微专题 平面与平面所成角的几何解法 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、二面角及其平面角的定义；
2、二面角的平面角的作法；
1、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（如图）；
直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面；
记法：α AB β，在α，β内，分别取点P，Q时，
可记作P AB Q；当棱记为l时，可记作α l β或P l Q；
（2）二面角的平面角：
①定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，
如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直
于棱l的射线OA和OB，
则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
②直二面角：平面角是直角的二面角；
2、对于二面角及其平面角的理解
（1）二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想；
（2）二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°或表示为；
例1、在空间四边形VABC中，
VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，
求：二面角V－AB－C的大小.
【提示】
【解析】
【说明】
例2、如图，在空间四边形SABC中，
∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC；
（1）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（2）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值；
【提示】
【解析】
【说明】本题主要考查了利用三垂线定理找二面角的平面角；
三垂线法：是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法；
这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的；
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直；
例3、如图，在空间四边形SABC中，
SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，
求二面角E－BD－C的大小.
【说明】本题考查了通过做二面角的棱的垂直的方法，间接找二面角的平面角的方法；
垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面；
二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的常见方法有定义法，三垂线法，垂面法.
解决二面角问题的策略：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点；求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”；
1、从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
2、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3、如图所示，在三棱锥P－ABC中，
PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
则二面角B－PA－C的大小为
4、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，
AB＝AD＝2，CC1＝，
则二面角C1 BD C的大小为________．
5、正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
6、在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B AC D的余弦值为________．
7、如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E BD C的大小．
【说明】作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，
△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，
平面PBD⊥平面ABCD；
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长；
．
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、二面角及其平面角的定义；
2、二面角的平面角的作法；
1、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（如图）；
直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面；
记法：α AB β，在α，β内，分别取点P，Q时，
可记作P AB Q；当棱记为l时，可记作α l β或P l Q；
（2）二面角的平面角：
①定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，
如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直
于棱l的射线OA和OB，
则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
②直二面角：平面角是直角的二面角；
2、对于二面角及其平面角的理解
（1）二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想；
（2）二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°或表示为；
例1、在空间四边形VABC中，
VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，
求：二面角V－AB－C的大小.
【提示】注意根据“对称性”找平面角；
【解析】取AB的中点D，
连接VD，CD，
因为，△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，
所以，△VAB为等边三角形，
所以，VD⊥AB且VD＝，
同理CD⊥AB，CD＝，
所以，∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
所以，二面角V－AB－C的大小为60°；
【说明】本题考查了利用“定义法”求二面角；定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法；
例2、如图，在空间四边形SABC中，
∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC；
（1）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（2）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值；
【提示】注意角“90°”与垂直的关联；
【解析】（1）证明：因为，∠SAB＝∠SAC＝90°，所以，SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
所以，SA⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，∴SA⊥BC，
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB，
所以，BC⊥平面SAB，
又BC 平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
（2）解：取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，
由（1）知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD 平面SAB，
所以，AD⊥平面SBC.
作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，
则DE⊥SC，
则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.
设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4.
由题意得AE＝，
Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝，
所以，二面角A－SC－B的平面角的正弦值为；
【说明】本题主要考查了利用三垂线定理找二面角的平面角；
三垂线法：是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法；
这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的；
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直；
例3、如图，在空间四边形SABC中，
SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，
又SA＝AB，SB＝BC，
求二面角E－BD－C的大小.
【提示】注意用好题设“SA⊥底面ABC”；
【解析】因为，SB＝BC且E是SC的中点，
所以，BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
所以，SC⊥平面BDE，所以，SC⊥BD；
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
所以，SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
所以，BD⊥平面SAC；
因为，平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
所以，BD⊥DE，BD⊥DC，
所以，∠EDC是所求二面角的平面角；
因为，SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，
设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2，
因为，AB⊥BC，所以，AC＝2，所以，∠ACS＝30°；
又已知DE⊥SC，所以，∠EDC＝60°；
即所求的二面角等于60°；
【说明】本题考查了通过做二面角的棱的垂直的方法，间接找二面角的平面角的方法；
垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面；
二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的常见方法有定义法，三垂线法，垂面法.
解决二面角问题的策略：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点；求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”；
1、从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
【答案】C；
【解析】若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°；
2、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】D；
【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，
设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°；
3、如图所示，在三棱锥P－ABC中，
PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
则二面角B－PA－C的大小为
【答案】90°；
【解析】∵PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°；
4、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，
AB＝AD＝2，CC1＝，
则二面角C1 BD C的大小为________．
【答案】30°；
【解析】如图，取BD中点O，连结OC，OC1.
∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝.
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.
∴∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角，
∴tan∠C1OC＝＝＝，
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1 BD C的大小为30°；
5、正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
【答案】；
【解析】如图所示，设正四面体A BCD的棱长为1，
顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，
连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．
在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝×＝，
∴cos∠AEO＝＝；
6、在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B AC D的余弦值为________．
【答案】60°；
【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°；
7、如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E BD C的大小．
【解析】∵E为SC中点，且SB＝BC，
∴BE⊥SC.又DE⊥SC，
BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，
∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，
可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E BD C的平面角．
设SA＝AB＝1，在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E BD C为60°.
【说明】作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
8、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，
△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，
平面PBD⊥平面ABCD；
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长；
【解析】（1）证明　如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，
则AE⊥BD.
平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
AE 平面ABCD，
故AE⊥平面PBD，PD 平面PBD，
故AE⊥PD.
PD⊥AB，AE∩AB＝A，
AE，AB 平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
（2）解　过点E作EF⊥PB于点F，连接CF，CE，
因为BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，
所以EC⊥BD，
所以EC⊥平面PBD.
又PB 平面PBD，所以EC⊥PB，
又EC∩EF＝E，EC，EF 平面EFC，
所以PB⊥平面EFC，
又因为CF 平面EFC，
所以CF⊥PB，
故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角．
cos∠EFC＝，
故tan∠EFC＝，EC＝1，故EF＝.
sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，
即＝，PD＝1.
【说明】解决二面角问题的策略：清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．