第11课 一次函数的应用（1）
知识储备
1.已知一条直线经过两点，求这条直线的解析式.
2.已知一次函数的图象如图，求出它的函数关系式.
新课学习
3.（例1）已知弹簧的长度（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量（千克）的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂2千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）挂5千克重物时，弹簧有多长？
4．两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度（cm）与饭碗数（个）之间的一次函数关系式；
（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度.
5.（例2）在某地，人们发现当地温度(℃)与某种蟋蟀1分钟所叫次数之间近似为一次函数关系.下面是蟋1分钟所叫次数与温度(℃)变化情况对照表：
蟋蚌叫的次数/次 … 84 98 119 …
温度/℃ … 15 17 20 …
（1）根据表中数据确定该一次函数的关系式；
（2）如果蟋1分钟叫了63次，那么该地当时的温度大约为多少摄氏度？
6.已知摄氏温度(℃)与华氏温度(℉)之间存在下表关系：
摄氏温度(℃) … 10 20 …
华氏温度(℉) … 50 68 …
（1）华氏温度(℉)摄氏温度(℃)之间满足一次函数关系，请求出关于的函数解析式；
（2）求华氏温度41℉时摄氏温度的值.
7.（例3）某玩具厂每天生产两种玩具共60件，成本和售价如表：
成本/（元/件） 售价/（元/件）
种玩具 50 70
种玩具 35 50
设每天生产种玩具件，每天获得的利润为元：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果该玩具厂每天最多投入成本为2640元，那么每天生产多少件种玩具时，所获得利润最大，并求出这个最大利润.
8.文具店的画架每个定价为20元，水彩每盒5元，有两种优惠办法：（一）买一个画架，送一盒水彩；（二）按总价的九折付款，一美术老师欲购买画架4个，水彩若干盒（不少于4盒），设购买水彩盒付款元
（1）试求两种优惠方法中与的函数关系式；
（2）该教师购买多少盒水彩时，优惠方法（一）更省钱？
课堂总结：若题目己知一次函数关系，则设，再由题意找出2个点代入即可求出关系式；若条件没有一次函数关系，则根据题意列出函数关系式.
过关检测
9.为了保护学生的视力，课桌椅的高度是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为cm，椅子的高度(不含靠背)为cm，则应是的一次函数，下面的表中给出两套符合条件的桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度/cm 40.0 37.0
桌子高度/cm 75.0 70.0
（1）确定与的函数关系式；
（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由.
10.如图，直线分别与轴，轴相交于两点，为坐标原点，点的坐标.
（1）求的值；
（2）过线段上一点（不与端点重合）作轴，轴的垂线，垂足分别为.当矩形的周长是12时，求点的坐标.
第11课 一次函数的应用(1)
1.解：设这条直线的解析式为y=kx+b.
依题意得解得
这条直线的解析式为y=x+4.
2.解：设函数关系式为y=kx+b，
将(2，0)(0，-3).
代入得解得
∴函数关系式为y=3x-3.
3.解：(1)设这个一次函数关系式为y=kx+b.
依题意得 解得
∴这个一次函数关系式为y=0.6x+6.
(2)将x=5代入y=0.6x+6中得y=0.6×5+6=9，
∴5千克重物时弹簧有9cm长.
4.解：(1)设y=kx+b，
由图得解得
∴一次函数关系式为y=2.25x+1.5.
(2)将x=12代入y=2.25x+1.5中得y=2.25×12+1.5=28.5，
桌面上有12个饭碗时，高度为28.5cm
5.解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b.
将x=84，y=15代入得15=84k+b，
将x=98，y=17代入得17=95k+b，
联立方程解得
∴一次函数关系式为y=x+3.
(2)当x=63时，y=×63+3=12
∴该地当时的温度大约为12℃.
6.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)
把x=10，y=50； x=20，y=68分别代入得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=1.8x+32
(2)当y=41时，
即1.8x+32=41，
解得x=5
∴华氏温度达到41°F时摄氏温度的值为5℃.
7.解：(1)由题意，得
y=(70-50)x+(50-35)(60-x)
=20x+15(60-x)
=5x+900
∴y与x之间的函数关系式为
y=5x+900；
(2)50x+35(60-x)≤2640，
解得x≤36，
∴h=5>0，y随x的增大而增大
∴当x=36时，y取得取大值，y=5×36+900=1080.
∴当每天生产A种玩具最多36件时，所获利润最大，最大是1080元.
8.解：(1)方案一：
y=4×20+5(x-4)=5x+60，
方案二；
y=0.9×(4×20+5x)=4.5x+72.
