微专题 直线与平面所成角的几何解法讲义-2022-2023学年高中数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、直线与平面所成的角；
2、直线与平面所成的角的作做法；
直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直的直线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面内的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°角
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
关于直线与平面所成的角的认识
（1）把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；
（2）其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解；
例1、如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点；
求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
【提示】
【解析】
【说明】本题考查了求斜线与平面所成角的方法与步骤；求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解；
例2、如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，
且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝，
求OA与平面α所成的角的大小；
【说明】通过本题求解体验“求斜线（直线）与平面所成的角”关键在找、证垂线；
例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点；
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，
求：直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
求斜线与平面所成角的步骤
1、作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
2、证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
3、计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
1、下列说法：
①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；
②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②④
C.①② D.③④
2、如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．120°
3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.
4、如图所示，空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________.
5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为
6、.在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝；
将△ABC绕BC旋转，使得点A转到点P，
如图.若D为BC的中点，E为PC的中点，
AE＝，则AB与平面ADE所成角的正弦值是
.
7、如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，
BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，
求MC与平面ABC所成角的正弦值；
.
8、(2019·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3；
（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD；
（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、直线与平面所成的角；
2、直线与平面所成的角的作做法；
直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直的直线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面内的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°角
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
关于直线与平面所成的角的认识
（1）把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段；
（2）其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解；
例1、如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点；
求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
【提示】注意借助正方体的几何性质，“找”垂线；
【解析】取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
【说明】本题考查了求斜线与平面所成角的方法与步骤；求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解；
例2、如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，
且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝，
求OA与平面α所成的角的大小；
【提示】关键是：在斜线上找点与找、证垂线；
【解析】∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB，△AOC为正三角形，
∴AB＝AC＝1，又BC＝，
∴△BAC为直角三角形，
同理△BOC为直角三角形，
取BC中点H，连接AH，则AH⊥BC，
易得△AHB≌△AOH，∴AH⊥OH，∴AH⊥平面α，
∠AOH为OA与α所成的角，
在Rt△AOH中，AH＝，
∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角为45°；
【说明】通过本题求解体验“求斜线（直线）与平面所成的角”关键在找、证垂线；
例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点；
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，
求：直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
【提示】在空间位置关系的“逻辑推理”中用好用活平面几何的性质；
【解析】（1）证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点；
∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC是直角三角形.
（2）如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，
∴tan∠PCA＝＝，又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
求斜线与平面所成角的步骤
1、作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
2、证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
3、计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
1、下列说法：
①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；
②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②④
C.①② D.③④
【答案】A
【解析】②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.
2、如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．120°
【答案】A
3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.
【答案】
【解析】连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角；
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，
所以sin∠AC1A1＝＝.
4、如图所示，空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________.
【答案】45°
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.
故直线PB与平面ABC所成的角为45°.
5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为
【答案】
【解析】如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
∵F是B1C的中点，
∴OF∥B1B，
∴FO⊥平面ABCD，
∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.
设正方体的棱长为2，则FO＝1，EO＝，
∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为.
在D中，l⊥α，m∥l，则m⊥α，又m∥β，则α⊥β，故D正确.
6、.在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝；
将△ABC绕BC旋转，使得点A转到点P，
如图.若D为BC的中点，E为PC的中点，
AE＝，则AB与平面ADE所成角的正弦值是
【答案】
【解析】因为D，E分别是BC和PC的中点，所以DE∥PB，
又∠CAB＝90°，所以DE⊥PC，
又AC＝1，CE＝，AE＝，所以AE2＋CE2＝AC2，即AE⊥PC，
又DE∩AE＝E，所以PC⊥平面ADE，
如图，延长ED至F，使得EF＝PB，
连接BF，所以BF⊥平面AED，连接AF，
所以∠BAF为AB与平面ADE所成的角，
所以sin ∠BAF＝＝＝.
7、如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，
BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，
求MC与平面ABC所成角的正弦值；
【解析】因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，
所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC，AB，AC 平面ABC，且AB∩AC＝A，
所以MA⊥平面ABC，
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
所以sin∠MCA＝＝＝.
8、(2019·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3；
（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD；
（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
【解析】
（1）证明　连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.
又由BG＝PG，故GH为△PBD的中位线，所以GH∥PD.
又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD，所以GH∥平面PAD.
（2）证明　取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC.
又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DN 平面PCD，所以DN⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，所以DN⊥PA.
又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，
所以PA⊥平面PCD.
（3）解　连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.
因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，
所以DN＝.
又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝.
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为；
【说明】1、平行垂直关系应用广泛，不仅可以证明判断空间线面、面面位置关系，而且常用以求空间角和空间距离、体积；
2、综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解；