微专题 线面垂直的证明及其应用讲义-2022-2023学年高中数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
直线与平面垂直的定义与判定定理
1、直线与平面垂直的定义
文字语言 图形语言 符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
【思考】一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？
【解析】相交或平行或直线在平面内．
3、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面
符号语言 b⊥α
例1、如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC；
【提示】
【思维导图】1、审结论：
2、审条件：
3、建联系：；
【规范解答】（本题12分）
【说明】通过本题的证明说明：线垂直与线面垂直往往是交叉使用、灵活互化；当然，理解与用好判定定理是关键；其中，标注为①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密；虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分；若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的．
例2、如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，
C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E；
求证：AE⊥平面PBC.
例3、如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
【说明】通过本题的逻辑推理；可以体验线线垂直、线面垂直证明的互相转化；
一般而言，证线面垂直的方法：
1、线线垂直证明线面垂直：（1）定义法（不常用）；（2）判定定理最常用（有时作辅助线）；
2、平行转化法（利用推论）；（1）a∥b，a⊥α b⊥α；（2）α∥β，a⊥α a⊥β；
1、对于线面垂直的定义要注意：“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．
2、判定定理中要注意必须是平面内两相交直线：用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法；
3、线线垂直与线面垂直的转化关系
线线垂直线面垂直
1、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC
2、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③　 B．② C．②④ D．①②④
3、已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP＝2，则PC＝________.
4、空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．
5、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______．
6、菱形ABCD的对角线交于点O，点P在ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．
7、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
8、如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，
侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点；
（1）求证：A1F⊥平面BEF；
（2）求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
直线与平面垂直的定义与判定定理
1、直线与平面垂直的定义
文字语言 图形语言 符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
【思考】一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？
【解析】相交或平行或直线在平面内．
3、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面
符号语言 b⊥α
例1、如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC；
【提示】注意题设“PA，PB，PC两两互相垂直”与“H是△ABC的垂心”的几何意义；
【思维导图】1、审结论：要证“PH⊥平面ABC”，需要在△ABC 中适当找两条相交直线；
2、审条件：注意利用线线垂直与垂心的几何性质，实现线线垂直与线面垂直的互化；
3、建联系：利用题设“垂直”创设直线与平面垂直的判定定理需要的条件；
【规范解答】（本题12分）
如图所示，连接CH，
因为PC⊥AP，
PC⊥BP，
AP∩BP＝P①，
AP 平面APB，
BP 平面APB②，
所以，PC⊥平面APB；【3分】
又因为，AB 平面APB③，
所以，PC⊥AB；【5分】
又由已知，H为△ABC的垂心，
所以，CH⊥AB；【7分】
因为，PC∩CH＝C①，
PC 平面PHC，
CH 平面PHC②，
所以，AB⊥平面PHC.
又因为，PH 平面PHC③，
所以，AB⊥PH；【9分】
同理可证PH⊥BC；【10分】
又因为，AB 平面ABC，BC 平面ABC②且AB∩BC＝B①，
所以，PH⊥平面ABC；【12分】；
【说明】通过本题的证明说明：线垂直与线面垂直往往是交叉使用、灵活互化；当然，理解与用好判定定理是关键；其中，标注为①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密；虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分；若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的．
例2、如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，
C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E；
求证：AE⊥平面PBC.
【提示】利用线面垂直判定定理解题，注意“紧扣5个条件”；
【证明】∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
PC 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
例3、如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
【提示】PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC 直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．
【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，
所以AE⊥BC；
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
（2）由（1）知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG 平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD 平面PCD，所以AG⊥PD；
【说明】通过本题的逻辑推理；可以体验线线垂直、线面垂直证明的互相转化；
一般而言，证线面垂直的方法：
1、线线垂直证明线面垂直：（1）定义法（不常用）；（2）判定定理最常用（有时作辅助线）；
2、平行转化法（利用推论）；（1）a∥b，a⊥α b⊥α；（2）α∥β，a⊥α a⊥β；
1、对于线面垂直的定义要注意：“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．
2、判定定理中要注意必须是平面内两相交直线：用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法；
3、线线垂直与线面垂直的转化关系
线线垂直线面垂直
1、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC
【答案】C；
【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC；
2、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③　 B．② C．②④ D．①②④
【答案】A
3、已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP＝2，则PC＝________.
【答案】
4、空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．
【答案】垂直；
【解析】∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，∴l⊥AB；
5、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______．
【答案】1或3；
【解析】A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1；
6、菱形ABCD的对角线交于点O，点P在ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．
【答案】PO⊥平面ABCD
7、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
【证明】∵E，F分别是棱AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC.
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，
∴EF⊥BB1.
又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.
8、如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，
侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点；
（1）求证：A1F⊥平面BEF；
（2）求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：连结AF.
∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形；
又在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
AB⊥平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，
∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.
由已知，得AF＝，A1F＝，AA1＝2，
∴A1F2＋AF2＝AA，
∴AF⊥A1F.
又AF∩EF＝F，
∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.
（2）∵A1F⊥平面BEF.
∴A1B在平面BEF上的射影为BF，
∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．
由已知，得A1F＝，A1B＝，
∴sin∠A1BF＝，
即A1B与平面BEF所成角的正弦值为.