(2)由题意，得5x+60<4.5x+72，
解得x<24.
∴当4≤x<24时，方案一更优惠.
9.解：(1)根据题意，设y=kx+b，将x=40，y=75代入得40k+b=75.
将x=37，y=70代入可得37k+b=70，
联立方程
解得k=，b=
故y与x的函数关系式为y=x+
(2)将x=42.0代人解析式可得
y=70+≈78.3>78.2，
所以它们不是配套的.
10.解：(1)∵直线y=kx+8经过A(4，0)
∴0=4k+8
∴k=-2
(2)∵点Р在直线y=-2x+8上，设p（t，-2t+8）
∴PN=t，PM=-2n+8，
∵四边形PNOM是长方形，
∴C=(t-2t+8)×2=12.
解得t=2.
∴点Р的坐标为(2，4).第12课 一次函数的应用（2）
新课学习
1.（例1）某学校一电热淋浴器水箱的水量(升)与供水时间(分钟)的函数关系如图所示.
（1）当时，求与的函数解析式；
（2）经过多少分钟后水箱有水70升？
2.某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用(元)是行李质量(千克)的一次函数，其图象如图所示.
求：（1）与之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的千克数.
3.（例2）妈妈到超市买菜，超市某青菜正在打折促销，购买10斤以上，按标价打折优惠，买该青菜所花费的钱数(元)与青菜的重量(斤)之间的关系如图所示.
（1）请分别求出和时与x的函数关系式；
（2）在这个超市买20斤青菜要花费多少钱？
（3）打折前后每斤青菜分别是多少钱？
4．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制订了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费(元)是用水量(吨)的一次函数，其函数图象如图所示.
（1）请分别求出和时与的函数关系式；
（2）若某用户该月交水费12.8元，求该户用了多少吨水.
过关检测，
第1关
5.某市出租车计费方法如图所示，(km)表示行驶里程，(元)表示车费，请你根据图象解答下面的问题：
（1）出租车的起步价是 元；
（2）当时，求与之间的函数解析式；
（3）某乘客有一次乘该出租车的车费为40元，求这，位乘客所乘该出租车的行驶里程.
6.某生物小组观察—种植物的生长情况，得到植物高度(cm)与观察时间(天)的关系，并画出如图的图象（是线段，直线平行于轴）.
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
（2）求直线的解析式，并求该植物最高为多少厘米？
第2关
7.某优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间符合一次函数关系，如图所示.
（1）求与的函数关系式；
（2）某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为40天，若以18元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批蜜柚？请说明理由.
8.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两常数，容器内的水量(单位：L)与时间(单位：min)之间的关系如下图所示.
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）当时，求关于的函数解析式；
（3）求每分钟进水，出水各多少升.
第12课 一次函数的应用(2)
1.解：(1)设y=kx+b，
∵经过(10，50)，(50，100)
∴∴
∴.y=x+
(2)当y=70升时，70=x+∴x=26
.2.解：(1)设y=kx+b，
∵经过(60，6)，(80，10)，
∴∴
∴y=x-6.
(2)当y=0时，x-6=0
∴x=30.
2(0≤x≤10)，
3.解：(1)
.(2)×20+6=34(元).
(3)打折前每斤2元，打折后每斤元.
4.解：(1)
(2)当y=12.8元时，12.8=1.6x-1.6，
∴x=9.
5.解：(1)8
(2)设y=k+b，由题意得
解得
(3)40元>8元
当y=40时
40=2x+2
x=19.
答：这位乘客所乘该出租车的行驶里程为19千米.
6.解：(1)50天
(2)设AC的解析式为y=kx+b，
∵经过(0，6)，(30，12)，
∴解得
∴y=x+6
当x=50时，ymax=16
∴该植物最高为16厘米.
解：(1)设y=kx+b，
则
解得
∴y=-10x+300
(2)当x=18时，
y=-10×18+300=120，
120x40=4800>4500.
∴在40天内能销售完这批蜜柚.
8.解：(1)y=5x(0≤x≤4).
(2)设解析式为y=kx+b，
∵经过(4，20)，(12，30)
∴
解得
∴y=x+15
(3)进水：20÷4=5(升)，
设每分钟出水m升，
则5×8-8m=30–20
∴m=
∴每分钟进水5升，出水升.第13课 一次函数与方程、不等式
新课学习
1.（例1）（1）已知方程的解为 ，
（2）直线与轴的交点坐标为 .
（3）归纳：直线与轴交点的横坐标就是方程 的解.
2.（1）若方程的解为，则直线与轴的交点坐标为 ；
（2）若直线与轴交于，则方程的解是 .
