微专题 立体几何中有关截面问题的综合应用 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）

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带着如下【问题】思考、理解与应用
立体几何中有关截面问题的与多边形的周长、面积等知识与方法的综合；
在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；
利用平面的性质与定理，明确交线是关键，然后确定截面形状是解决截面问题的基础；
立体几何中的截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强；
截面问题主要考查空间想象、逻辑推理以及数学运算能力，因而截面问题一直是高考的热点、
重点与难点；常做为压轴题出现。
例1、如图，在棱长为12的正方体中，
已知E，F分别为棱AB，的中点，
若过点，E，F的平面截正方体所得
的截面为一个多边形，求：
（1）该多边形的周长；
（2）该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值；
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】本题主要考查求截面周长问题和异面直线所成的角，考查了空间想象能力和运算求解能力；求截面周长问题一般可归纳为：1、截面周长，可以利用多面体展开图求；2、截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解；
例2、如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，
以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体
的表面相交所得到的两段弧长之和(＋)等于________．
【答案】
【解析】
例3、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A． B． C． D．
【说明】本题考查了求截面面积的最值问题；关键是正确作出截面，由此转化为平面几何问题；
例4、圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为θ，求过此圆锥的母线的截面面积最大值．
【提示】
【解析】
.
【说明】在本题求解中注意平面几何性质与三角知识的合理使用；
例5、已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是______.
例6、如图，在长方体中，截下一个棱锥，
则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．
B．1:4
C．1:3
D．1:2
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；
基本规律
1、截面周长：可以利用多面体展开图求；可以在各个表面各自解三角形求解；
2、截面面积：（1）判断界面是否规则图形；（2）规则图形，可以用对应面积公式求；（3）不规则图形，可以分割为三角形等图形求；（4）动态面积最值，可考虑特殊位置；
3、计算球截面：（1）确定球心和半径；（2）寻找做出并计算截面与球心的距离；（3）要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
1、如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是(　　)
A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形
C．截面面积的最大值为2 D．截面面积的最大值为
3、如图，在正方体中，，为棱的中点，
为棱的四等分点（靠近点），
过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
4、已知在棱长为6的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
5、正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
6、已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
7、如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，
且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面
平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，
试比较S1，S2，S3的大小关系；
8、已知正三棱锥A－BCD的外接球是球O，BC＝1，AB＝，点E为BD中点，过点E作球O的截面，求所得截面圆面积的取值范围；
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
立体几何中有关截面问题的与多边形的周长、面积等知识与方法的综合；
在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；
利用平面的性质与定理，明确交线是关键，然后确定截面形状是解决截面问题的基础；
立体几何中的截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强；
截面问题主要考查空间想象、逻辑推理以及数学运算能力，因而截面问题一直是高考的热点、
重点与难点；常做为压轴题出现。
例1、如图，在棱长为12的正方体中，
已知E，F分别为棱AB，的中点，
若过点，E，F的平面截正方体所得
的截面为一个多边形，求：
（1）该多边形的周长；
（2）该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值；
【提示】延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，作出截面多边形，由此易求该截面多边形的周长；多边形与平面，ABCD的交线分别为与，由面面平行的性质定理得∥，则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角，利用余弦定理计算即可；
【答案】（1） ；（2）；
【解析】如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，
因为正方体的棱长为12，
所以．
因为∥，所以，
所以，所以，
同理可得，所以，
所以，，
所以，．
易知，所以，
又，解得，
所以，，
则该多边形的周长为；
由面面平行的性质定理得∥，
则为多边形与平面，ABCD的交线所成的角或其补角．
因为，所以，
所以该多边形与平面，ABCD的交线所成角的余弦值为；
故答案为：；；
【说明】本题主要考查求截面周长问题和异面直线所成的角，考查了空间想象能力和运算求解能力；求截面周长问题一般可归纳为：1、截面周长，可以利用多面体展开图求；2、截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解；
例2、如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，
以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体
的表面相交所得到的两段弧长之和(＋)等于________．
【答案】；
【解析】如题图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即平面BB1C1C、平面CC1D1D和面A1B1C1D1上．
在平面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，
因为AE＝2，AA1＝，则∠A1AE＝.
同理∠BAF＝，所以∠EAF＝，
故弧EF的长为2×＝，而这样的弧共有三条．
在平面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝，所以弧FG的长为：1×＝.
于是，所得的曲线长为GF＋EF＝＋＝.
例3、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A（2018·全国Ⅰ卷）
【解析】如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，
进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意；
由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的截面面积应取最大值，
此时截面为正六边形EFGHIJ，
易知正六边形EFGHIJ的边长为，
将该正六边形分成6个边长为的正三角形.
