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B
D
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
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人教A版必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
自主预习，回答问题
阅读课本17-20页，思考并完成以下问题
1.什么是充分条件？
2.什么是必要条件？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
充分
必要
充分
必要
答案 (1)相同，都是p q (2)等价
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条件.
(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的 条件.
(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件.
【解析】(1)由题意知p q,q r,故p r,所以p是r的充分条件.
答案:充分
(2)当a>0,b>0时,显然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分条件
答案:充分
(3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以q p,即p是q的必要条件.
答案:必要
【思考】
(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗
提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
(2)若q是p的必要条件,q是惟一的吗
提示:不一定惟一,凡是由p推出的结论都是它的必要条件,如x>0是x>3的必要条件,x>-1,x>2等都是x>3的必要条件.
自主预习，回答问题
阅读课本20-22页，思考并完成以下问题
1.什么充要条件？
2.什么充分不必要条件？
3.什么是必要不充分条件？
4.什么是既不充分又不必要条件？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
充分必要
充要
互为充要
3.从集合角度看充分、必要条件
(1)依据
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
若A B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p q.类似地,B A与q p等价,A=B与p q等价.
(2)结论
如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.
题型分析 举一反三
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
解题方法（充分条件与必要条件的判断方法）
（1）定义法
（2）集合法
[答案] D
题型二 充要条件的探求与证明
解题方法（探求充要条件一般有两种方法）
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
解题方法（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围）
(1)化简p、q两命题，
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，
(3)利用集合间的关系建立不等关系，
(4)求解参数范围．
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