3.对比学习：如图是某市12时到24时的气温变化图，回答下列问题：
（1） 时，气温为0℃(即)；
（2）当时间满足： 时，气温在0℃以上(即)；
(3)当时间满足： 气温在0℃以下(即).
4.已知一次函数的图象如图所示：一全
（1）当 时，；
（2）当 时，；
（3）当 时，.
5．已知一次函数的图象如图所示：
（1）当 时，；
（2）当 时，；
（3）当 时，.
6.已知一次函数的图象如图所示：
（1）方程的解是 ；
（2）当 时，；
（3）不等式的解集为 .
课堂总结
对于直线
①(即)，是指函数图象在轴 的部分；
②2(即)，是指 ；
③(即)，是指 的部分.
7.（例2）如图是一次函数的图象.
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的取值范围.
8．如图是一次函数的图象.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，的取值范围是 .
过关检测
第1关
9.一次函数的图象交轴于点，则关于的方程的解是（ ）A. B.
C. D.无法求解
10.已知函数，当0时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第2关
11．如图是一次函数的图象，请根据图象写出：
（1）当时， ；
（2）当时，的取值范围： ；
（3）当函数图象在第一象限时，的取值范围： .
12.已知一次函数的图象如图所示：
（1）关于的方程的解是 ；
（2）关于的方程的解是 ；
（3）当时，的取值范围为 .
第3关
13．如图，已知一次函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）当函数图象在第一象限时，自变量的取值范围是多少？
（3）当轴上找一点，使最短，求出点的坐标.
14.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于为线段上一点，且为上动点，交于.
（1）求直线的解析式；
（2）是否存在这样的点，使？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
第13课 一次函数与方程、不等式
1.(1)x=-2 (2)(-2，0) (3)kx+b=0
2.(1)(1，0) (2)2
3.(1)20 (2)12≤x<20 (3)204.(1)=4 (2)<4 (3)>4
5.(1)=2 (2)>2 (3)<2
6.(1)x=-2 (2)>-2 (3)x≤-2
7.解：(1)y=kx+b经过(-2，0)，(0，-4)
∴
解得
y=-2x-4
(2)x<-2.
8解：(1)设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
∵图象经过点(–1，0)，(0，3)
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为y=3x+3.
(2)x<0
9.B 10.B
11.(1)3 (2)x<3 (3)012.(1)x=-4 (2)x=0 (3)013.解：(1)∵一次函数y=mx+5的图象经过点A(1，4)，
∴m+5=4，解得m=-1
∵点B(n，2)在一次函数y=-x+5的图象上
∴-n+5=2解得n=3
∴m，n的值分别是-1，3.
(2)当y=-x+5=0时，x=5，
∴一次函数y=-x+5的图象与x轴的交点坐标为(5，0).
观察函数图象可知：当0∴当函数图象在第一象限时，自变量x的取值范围是0(3)作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，此时点Р为所求的点，如图所示：
∵点A(1，4)
∴A'(1，-4).
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
将A'(1，-4)，B(3，2)代入y=kx+b，
得
解得
∴直线A'B的解析式为y=3x-7.
当y=3x-7=0时，x=
∴点P的坐标为(，0)
14.解：(1)∵直线y=-x+b经过点A(8，0)，
∴0=-8+b
∴y=-x+8.
(2)当x=0时，y=8，
∴B(0，8)
∴S△ABC=16
∴×8×AC=16，
∴AC=4，OC=4，
∴C(4，0).
设P(a，-a+8)，
∴××8=×8×4，
∴a=4或-4，
∴P(4，4)或P(-4，12).第14课 一次函数与二元一次方程组
新课学习
1.直线和的图象如图，则两直线的交点坐标为 ，解方程组
得 .
结论：
两直线的交点坐标两解析式组成的方程组的解.
2.（例1）求直线和的交点坐标.
3．求一次函数和的图象的交点坐标.
4.（例2）直线与的图象如图所示，则：
（1）当 时，；
（2）当 时，；
（3）当 时，.
5.直线 与的图象如图，则：
（1）当 时，；
（2）当 时，；
（3）当 时，.
课堂总结
对于两个函数与：
①，是指比图象高的部分；②，是指与图象的 部分；
③，是指 .
6.（例3）已知甲、乙两地相距90 km，两人沿同一公路从甲地出发到乙地，骑摩托车，骑电动车，图中分别表示离开甲地的路程(km)与时间(h)函数关系的图象，根据图象解答下列问题.
