微专题 解答平面图形直观图还原问题-数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

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1、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
2、斜二测画法中的“斜”和“二测”
（1）“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
（2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半；
题型三　直观图的有关应用　原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝S
例1、如图所示，
△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
将其恢复成原图形；
【提示】
【解析】
【说明】
例2、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，
且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
【答案】
【解析】；
【说明】
例3、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，
腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积；
例4、在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D'，
如图,其中的对角线A'C'在水平位置；
已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，
试画出该四边形的真实图形并求出其面积；
核心技巧：
1、
平行性不变：平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴；
长度有变有不变：平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半；
2、直观图与原图面积直接计算公式：；
1、已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
2、如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边
及中线AD中,最长的线段是 (　　)
A．AB B．AD
C．BC D．AC
3、如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为
4、已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，
那么原△ABC中∠ABC的大小是
5、在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中，
∠A'等于
6、如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　)
7、如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
将其恢复成原图形．
8、如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，
又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，
请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积；
教师版
1、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
2、斜二测画法中的“斜”和“二测”
（1）“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
（2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半；
题型三　直观图的有关应用　原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝S
例1、如图所示，
△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
将其恢复成原图形；
【提示】注意理解“斜二测画法”的规则；
【解析】（1）画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
（2）过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，
并使DB＝2D′B′；
（3）连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图.
【说明】本题主要考查了把直观图恢复成原图形问题；
例2、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，
且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
【答案】D；
【解析】方法1、如图建立所示的平面直角坐标系xOy；
如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍．由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4；
方法2、利用原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝S计算得到；
【说明】本题考查了由原图形求直观图的面积；
1、原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的倍，此处易出错．
2、解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，
直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝S；
例3、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，
腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积；
【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，
腰和上底均为1的等腰梯形，
所以其直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝；
因此由上述公式可得原平面图形的面积是S＝＝2＋；
【说明】本题考查了由直观图求原图形的面积；
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面积是原图形面积的倍.
例4、在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D'，
如图,其中的对角线A'C'在水平位置；
已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，
试画出该四边形的真实图形并求出其面积；
【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为，A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,
所以，∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,
所以，在原四边形ABCD中，DA⊥AC,AC⊥BC，
因为，DA=2D'A'=2,AC=A'C'=；
所以，S四边形ABCD=AC·AD=2；
核心技巧：
1、
平行性不变：平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴；
长度有变有不变：平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半；
2、直观图与原图面积直接计算公式：；
1、已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】D；
【解析】方法1、建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
方法2、S△ABC＝a2，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
2、如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边
及中线AD中,最长的线段是 (　　)
A．AB B．AD
C．BC D．AC
【答案】D；
【解析】还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
3、如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为
【答案】矩形；
【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形；
4、已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，
那么原△ABC中∠ABC的大小是
【答案】60°；
【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，
∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°；
5、在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中，
∠A'等于
【答案】45°或135°；
【解析】因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x'O'y'=45°或135°,即∠A'=45°或135°；
6、如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　)
【答案】4
【解析】由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，
得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4；
7、如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
将其恢复成原图形．
【解析】画法：（1）如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
（2）在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
（3）连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
8、如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，
又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，
请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积；
【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，
又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，
可得该四边形的原图形，
如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．
故原图形的面积为2.