cos 2x)=f(x),且f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数,故选D.
6.A
7.C
8.2
9.(1)若a=0,则f(x)=|sin x|,因为f(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数;
若a≠0,则函数f(x)不具有奇偶性.
(2)若a≥0,则函数f(x)的最大值为|1+a|,此时x的取值范围为{x|x=2kπ-,k∈Z};
若a<0,则函数f(x)的最大值为|1-a|,此时x的取值范围为{x|x=2kπ+,k∈Z}.
10.(1)当ω=2时,函数f(x)=cos(2x-).
因为x∈(0,],所以-<2x-≤,
则-≤cos(2x-)≤1,所以f(x)在(0,]上的值域为[-,1].
(2)因为t∈(0,),所以ωt-∈(-,).
因为存在唯一的实数t∈(0,),使得曲线y=cos(ωx-)(ω>0)关于点(t,0)对称,
所以≤,解得<ω≤.
所以ω的取值范围为(,].
11.(1)当m=时,f(x)=sin2x+sin x-.
令f(x)=0,即sin2x+sin x-=0,解得sin x=1(sin x=-舍去),所以x=+2kπ,k∈Z,
所以方程f(x)=0的解集为{x|x=+2kπ,k∈Z}.
(2)由f(x)=0,得sin2x+(2-m)sin x-m=0,
即(sin x+1)m=sin2x+2sin x.
因为x∈[,],所以sin x∈[-,1],sin x+1≠0,所以m=.
令sin x+1=t,t∈[,2],则m==t-.
令g(t)=t-,则g(t)在[,2]上单调递增.
又g()=-,g(2)=,
所以g(t)在[,2]上的值域为[-,],所以-≤m≤,即实数m的取值范围是[-,].
专项二　函数y=Asin(ωx+φ)+h的图象与性质
1.B
2.ABD　由题图知A=2,f(0)=2sin φ=-1,所以sin φ=-.由于-π<φ<-,所以φ=-,则f(x)=2sin(ωx-).又f()=2sin(ω-)=0,即ω-=π+2kπ(k∈Z),ω=k,又ω∈(2,3),所以ω=,所以f(x)=2sin(x-),则g(x)=2sin(x-)=2sin(2x-). g(x+ )=2sin(2x+)=2sin(2x-)=-2cos 2x为偶函数,A正确.g(x+)=-2cos 2x的最小正周期为=π,B正确.cos(2×)= cos ≠±1,C错误.x∈(,π)时,2x∈(,2π) (π,2π),所以g(x+)在区间(,π)上单调递减,D正确.故选ABD.
3.B　由题意,知,所以T=π=,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin [2(x-)+φ]=sin(2x+φ-),由2kπ-≤2x+φ-≤ 2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即g(x)的增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,所以[,π] [kπ-,kπ+ ],k∈Z,所以k∈Z,所以2kπ-≤φ≤2kπ-,k∈Z.因为0<φ<π,所以≤φ≤,故选B.
4.(1)根据题图可知A=1,T=,
所以T=π,所以ω==2,f(x)=cos(2x+φ).
将点(,-1)代入,得cos(+φ)=-1,
即+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z.
因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=cos(2x-),
所以g(x)=cos [4(x+)-]+1=cos(4x+)+1.
令4x++kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数g(x)的图象的对称中心为点(-,1)(k∈Z).
(2)当x∈[-,]时,4x+∈[,],则cos(4x+)∈[-1,],
g(x)=cos(4x+)+1∈[0,],即g(x)的值域为[0,].
(3)由[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0,
得[g(x)]2+2g(x)+3=m[g(x)+1],
则m=.
令s=g(x)+1,由(2)知s∈[1,],
则m==s+∈[2,],
因此m的取值范围为[2,].
5. 由题可知g(x)=2sin 2(x+)+1.
由g(x)=0,得x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),
所以两个根的差的绝对值为或.
若b-a最小,则a和b都是g(x)=0的根,
此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N*)上分别恰有3,5,…,2m+1 个根,所以在区间[a,14π+a]上恰有29个根,
从而在区间(14π+a,b]上至少有1个根,所以b-a-14π≥.
另一方面,在区间[,14π+]上恰有30个根,
因此,b-a的最小值为14π+.