微专题 立体几何中有关截面的形状的探究 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 微专题 立体几何中有关截面的形状的探究 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 其它版本 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-29 16:43:56 | ||
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文档简介
学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
利用立体几何的有关定理、公理确定截面的形状
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.
利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键；作截面应遵循的三个原则
1、过同一平面上的两点可引直线；
2、凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3、凡是相交的平面都要画出它们的交线．
例1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
【提示】；
【解析】
【说明】本题考查了三种画截面的基本方法；
同时与分类讨论进行了交汇；
例2、E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，
则过A、E、F三点的截面的图形是 .
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】截面问题无法作出图形及找到基本量；在截面问题中，通常出现的痛点：一是无法作出截面的图形，二是在涉及截面的运算时，找不到基本量，无法进行计算．在解决此类问题时，利用平面的性质确定截面是解决问题的关键。
例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的序号是
①截面形状可能为正三角形
②截面形状可能为正方形
③截面形状可能为正六边形
④截面形状可能为五边形
例4、如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A P Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形
D．当时，的面积为
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
3、正方体中的基本截面类型
1、一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
2、一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，
点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形； ②四边形； ③五边形．
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是
6、用一个平面去截正方体，所得截面不可能的序号是
①直角三角形；②直角梯形；③正五边形；④正六边形；
7、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
8、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
利用立体几何的有关定理、公理确定截面的形状
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.
利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键；作截面应遵循的三个原则
1、过同一平面上的两点可引直线；
2、凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3、凡是相交的平面都要画出它们的交线．
例1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
【提示】审结论：为了明确解题方向，需明确点Q位置；审条件：解题视角寻找，
注意“点Q是棱DD1上的动点”；通过动点Q分类讨论；
【解析】由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，
截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲．(4分)
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，
如图乙．(8分)
当点Q不与点D，D1重合时，
截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)
则等腰梯形AQRB1为截面图形；
【说明】本题考查了三种画截面的基本方法；
同时与分类讨论进行了交汇；
例2、E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，
则过A、E、F三点的截面的图形是 .
【提示】注意：平面与直线都是无限的；
【答案】五边形
【解析】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，
连AP交BC于M，连AQ交A1D1于N，连接NF、ME.
则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面．
【说明】截面问题无法作出图形及找到基本量；在截面问题中，通常出现的痛点：一是无法作出截面的图形，二是在涉及截面的运算时，找不到基本量，无法进行计算．在解决此类问题时，利用平面的性质确定截面是解决问题的关键。
例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的序号是
①截面形状可能为正三角形
②截面形状可能为正方形
③截面形状可能为正六边形
④截面形状可能为五边形
【答案】①③；
【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，
所以平面α与平面A1BD平行或重合，
所以平面α与正方体的截面形状可以是正三角形、正六边形，
但不可能是五边形和四边形，故①、③正确．
【说明】作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线；
例4、如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A P Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形
D．当时，的面积为
【提示】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.
【答案】C
【解析】当时，如下图1，是四边形，故A正确；
当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：
当时，如下图3，是五边形，C错误；
当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.
故选：C
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
3、正方体中的基本截面类型
1、一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
【答案】D；
【解析】考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D.
2、一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
【答案】C
【解析】取的中点，的中点，的中点，
连接，
易得∥且，∥且，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
又平面，平面,
由线面平行的判定定理可知，
∥平面，∥平面，即截面为四边形，
又，
所以四边形为菱形，所以选项C正确.故选：C
3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，
点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
【答案】等腰梯形
【解析】取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，
又GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，
又GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，
∴平面AHGD1∥平面A1EF，
故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．
4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形； ②四边形； ③五边形．
【答案】①②
【解析】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形；
按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形；
截面形状不可能为五边形，所以①②正确，
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是
【答案】正六边形；
【解析】
延长QP，CB交于V，连接RV，交BB1于S.作RM∥PQ，交C1D1于M.延长PQ，CD交于T，连接TM，交DD1于N.
6、用一个平面去截正方体，所得截面不可能的序号是
①直角三角形；②直角梯形；③正五边形；④正六边形；
【答案】①②③
【解析】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：①②③
7、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
【解析】作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.
②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.
③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.
④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面．
8、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
【解析】作法：(1)连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.
(2)连接EF交AB于T，交AD于S.
