微专题 异面直线所成角的几何解法讲义-高中数学沪教版（2020）必修第三册（Word版含答案）

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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、异面直线所成的角；
2、找异面直线所成的角方法；
1、异面直线所成的角
①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③相关：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
（2）空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°．
（3）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
2、研究与计算异面直线所成的角
就是通过平移把异面直线转化为相交直线；这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题；
例1、（1）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，
E，F分别是AB，CD的中点，
若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小；
（2）如图，在空间四边形ABCD中，“AD＝BC且AD⊥BC”，
E，F分别是AB，CD的中点，
若EF＝，求EF与AD所成的角的大小；
（3）如图，在空间四边形ABCD中，“AB＝CD，
且AB与CD所成的角为30°，
E、F分别为BC、AD中点”，
求：EF与AB所成角的大小；
【提示】
【探究】
1、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
提示：
2、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
提示：
【解析】
【说明】通过本题的一题多“变”；揭示求两条异面直线所成的角的一般步骤：
1、构造：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角；
2、证明：证明作出的角就是要求的角.
3、计算：求角度，常放在三角形内求解.
4、结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角；
也就是简称的：一找二证三求四答；
例2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C（2018·全国Ⅱ卷）；
【解析】解法1、（补形法）：
解法2：（平移法）：
解法3：（坐标法）
【说明】本题通过一题多解，展示了求异面直线的基本方法；
1、求异面直线所成的角的视角：
（1）通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线；
（2）将这个角放入某一个三角形中；
（3）在这个三角形中，计算这个角的大小．
2、作异面直线所成的角的方法
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法：当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法；在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线；补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形；
（4）坐标法；通过建系，借助空间向量解之；
例3、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（ ）
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小；
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
1找角：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角.
2证明：证明作出的角就是要求的角.
3计算：求角度，常放在三角形内求解.
4回答：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角；
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． B． C． D．
2、将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
3、如图，在空间四边形三棱锥ABCD中，AC＝BD，
且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，
则EF与AC所成的角为
4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________.
6、已知菱形ABCD中有AB＝BD＝2，把△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC＝3，若点E为线段PD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为
7、如图，已知长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′和BC′所成的角是多少度？
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值.
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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、异面直线所成的角；
2、找异面直线所成的角方法；
1、异面直线所成的角
①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③相关：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
（2）空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°．
（3）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
2、研究与计算异面直线所成的角
就是通过平移把异面直线转化为相交直线；这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题；
例1、（1）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，
E，F分别是AB，CD的中点，
若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小；
（2）如图，在空间四边形ABCD中，“AD＝BC且AD⊥BC”，
E，F分别是AB，CD的中点，
若EF＝，求EF与AD所成的角的大小；
（3）如图，在空间四边形ABCD中，“AB＝CD，
且AB与CD所成的角为30°，
E、F分别为BC、AD中点”，
求：EF与AB所成角的大小；
【提示】根据求异面直线所成角的方法，
将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决；
【探究】
1、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
提示：如图，在空间中任取一点O，
作直线a′∥a，b′∥b，
则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ，
即两条异面直线a，b所成的角；
2、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．
【解析】（1）如图，取BD的中点M，连接EM，FM.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以EM∥AD，FM∥BC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角；
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°；
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，
即异面直线AD，BC所成的角为60°；
（2）结合右图中，EM∥AD，MF∥BC，又AD＝BC.
所以，EM＝MF，所以，∠MEF就是EF与AD所成的角或其补角，
又因为，AD⊥BC，所以，EM⊥MF，则∠EMF＝90°
所以，△EMF为等腰直角三角形，则∠MEF＝45°，
即EF与AD所成的角为45°；
（3）取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB，GF∥CD；
故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，
直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角；
因为，AB与CD所成的角为30°，
所以，∠EGF＝30°或150°.
由AB＝CD，知EG＝FG，所以，△EFG为等腰三角形；
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°；
【说明】通过本题的一题多“变”；揭示求两条异面直线所成的角的一般步骤：
1、构造：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角；
2、证明：证明作出的角就是要求的角.
3、计算：求角度，常放在三角形内求解.
4、结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角；
也就是简称的：一找二证三求四答；
例2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C（2018·全国Ⅱ卷）；
【解析】解法1、（补形法）：
如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，
连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，
则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角；
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝，
所以DE1＝ ＝ ＝2，
DB1＝＝，
B1E1＝＝＝，
在△B1DE1中，由余弦定理，
得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，
故选C．
解法2：（平移法）：
如图，连接BD1，交DB1于O，
取AB的中点M，连接DM，OM；
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，
则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角；
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
所以AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝，
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，
由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．
解法3：（坐标法）
以D为坐标原点，
DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示．由条件可知D(0,0,0)，
A(1，0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，
所以＝(－1，0，)，＝(1,1，)，
则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C；
【说明】本题通过一题多解，展示了求异面直线的基本方法；
1、求异面直线所成的角的视角：
（1）通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线；
（2）将这个角放入某一个三角形中；
（3）在这个三角形中，计算这个角的大小．
2、作异面直线所成的角的方法
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法：当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法；在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线；补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形；
（4）坐标法；通过建系，借助空间向量解之；
例3、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（ ）
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
【提示】注意：将题设与找角进行交汇；
【答案】D；
【解析】如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，
所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP；
当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，
但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，
所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°；
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小；
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
1找角：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角.
2证明：证明作出的角就是要求的角.
3计算：求角度，常放在三角形内求解.
4回答：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角；
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D(2021·全国乙卷)；
【解析】方法1、如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，
BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，
所以∠PBC1＝．
方法2、如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝．
2、将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【解析】如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，
则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝CD，
MN＝AB，
所以∠ONM或其补角即为所求的角.
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC 平面ACD，
所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.
设正方形边长为2，OB＝OD＝，
所以BD＝2，则OM＝BD＝1.
所以ON＝MN＝OM＝1.
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.
所以直线AB与CD所成的角为60°.
【说明】综合法求异面直线所成角的步骤：
1、作：通过作平行线得到相交直线；
2、证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；
3、求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；
4、答：如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角；
3、如图，在空间四边形三棱锥ABCD中，AC＝BD，
且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，
则EF与AC所成的角为
【答案】45°；
【答案】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG；
∵E，F分别为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝AC，EG＝BD；
∴∠EFG为EF与AC所成的角；
∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°；
4、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
【答案】
【解析】连结BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连结A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，
故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________.
【答案】
【解析】如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OP∥A1D，
所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.
设正方体的棱长为2，则
OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝，
则cos∠POC1＝＝＝.
6、已知菱形ABCD中有AB＝BD＝2，把△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC＝3，若点E为线段PD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为
【答案】
【解析】如图，取CD的中点F，连接BE，BF，EF，
因为点E为线段PD的中点，F是线段CD的中点，
所以EF∥PC，EF＝，∠BEF或其补角即异面直线BE与PC所成角，
因为四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝2，所以BE＝BF＝，
则在△BEF中，
cos∠BEF＝＝＝，故异面直线BE与PC所成角的余弦值为；
7、如图，已知长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′和BC′所成的角是多少度？
【解析】（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．
在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，
B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.
（2）因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值.
【解析】(2021·上海卷)
（1）∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，
∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×42×2＝.
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC与AD所成的角.
如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC 平面ABCD，
∴PE⊥EF，PE⊥BC，
又PF与平面ABCD所成角为45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝＝＝2.
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝＝，
∴PC与AD所成角的正切值为.