故其面积为6××＝；
【说明】本题考查了求截面面积的最值问题；关键是正确作出截面，由此转化为平面几何问题；
例4、圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为θ，求过此圆锥的母线的截面面积最大值．
【提示】注意阅读“轴截面”、“过此圆锥的母线的截面”；
【解析】设△VCD是过圆锥母线的异于轴截面的任意截面，
其顶角∠CVD＝α，轴截面VAB的面积S＝l2sinθ；
截面VCD的面积S′＝l2sin α；
在△VAB和△VCD中，CD＜AB，所以α＜θ.
（1）当0＜θ≤时，0＜α＜θ≤，sin α＜sin θ S′＜S，
此时，过圆锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝l2sin θ.
（2）当＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝l2；
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范围有关，
当0＜θ≤时，轴截面面积最大，最大值为S＝l2sin θ；
当＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝l2.
【说明】在本题求解中注意平面几何性质与三角知识的合理使用；
例5、已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是______.
【答案】2π
【解析】如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，
连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，
则O1D＝3sin 60°×＝，
AO1＝＝3，
在Rt△OO1D中，
R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，
∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，
O1E＝＝1，
∴OE＝＝，
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为＝，面积为2π.
故答案为2π.
例6、如图，在长方体中，截下一个棱锥，
则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．
B．1:4
C．1:3
D．1:2
【提示】利用棱锥和棱柱的体积公式即可求解.
【答案】A；
【解析】方法1、设，，，
则长方体的体积，
又，且三棱锥的高为，
∴，
则剩余部分的几何体体积，
则，
方法2、已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱，
设它的底面面积为，高为，则它的体积为，
而棱锥的底面面积为，高为，
∴棱锥的体积，
剩余部分的体积是，
∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为；
故选：A.
【说明】本题主要考查了与截面相关的棱锥以及棱柱的体积公式；
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；
基本规律
1、截面周长：可以利用多面体展开图求；可以在各个表面各自解三角形求解；
2、截面面积：（1）判断界面是否规则图形；（2）规则图形，可以用对应面积公式求；（3）不规则图形，可以分割为三角形等图形求；（4）动态面积最值，可考虑特殊位置；
3、计算球截面：（1）确定球心和半径；（2）寻找做出并计算截面与球心的距离；（3）要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
1、如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【提示】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.
【答案】D
【解析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，
则台体的体积，解之得，
所以,,
所以截面的周长为.
故选：D
2、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是(　　)
A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形
C．截面面积的最大值为2 D．截面面积的最大值为
【答案】D
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1⊥平面A1BD，
所以平面α与平面A1BD平行，平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形，当截面为正六边形EFNMGH时，截面面积最大，
由题可知NM＝＝1，则S正六边形EFNMGH＝6××1×1×sin 60°＝.故选D.
3、如图，在正方体中，，为棱的中点，
为棱的四等分点（靠近点），
过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【提示】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，
从而求截面的周长；
【答案】
【解析】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，
连接，易证，则五边形为所求截面.
因为，所以，
则，
故该截面的周长是.
故答案为：
4、已知在棱长为6的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
【提示】根据正方体的性质作出截面图形，进而算出周长.
【答案】
【解析】如图，延长EF，A1B1，相交于点M，连接AM，交BB1于点H，延长FE，A1D1，相交于点N，连接AN，交DD1于点G，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG.因为ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，由中位线定理易得：EF＝，由勾股定理易得：AG＝AH＝，EG＝FH＝，截面的周长为AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝＋.
故答案为：＋.
5、正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
【提示】如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果；
【答案】17：7或7：17
【解析】设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，
因为E，F分别是棱，的中点，
所以棱台的体积为
，
所以另一部分的体积为，
所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，故答案为：17：7或7：17
6、已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】；
【解析】如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，
连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，
由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，
∴D1B1＝DB＝2，
∴△D1B1C1为等边三角形，
则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，
∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，
设截面圆的半径为r，
则r＝＝＝．
又由题意可得EP＝EQ＝，
∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ．
又D1P＝，
∴B1P＝＝1，
同理C1Q＝1，
∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，
∴∠PEQ＝，
知的长为×＝，即交线长为．
7、如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，
且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面
平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，
试比较S1，S2，S3的大小关系；
【答案】S3【解析】由题意知OA，OB，OC两两垂直，
可将其放置在以O为顶点的长方体中，
设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，
利用等体积法易得
S1＝a，S2＝b，S3＝c，
∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)＝c2(a2－b2)，
又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，
同理，平方后作差可得，S2>S3，
∴S38、已知正三棱锥A－BCD的外接球是球O，BC＝1，AB＝，点E为BD中点，过点E作球O的截面，求所得截面圆面积的取值范围；
【答案】.
【解析】如图，设△BCD的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，
则O1D＝1×sin×＝，AO1＝＝1，
在Rt△OO1D中，
R2＝2＋(1－R)2，
解得R＝，
所以OO1＝AO1－R＝，
O1E＝1×sin×＝，
所以OE＝＝，过点E作球O的截面，
当截面与OE垂直时，截面的面积最小，
此时截面的半径为＝，则截面面积为π×2＝，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为πR2＝；
故答案为：.