微专题 斜二测画法及其应用 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、画平面图形的直观图的步骤是什么？
2、画简单几何体的直观图的步骤是什么？
3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
1、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
2、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可；
（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图；
（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示；
【说明】1、画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可；2、用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)；
例1、画水平放置的直角梯形的直观图，
如图所示；
【提示】
【解析】（1）
（2）
（3）
【说明】本题考查了画水平放置的平面图形的直观图的规则与步骤；在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点；原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段；
例2、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD
利用“斜二测画法”画得的直观图；
若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1；
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积；
【提示】
【解析】
【说明】本题主要考查了平面直观图的还原和计算问题；
1、由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置；
2、一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝；
1、画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段；
2、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3、用斜二测画法画水平放置的立体图形直观图的步骤
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的；
【说明】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
4、由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
【结论】一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝.
1、关于斜二测画法，下列说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
2、关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
4、如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，
它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图形的周长是 cm
5、利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的命题序号是
①两条相交直线的直观图是平行直线；
②两条垂直直线的直观图是垂直直线；
③正方形的直观图是平行四边形；
④梯形的直观图是梯形．
6、如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，
点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，
顶点B′到x′轴的距离为________．
7、如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
8、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
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带着如下【问题】思考、理解与应用
1、画平面图形的直观图的步骤是什么？
2、画简单几何体的直观图的步骤是什么？
3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
1、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
2、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可；
（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图；
（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示；
【说明】1、画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可；2、用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)；
例1、画水平放置的直角梯形的直观图，
如图所示；
【提示】注意：斜二测画法与画平面图形的关联；
【解析】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，
使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示；
（2）在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，
在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②；
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图；如图③.
【说明】本题考查了画水平放置的平面图形的直观图的规则与步骤；在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点；原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段；
例2、如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD
利用“斜二测画法”画得的直观图；
若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1；
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积；
【提示】注意遵守“斜二测画法”的规则与步骤；
【解析】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，
原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5；
【说明】本题主要考查了平面直观图的还原和计算问题；
1、由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置；
2、一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝；
1、画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段；
2、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3、用斜二测画法画水平放置的立体图形直观图的步骤
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的；
【说明】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
4、由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
【结论】一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝.
1、关于斜二测画法，下列说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】C；
2、关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【答案】D；
【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确；
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
【答案】9；
【解析】由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，
且AC＝6，AB＝3；∴S△ABC＝×6×3＝9.
4、如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，
它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图形的周长是 cm
【答案】8；
5、利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的命题序号是
①两条相交直线的直观图是平行直线；
②两条垂直直线的直观图是垂直直线；
③正方形的直观图是平行四边形；
④梯形的直观图是梯形．
【答案】③④
6、如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，
点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，
顶点B′到x′轴的距离为________．
【答案】；
【解析】画出直观图，BC对应B′C′，
且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
故顶点B′到x′轴的距离为；
7、如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
【解析】方法1、画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，
故△A′B′C′的高为B′D′＝3 cm，
所以S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2)，
即水平放置的直观图的面积为18 cm2.
方法2、△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．
8、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【提示】步骤：　→→→
【画法】（1）画轴：
①　　　　　　②
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
（2）画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
（3）画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
（4）成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
【说明】1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”；
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．