微专题 空间两直线位置关系及其判别与求解 讲义-数学沪教版（2020）必修第三册（Word版含答案）

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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、空间两直线有哪几种位置关系？
2、什么是异面直线？
3、什么是异面直线所成的角？
1、异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
（2）异面直线的画法：
2、空间两条直线的位置关系
位置关系 特　点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件；
异面直线既不相交，也不平行；
2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，
如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，
但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线；
3、异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
（2）异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【说明】异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直；
例1、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】本题考查了两直线位置关系的判定；
1、判定两条直线平行或相交的方法：判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断；
2、判定两条直线是异面直线的方法：
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）；
例2、如图所示，已知两个正方形和不在同一平面内，
为的中点；
证明：直线与是异面直线；
【提示】
【证明】方法1、
方法2、
【说明】判定空间两条直线是异面直线的方法：
1、定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；
2、判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线；
3、反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面；
例3、在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，
求异面直线DB1与EF所成角的大小；
【提示】常规方法主要在根据题设“找角”；
【解析】方法1、
方法2、
方法3、
方法4、
【说明】本题考查了异面直线所成角及其求法；
求两异面直线所成的角的三个步骤
（1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角；
（3）算：求角的值，常利用解三角形得出；
（4）答：根据题设要求回答；
可用“一作二证三算四答”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°；
1、对于异面直线的定义的理解
异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．
注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，
因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，
使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．
2、空间两条直线的位置关系
（1）若从有无公共点的角度来看，可分为两类：
直线
（2）若从是否共面的角度看，也可分两类：
直线
3、判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
4、判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线；
用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
（3）反证法；
1、如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是（ ）
A．共面　 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2、在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．以上均有可能
3、若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是
4、已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
其中，正确命题的个数是
5、如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，
E，F分别是棱BC，CC1的中点，
则异面直线EF与B1D1所成的角为__________．
6、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
M，N分别为AB，CD的中点，
并且异面直线AC与BD所成的角为90°，
则MN等于________．
7、已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线；
用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
8、如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，
E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝AD时，
求：异面直线AD和BC所成的角．
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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、空间两直线有哪几种位置关系？
2、什么是异面直线？
3、什么是异面直线所成的角？
1、异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
（2）异面直线的画法：
2、空间两条直线的位置关系
位置关系 特　点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件；
异面直线既不相交，也不平行；
2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，
如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，
但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线；
3、异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
（2）异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【说明】异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直；
例1、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【提示】注意：理解空间两直线的位置关系及其判断标准；
【答案】（1）平行；（2）异面；（3）相交；（4）异面；
【解析】（1）在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1=BC，
所以，四边形A1BCD1为平行四边形，所以，A1B∥D1C；
（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内；
（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1；
（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内；
【说明】本题考查了两直线位置关系的判定；
1、判定两条直线平行或相交的方法：判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断；
2、判定两条直线是异面直线的方法：
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）；
例2、如图所示，已知两个正方形和不在同一平面内，
为的中点；
证明：直线与是异面直线；
【提示】注意：从集合视角理解“已知两个正方形和不在同一平面内”；
假设共面，由此推得∥平面，再求线面平行的性质推得线线平行，
即可退出矛盾；或紧扣判定定理的条件；
【证明】方法1、假设直线与共面，
则平面与平面交于，
又由已知可得////，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
又直线不在平面内，直线平面，所以，∥平面，
所以，，所以，∥，这与矛盾，故假设不成立，
所以，与不共面，它们是异面直线；
方法2、因为，点为的中点；
所以，点不在平面，点不在直线上，
所以，由判定定理得直线与是异面直线；
【说明】判定空间两条直线是异面直线的方法：
1、定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；
2、判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线；
3、反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面；
例3、在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，
求异面直线DB1与EF所成角的大小；
【提示】常规方法主要在根据题设“找角”；
【解析】方法1、如图1所示，连接A1C1，B1D1，
并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， 图1
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法2、 如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，
则HE綊DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
连接HF，设AA1＝1，
则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连接HI，IF， 图2
则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝，
∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°；
方法3、如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.
∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，
∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.
连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，
∴四边形DMB1N为平行四边形，
∴MN与DB1必相交，设交点为P，
则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
设AA1＝k(k>0)，则MP＝k，DM＝k，DP＝k， 图3
∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法4、如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，
∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
设AA1＝k(k>0)，
则B1D＝k，DQ＝k，B1Q＝k，
∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
【说明】本题考查了异面直线所成角及其求法；
求两异面直线所成的角的三个步骤
（1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角；
（3）算：求角的值，常利用解三角形得出；
（4）答：根据题设要求回答；
可用“一作二证三算四答”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°；
1、对于异面直线的定义的理解
异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．
注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，
因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，
使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．
2、空间两条直线的位置关系
（1）若从有无公共点的角度来看，可分为两类：
直线
（2）若从是否共面的角度看，也可分两类：
直线
3、判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
4、判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线；
用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
（3）反证法；
1、如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是（ ）
A．共面　 B．平行 C．异面 D．平行或异面
【答案】D；
【解析】空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．
2、在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．以上均有可能
【答案】B；
【解析】假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.
3、若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是
【答案】异面或相交
【解析】由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交
4、已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
其中，正确命题的个数是
【答案】0；
【解析】①不正确如图；
②不正确，有可能相交也有可能异面；
③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
5、如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，
E，F分别是棱BC，CC1的中点，
则异面直线EF与B1D1所成的角为__________．
【答案】60°；
【解析】连接BC1，AD1，AB1，
则EF为△BCC1的中位线，
∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.
6、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
M，N分别为AB，CD的中点，
并且异面直线AC与BD所成的角为90°，
则MN等于________．
【答案】答案：60°；；
【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即异面直线AC与BD
所成的角，∴∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
7、已知A、B、C、D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线；
用反证法证明：直线AC与BD也是异面直线.
【提示】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先假设直线AC、BD是共面直线，再推出错误结论，即可得证；
【解析】假设直线AC、BD是共面直线；
则A，B，C，D四点共面，
所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线.
8、如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，
E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝AD时，
求：异面直线AD和BC所成的角．
【解析】如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG.
∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．
∴EG∥BC，且EG＝BC；
FG∥AD，且FG＝AD.
又AD＝BC，∴EG＝FG＝AD，
∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．
在△EFG中，∵EG＝FG＝AD，又EF＝AD，
∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.
∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°；