微专题 空间距离及其几何解法 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
三种距离：1、点面距；2、线面距；3、面面距；
1、点面距：过一点作垂直于已知平面的直线，则 的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 叫做这个点到该平面的距离；
2、线面距：一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
3、面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离；
例1、如图，已知边长为a的菱形ABCD中，
∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，
E是PA的中点，
求：点E到平面PBC的距离；
【提示】
【解析】
【说明】本题考查了点面的距离及其求法；求点到平面距离的步骤：
1、作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直.
2、求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离.
3、在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长.
4、下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”；
例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AD，AB边的中点，
GC⊥平面AC，GC＝2，
求：点B到平面EFG的距离.
【提示】
【解析】
例3、若四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面边长为1，且侧面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
【说明】本题考查了线面距离的计算；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解；
例4、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
例5、如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，
其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，
且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点．
（1）求证：平面BCF∥平面AEG；
（2）求平面BCF与平面AEG的距离；
例6、 (2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________.
例7、 (2019全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，
P为平面ABC外一点，PC＝2，
点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
那么P到平面ABC的距离为 ；
【说明】空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及，线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等；
空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及，线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等.
1、点面、线面距离
（1）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离；
（2）直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解；
2、求点到平面距离的步骤：
(1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直.
(2)求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离.
(3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长.
(4)下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”.
3、空间中距离的转化
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离；　
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为(　　)
A． 　　　
B．
C． 　　　
D．1
2、在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为(　　)
A． B． C． D．
3、三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为________．
5、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，F是线段A1B1的中点，则点F到平面ABC1D1的
距离为
6、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
7、矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝；
求：（1）点B到平面AED的距离；（2）EF到平面ABCD的距离；．
.
8、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角的大小；
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
三种距离：1、点面距；2、线面距；3、面面距；
1、点面距：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
2、线面距：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
3、面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离；
例1、如图，已知边长为a的菱形ABCD中，
∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，
E是PA的中点，
求：点E到平面PBC的距离；
【提示】注意根据题设与交汇性质找“距离”；
【解析】如图，设AC，BD相交于点O，连接EO，
∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，
∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离.
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的长即为所求距离.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a，
即点E到平面PBC的距离为a；
【说明】本题考查了点面的距离及其求法；求点到平面距离的步骤：
1、作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直.
2、求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离.
3、在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长.
4、下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”；
例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AD，AB边的中点，
GC⊥平面AC，GC＝2，
求：点B到平面EFG的距离.
【提示】注意根据题设与交汇性质找“距离”；
【解析】如图，连接AC，BD交于O点，EF交AC于点M，
连接GM，在△GCM中作OH⊥MG于点H.
∵E，F分别为AD，AB的中点，
∴EF∥BD.
又∵EF 平面GEF，BD 平面GEF，∴BD∥平面EFG.
由GC⊥平面AC，EF 平面AC，可得GC⊥EF，
又∵EF⊥AC，AC∩GC＝C，∴EF⊥平面MGC.
又∵OH 平面MGC，∴EF⊥OH.
又∵OH⊥GM，GM∩EF＝M，
∴OH⊥平面EFG.
∴OH即为点O到平面EFG的距离，即为直线BD到平面EFG的距离，
即为点B到平面EFG的距离.
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴AC＝4，∴CM＝3，OM＝.
又GC＝2，∴GM＝＝.
由△MHO∽△MCG，得＝，
∴HO＝＝，
即点B到平面EFG的距离为.
例3、若四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面边长为1，且侧面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】C；
【解析】连接AC，则A1C1∥AC.
∵A1C1 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴A1C1∥平面ABCD，
∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，
又A1A＝B1B，
∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离，
由题意知，B1B＝，即A1C1和底面ABCD的距离为；
【说明】本题考查了线面距离的计算；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解；
例4、已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
【提示】注意题设中的“对称性”，借助“同理可证”；
【答案】
【解析】如图所示，设PO⊥平面ABC于O，
PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，∴PO⊥AC.
又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE.
又OE 平面POE，∴AC⊥OE.
同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形．
∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC.
∴EC＝FC＝ ＝1，∴四边形OECF是边长为1的正方形．
∴OC＝.
在Rt△POC中，PO＝＝＝.
例5、如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，
其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，
且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点．
（1）求证：平面BCF∥平面AEG；
（2）求平面BCF与平面AEG的距离；
【解析】（1）证明：
∵AB∥CD，AB＝CD，G是CD的中点，
∴AB∥GC，
∴四边形ABCG为平行四边形，∴BC∥AG.
又AG 平面AEG，BC 平面AEG，
∴BC∥平面AEG.
∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，AB∥CD∥EF，
∴EF綉AB，∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.
又AE 平面AEG，BF 平面AEG，∴BF∥平面AEG.
又BF∩BC＝B，BF，BC 平面BCF，
∴平面BCF∥平面AEG.
