微专题 空间共面、线、点间的方法类比 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、公理1、公理2、公理3的内容是什么？
2、公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？
1、平面的基本性质
公理 内容 图形 符号 作用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 用来证明直线在平面内　
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 用来确定一个平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 用来证明空间的点共线和线共点
【说明】对公理2必须强调是不共线的三点．
2、共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（3）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点；
例1、证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内；
【提示】
【文字语言转化为图形、符号语言】
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内；
【证明】
【说明】本题主要考查了点线共面问题；证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：
1、先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
2、先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
3、假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”；
例2、如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，
F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点．
【提示】.
[解题流程]
【解析】
【说明】本题考查了证明证明三线共点问题；方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线
例3、已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别
交平面α于P，Q，R（如图）；
求证：P，Q，R三点共线．
1、解决立体几何问题首先应过好三大语言关；
即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚；
2．有关处理点线共面、三点共线及三线共点问题：
初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想；
（1）点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2.解决该类问题通常有三种方法：①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；②辅助平面法(同一法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；③反证法．通常情况下采用第一种方法；
（2）点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上；
（3）证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点；
1、下列说法正确的是(　　)
①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2、给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3、设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
4、如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，
E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
5、如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，
直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
则γ与β的交线必通过点
6、已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的命题是
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
③A∈α，A∈β α∩β＝A
④A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
7、如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C；
求证：a，b，c，l共面；
8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，
能否判断B，Q，D1三点共线？
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、公理1、公理2、公理3的内容是什么？
2、公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？
1、平面的基本性质
公理 内容 图形 符号 作用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 用来证明直线在平面内　
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α 用来确定一个平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点
【说明】对公理2必须强调是不共线的三点．
2、共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（3）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点；
例1、证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内；
【提示】先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内；或利用公理2的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合；
【文字语言转化为图形、符号语言】
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内；
【证明】方法1：(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法2：(同一法)
因为，l1∩l2＝A，所以，l1，l2确定一个平面α；
因为，l2∩l3＝B，所以，l2，l3确定一个平面β.
因为，A∈l2，l2 α，所以，A∈α.
因为，A∈l2，l2 β，所以，A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以，不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以，平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内；
【说明】本题主要考查了点线共面问题；证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：
1、先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
2、先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
3、假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”；
例2、如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，
F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点．
【提示】由四边形是一个梯形可知，延长和交于一点O，根据平面，
平面，可知点O在这两个平面的交线上，故两平面的交线过点O，即可得证.
[解题流程]
【解析】连接.
因为分别是的中点，
所以，且.
又，
所以，且，所以，
且，
所以四边形是一个梯形.
延长和交于一点O，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
所以点O在这两个平面的交线上.
而这两个平面的交线是，且交线只有这一条，所以点O在直线上.
所以交于一点；
【说明】本题考查了证明证明三线共点问题；方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线
例3、已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别
交平面α于P，Q，R（如图）；
求证：P，Q，R三点共线．
【提示】解答本题可以先选两点确定一条直线，
再证明第三点也在这条直线上；
【证明】方法1、∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α，
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC；
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
∴P，Q，R三点共线；
方法2、因为，AP∩AR＝A，所以，直线AP与直线AR确定平面APR，
又因为，AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以，平面APR∩平面α＝PR，
因为，B∈平面APR，C∈平面APR，所以，BC 平面APR；
又因为，Q∈直线BC，所以，Q∈平面APR.又Q∈α，
所以，Q∈PR，所以，P，Q，R三点共线；
【说明】本题考查了证明证明三点共线问题；证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上；
1、解决立体几何问题首先应过好三大语言关；
即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚；
2．有关处理点线共面、三点共线及三线共点问题：
初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想；
（1）点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2.解决该类问题通常有三种方法：①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；②辅助平面法(同一法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；③反证法．通常情况下采用第一种方法；
（2）点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上；
（3）证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点；
1、下列说法正确的是(　　)
①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C；
2、给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B；
【解析】①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点
确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；
②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；
③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3、设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
【答案】∈；
【解析】因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l；
4、如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，
E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
【答案】（1）BD；（2）AC；
【解析】（1）若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.
（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，
而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC；
5、如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，
直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
则γ与β的交线必通过点
【答案】点C和点M
【解析】∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
6、已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的命题是
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
③A∈α，A∈β α∩β＝A
④A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
【答案】①②④；
【解析】命题③中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故③错；
其他依据公理及其推论是真命题；
7、如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C；
求证：a，b，c，l共面；
【证明】∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，
又∵A∈l，B∈l，∴l α；
∵b∥c，∴b，c确定一个平面β，
同理可证l β.于是b α，l α，b β，l β，即α∩β＝b，α∩β＝l.
又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面；
8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，
能否判断B，Q，D1三点共线？
【解析】∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C 平面A1D1CB，
∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，
∴B，Q，D1三点共线；