(3)连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面．
带着如下【问题】思考、理解与应用
利用立体几何的有关定理、公理确定截面的形状
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.
利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键；作截面应遵循的三个原则
1、过同一平面上的两点可引直线；
2、凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3、凡是相交的平面都要画出它们的交线．
例1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
【提示】；
【解析】
【说明】本题考查了三种画截面的基本方法；
同时与分类讨论进行了交汇；
例2、E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，
则过A、E、F三点的截面的图形是 .
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】截面问题无法作出图形及找到基本量；在截面问题中，通常出现的痛点：一是无法作出截面的图形，二是在涉及截面的运算时，找不到基本量，无法进行计算．在解决此类问题时，利用平面的性质确定截面是解决问题的关键。
例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的序号是
①截面形状可能为正三角形
②截面形状可能为正方形
③截面形状可能为正六边形
④截面形状可能为五边形
例4、如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A P Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形
D．当时，的面积为
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
3、正方体中的基本截面类型
1、一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
2、一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，
点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形； ②四边形； ③五边形．
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是
6、用一个平面去截正方体，所得截面不可能的序号是
①直角三角形；②直角梯形；③正五边形；④正六边形；
7、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
8、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
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带着如下【问题】思考、理解与应用
利用立体几何的有关定理、公理确定截面的形状
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面；截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.
利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键；作截面应遵循的三个原则
1、过同一平面上的两点可引直线；
2、凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3、凡是相交的平面都要画出它们的交线．
例1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
【提示】审结论：为了明确解题方向，需明确点Q位置；审条件：解题视角寻找，
注意“点Q是棱DD1上的动点”；通过动点Q分类讨论；
【解析】由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，
截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲．(4分)
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，
如图乙．(8分)
当点Q不与点D，D1重合时，
截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)
则等腰梯形AQRB1为截面图形；
【说明】本题考查了三种画截面的基本方法；
同时与分类讨论进行了交汇；
例2、E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，
则过A、E、F三点的截面的图形是 .
【提示】注意：平面与直线都是无限的；
【答案】五边形
【解析】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，
连AP交BC于M，连AQ交A1D1于N，连接NF、ME.
则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面．
【说明】截面问题无法作出图形及找到基本量；在截面问题中，通常出现的痛点：一是无法作出截面的图形，二是在涉及截面的运算时，找不到基本量，无法进行计算．在解决此类问题时，利用平面的性质确定截面是解决问题的关键。
例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的序号是
①截面形状可能为正三角形
②截面形状可能为正方形
③截面形状可能为正六边形
④截面形状可能为五边形
【答案】①③；
【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，
所以平面α与平面A1BD平行或重合，
所以平面α与正方体的截面形状可以是正三角形、正六边形，
但不可能是五边形和四边形，故①、③正确．
【说明】作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线；
例4、如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A P Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形
D．当时，的面积为
【提示】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.
【答案】C
【解析】当时，如下图1，是四边形，故A正确；
当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：
当时，如下图3，是五边形，C错误；
当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.
故选：C
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质；
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
3、正方体中的基本截面类型
1、一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）
【答案】D；
【解析】考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D.
2、一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
【答案】C
【解析】取的中点，的中点，的中点，
连接，
易得∥且，∥且，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
又平面，平面,
由线面平行的判定定理可知，
∥平面，∥平面，即截面为四边形，
又，
所以四边形为菱形，所以选项C正确.故选：C
3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，
点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
【答案】等腰梯形
【解析】取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，
又GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，
又GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，
∴平面AHGD1∥平面A1EF，
故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．
4、用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形； ②四边形； ③五边形．
【答案】①②
【解析】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形；
按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形；
截面形状不可能为五边形，所以①②正确，
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是
【答案】正六边形；
【解析】
延长QP，CB交于V，连接RV，交BB1于S.作RM∥PQ，交C1D1于M.延长PQ，CD交于T，连接TM，交DD1于N.
6、用一个平面去截正方体，所得截面不可能的序号是
①直角三角形；②直角梯形；③正五边形；④正六边形；
【答案】①②③
【解析】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：①②③
7、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
【解析】作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.
②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.
③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.
④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面．
8、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．
【解析】作法：(1)连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.
(2)连接EF交AB于T，交AD于S.
(3)连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面．
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