（2）设点C到平面AEG的距离为d，
易知AE＝EG＝AG＝.
连接EC，AC(图略)，由VC-AGE＝VE-ACG，
得××AE2×sin 60°×d＝××CG×AD×DE，解得d＝.
∵平面BCF∥平面AEG，
∴平面BCF与平面AEG的距离为.
例6、 (2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________.
【答案】；
【解析】如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，
则PO为P到平面ABC的距离；
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，
所以PO＝＝ ＝.
例7、 (2019全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，
P为平面ABC外一点，PC＝2，
点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
那么P到平面ABC的距离为 ；
【答案】；
【解析】作PD，PE分别垂直于AC，BC于点D，E，PO⊥平面ABC于点O，连接CO，
由题意可知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，
又OD 平面PDO，所以CD⊥OD，
因为PD＝PE＝，PC＝2，
所以sin∠PCE＝sin∠PCD＝，
所以∠PCB＝∠PCA＝60°，
又易知PO⊥CO，CO为∠ACB的平分线，
所以∠OCD＝45°，OD＝CD＝1，OC＝，
又PC＝2，所以PO＝＝；
【说明】空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及，线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等；
空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 在高考中也经常涉及，线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等.
1、点面、线面距离
（1）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离；
（2）直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离；当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解；
2、求点到平面距离的步骤：
(1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足，并证明线面垂直.
(2)求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离.
(3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长.
(4)下结论：给出所求距离：简称“一作，二证，三求，四答”.
3、空间中距离的转化
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离；　
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直线CC1和平面B1BDD1的距离为(　　)
A． 　　　
B．
C． 　　　
D．1
【答案】B；
【解析】连接AC(图略)，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为.
2、在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设△BCD的中心为O，
连接AO，则AO的长即为所求；
在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝××1＝，
∴AO＝＝，即点A到平面BCD的距离为.
3、三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于
【答案】
【解析】如图，在△SAB中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为SA⊥平面ABC，
所以SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，因为AE 平面SAB，
所以BC⊥AE，而AE⊥SB，且BC∩SB＝B，
所以AE⊥平面SBC.
在△SAB中，由勾股定理易得SB＝5，则由等面积法可得AE＝，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为AE＝；
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为________．
【答案】
【解析】　由于E是BB1的中点，故点B1到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离，如图，过B作BF⊥AE于点F，由于BF⊥AD，AD∩AE＝A，故BF⊥平面ADE.在直角三角形ABE中，AB＝1，BE＝，AE＝，所以·AB·BE＝·AE·BF，解得BF＝，即点B1到平面ADE的距离为.
5、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，F是线段A1B1的中点，则点F到平面ABC1D1的
距离为
【答案】；
【解析】如图，连接A1D交AD1于点E，因为A1B1∥AB，A1B1 平面ABC1D1，AB 平面ABC1D1，所以A1B1∥平面ABC1D1，所以点F到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离，因为AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，
所以A1D⊥AB，因为A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以点A1到平面ABC1D1的距离等于A1E，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，所以A1E＝A1D＝×2＝，所以点F到平面ABC1D1的距离为；
6、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
【答案】4；
【解析】如图，设AB的中点为M，
分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，
则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1为其中位线，
∴MM1＝(AA1＋BB1)
＝(3＋5)＝4.
7、矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝；
求：（1）点B到平面AED的距离；（2）EF到平面ABCD的距离；．
【答案】（1）2；（2）；
【解析】∵ABCD，CDEF为矩形，
∴ED⊥CD，CD∥AB，∴AB⊥ED，
又∵AB⊥AD，ED∩AD＝D，∴AB⊥平面AED，∴BA即为所求距离，
因此点B到平面AED的距离为2.
∵ED⊥AD，AD∩CD＝D，∴ED⊥平面ADCB，
∴E到平面ADCB的距离为.
∵EF∥平面ABCD，
∴EF到平面ABCD的距离也是.
8、已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的距离为，求直线AB和平面α所成的角的大小；
【解析】
图①
解　(1)如图①，当点A，B位于平面α的同侧时，
过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，
则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.
过点A向BB1作垂线，垂足为H，
则AB与AH所成的角即为AB与平面α所成的角，即∠BAH为AB与平面α所成的角.
在Rt△BHA中，AH＝A1B1＝，BH＝BB1－AA1＝1，
∴tan∠BAH＝＝＝.又∠BAH为锐角，
∴∠BAH＝30°，∴AB与平面α所成的角为30°.
图②
(2)如图②，当点A，B位于平面α的异侧时，AB与平面α相交于点C，
过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1.
则A1B1为AB在平面α上的射影，
∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
设B1C＝x，则A1C＝－x，AA1＝1，BB1＝2.易知△BB1C∽△AA1C，则＝，
即＝，x＝，∴tan∠BCB1＝＝，
又∠BCB1为锐角，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，
即AB与平面α所成的角为60°.
综上，AB与平面α所成的角为30°或60°.