微专题 几何法求空间的角体验 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
一、异面直线所成的角
1、定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角；
2、范围： ．
3、垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
二、直线与平面所成的角
1、定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，
这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；
2、范围：.；
三、平面与平面所成的角
1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2、二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角α的范围： [0，π]．
3、平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
例1、如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点；
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角；
【提示】
【解析】
例2、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】1、求异面直线所成的角的四个步骤
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出所作的角；
（4）四答：结合异面直线角的范围与题设回答；
2、求异面直线所成的角多采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
3、因为异面直线所成的角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A，B的一动点；
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角
的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
例4、如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，
AB＝CD＝2.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AD＝AE＝2，EF＝1，
且二面角E－DC－A的大小为60°，
求二面角F－BC－D的大小；
1、利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算、回答”是一个完整的过程，缺一不可；
2、斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，得出斜线在面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解．
3、空间角中的难点是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法．
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A． B． C． D．
2、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，
此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3、如图，在底面为正方形，
侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
4、将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为
5、如图所示，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
6、如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，
则二面角P BC A的大小为 ．
7、如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，求直线AP与平面PBC所成角的大小；
；
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.
（1）求三棱锥P－AMN的体积；
（2）求二面角M－AN－D的正切值．
教师版
一、异面直线所成的角
1、定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角；
2、范围： ．
3、垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
二、直线与平面所成的角
1、定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，
这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；
2、范围：.；
三、平面与平面所成的角
1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
2、二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角α的范围： [0，π]．
3、平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
例1、如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点；
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角；
【提示】注意判别异面直线的方法与找、证角的过程；
【解析】（1）证明：假设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾；
故直线EF与BD是异面直线．
（2）取CD的中点G，连接EG，FG，
则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角；
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°；
例2、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【提示】注意结合题设与几何性质找、证、求、答角；
【答案】
【解析】方法1、如图，
取AB，BB1，B1C1的中点M，N，P，连接MN，NP，PM，
可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角；
由题意可知BC1＝，AB1＝，
则MN＝AB1＝，NP＝BC1＝；
取BC的中点Q，连接PQ，QM，则可知△PQM为直角三角形；
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，即AC＝，
所以MQ＝AC＝.又CC1＝1，所以PQ＝1；
在Rt△PQM中，可知PM＝＝；
在△PMN中，cos ∠PNM＝＝＝－，
又异面直线所成角的范围为，故所求角的余弦值为；
方法2、把直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
如图，连接C1D，BD，
则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角)；
由题意可知BC1＝，
BD＝＝，
C1D＝AB1＝.可知BC＋BD2＝C1D2，
所以cos ∠BC1D＝＝；
【说明】1、求异面直线所成的角的四个步骤
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出所作的角；
（4）四答：结合异面直线角的范围与题设回答；
2、求异面直线所成的角多采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
3、因为异面直线所成的角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
例3、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上不同于A，B的一动点；
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角
的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
【提示】注意通过平面的垂线合理找角；
【解析】（1）证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，
所以BC⊥AC；
因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC，所以△PBC是直角三角形．
（2）如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH.
因为BC⊥平面PAC，AH 平面PAC，所以BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AH⊥平面PBC，
所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．
因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA是PC与平面ABC所成的角，
因为tan∠PCA＝＝，又PA＝2，
所以AC＝，所以在Rt△PAC中，
AH＝＝，所以在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
【说明】1、利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可；
2、斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，得出斜线在面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解；
3、求直线与平面所成角的一般步骤：
（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
（3）把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
例4、如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，
AB＝CD＝2.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AD＝AE＝2，EF＝1，
且二面角E－DC－A的大小为60°，
求二面角F－BC－D的大小；
【提示】注意找角；
【解析】（1）证明：因为AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，所以AB∥EF，
因为AB 平面CDEF，EF 平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.
因为平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AB 平面ABCD，所以AB∥CD.
（2）因为AB⊥平面ADE，AB∥CD，
所以CD⊥平面ADE，
因为AD，DE 平面ADE，所以CD⊥AD，CD⊥DE，
所以∠ADE为二面角E－DC－A的平面角，即∠ADE＝60°，
所以△ADE为等边三角形；
因为AB∥CD，AB＝CD＝AD，CD⊥AD，所以四边形ABCD为正方形．
连接AC，BD，设AC与BD的交点为O，连接OF，
分别取AD，BC的中点N，M，连接EN，MN，FM，
则EN⊥AD，MN过点O，MN∥AB.
因为AB⊥平面ADE，所以MN⊥平面ADE，
因为EN 平面ADE，所以MN⊥EN.
因为MN∩AD＝N，MN，AD 平面ABCD，所以EN⊥平面ABCD；
因为EF∥AB∥ON，EF＝1＝AB＝ON，所以四边形EFON为平行四边形，
所以OF∥EN，所以OF⊥平面ABCD，所以OF⊥BC；
因为OM⊥BC，OM∩OF＝O，OM，OF 平面FOM，所以BC⊥平面FOM，所以BC⊥FM，
所以∠OMF即为二面角F－BC－D的平面角，
在Rt△FOM中，OF＝EN＝，OM＝1，所以tan∠OMF＝＝，
故二面角F－BC－D的大小为60°.
【说明】空间角中的难点是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：
①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；
②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；
③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法；
1、利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算、回答”是一个完整的过程，缺一不可；
2、斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，得出斜线在面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解．
3、空间角中的难点是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法．
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】因为CD∥AB，所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成的角，连接BE，在直角三角形ABE中，设AB＝a，则BE＝a，所以tan ∠EAB＝＝.
2、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，
此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】D；
【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°；
3、如图，在底面为正方形，
侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
【答案】；
【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角；
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，
故cos ∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
4、将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为
【答案】60°
【解析】如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，
连接OD，ON，OM，OB，MN，则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝CD，MN＝AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，
OB⊥AC，所以OB⊥平面ACD，所以OB⊥OD.设正方形边长为2，
则OB＝OD＝，所以BD＝2，则OM＝BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1，
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°；
5、如图所示，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
【答案】45°；
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°；
6、如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，
则二面角P BC A的大小为 ．
【提示】先利用二面角的平面角的定义找平面角，
再通过解三角形求解；
【答案】45°
【解析】∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴C⊥平面PAC.
又∵PC平面PAC，∴BC⊥PC.
又∵BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P BC A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝，BC＝，∴PC＝2.
在Rt△ABC中，AC＝＝，∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝＝，
∴∠PCA＝45°，即二面角P BC A的大小为45°.
7、如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，求直线AP与平面PBC所成角的大小；
【答案】；
【解析】
作AE⊥BC于点E，则BC⊥平面PAE，
可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，
故∠APE为所求的角．AE＝ABsin 45°＝，
所以，tan ∠APE＝＝；则直线AP与平面PBC所成角的大小为；
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.
（1）求三棱锥P－AMN的体积；
（2）求二面角M－AN－D的正切值．
【解析】（1）∵PB＝PC，N为BC的中点，∴PN⊥BC，
又PN⊥AB，AB∩BC＝B，
AB，BC 平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD，
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，∴PN＝，
∵M为PD的中点，∴VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN＝VP－ADN＝VP－ABCD＝××2×2×＝.
（2）如图，取DN的中点E，连接ME，
∵M，E分别为PD，DN的中点，∴ME∥PN，
∵PN⊥平面ABCD，
∴ME⊥平面ABCD，∴ME⊥AN，过E作EQ⊥AN，
垂足为点Q，连接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，
∴AN⊥平面MEQ，
∴AN⊥MQ，
∴∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，
∴tan∠MQE＝，
∵PN＝，∴ME＝，
∵AN＝DN＝，AD＝2，∴QE＝×＝，
∴tan∠MQE＝.
即二面角M－AN－D的正切值为.