（1）比后出发几个小时？的速度是多少？
（2）分别求出的函数关系式；
（3）在出发后几小时两人相遇？
7.如图表示甲乙两船沿相同路线从港出发到港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：
（1）分别求出两船行驶的速度；
（2）请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式；
（3）问乙船出发多长时间赶上甲船？
过关检测
第1关
8.如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 .
9.直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第2关
10.如图，直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为.
（1）求点的坐标;
（2）利用图象写出当取何值时，；
（4）求的面积.
11.甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从地出发前往地，甲出发1 h后。与之间的函数图象如图所示.
（1）求关于的函数解析式；
（2）何时甲、乙两人相距30 km？
第3关
12.已知，如图一次函数与轴相交于点与轴相交于点，这两个函数图象相交于点.
（1）求出的值和点的坐标；
（2）连接，直线上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标；
（3）结合图象，直接写出时的取值范围.
第14课 一次函数与二元一次方程组
1.(1.3)
2解：联立方程解得
∴交点坐标为(2，3).
3.解：联立方程
∴解得
∴交点坐标为(-2，-5).
4.(1)=1 (2)>1 (3)<1
5.(1)=2 (2)>2 (3)<2
6.解：(1)1小时，VB=60÷3=20(km/h).
(2)设lA的函数关系式为y=kx+b，
∵经过点(1，0)，(3，90)，
∴
解得
∴lA的函数关系式为y=45x-45.
解得k=20
设lB的函数关系式为y=kx，
∵经过点(3，60)，
∴3k=60
解得k=20.
∴lB的函数关系式为y=20x.
(3)45x-45=20x，
解得x=
∴.B出发后h后与A相遇.
7.解：(1)v甲=20km/h，v乙=40km/h.
(2)设甲船行驶过程的解析式为y=kx，
∵经过点(8，160)，
∴8k=160，
解得k=20.
y甲=20x.
设乙船行驶过程的解析式为y乙=kx+b，
∵经过点(2，0)，(6，160)，
∴
解得
∴y乙=40x-80.
(3)当y甲=y乙时，20x=40x-80，
解得x=4.
∴4-2=2(h)，
乙出发2h后追上甲
8.
9.B
10.解：(1)联立直线方程
解得=
∴P(-1，-1)，
(2)当x<-1时，y1(3)S△ABP=×3×1=
11.解：(1)设y甲=kx
∵经过点(6，360)，
∴6k=360，解得k=60，
∴y甲=60x.
设y=kx+b，
∵经过点(1，0)，(5，360)
∴
解得
∴y乙=90x-90
(2)当y甲-y乙=30时，
60x-（90-90x）=30
x=2；
当y乙-y甲=30时
90x-90-60=30，
x=4.
∴2时或4时时甲乙两人相距30km.
12.解：(1)y1=kx-2经过点B(-2，0)，
∴-2k-2=0，解得k=-1，
y2=x+b经过点B(4，0)，
∴4+b=0，解得b=-4，
∴y1=-x-2，y2=x-4
联立
解得
∴A的坐标为(1，-3)
(2)S△OAC=×4×3=6，
∴S△OCP=S△OAC=2
设点Р的纵坐标为a，
∵S△OCP=×OC×=2
∴a=±
当y2==x-4时，解得x=
当y2=-5=x-4时，解得x=3
∴P的坐标为(，-)，（，）
（3）x≤1第15课 一次函数单元复习
基础练习
1.在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.且
3.若把一次函数向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A. B.
C. D.
4.一次函数的图象如图所示，则下面结论中正确的是（ ）
A. B
C. D.
5.已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.如果一次函数的图象随的增大而减小，且图象经过第三象限，那么下列函数符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
7.一次函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是 .
9.已知一次函数的图象经过点与.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标，并画出该函数的图象.
10．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费，居民每月应交水费(单位：元)是用水量(单位：t)的函数，其图象如图所示.
（1）分别写出和时，关于的函数解析式；
（2）若该月交水费9元，则用水多少吨？
提升练习
11.如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为 .
12.如图，和都是边长为2的等边三角形，且在同一条直线上，连接，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1） ；
（2）直线的解析式为： .
13.如图，过点的两条直线分别交轴于点，其中点在原点上方，点在原点下方，已知.
（1）求点的坐标；
（2）若的面积为4，求直线的解析式.
14．已知建立如图所示的直角坐标系，正方形网格中的，若小方格边长为1，
（1）判断是什么形状？并说明理由；
（2）已知点，当最小时， .
15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为．求：
（1）求的值与一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在轴上求一点使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标： .
第15课 一次函数单元复习
1.C 2.D 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.x<4
9.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b.
将(3，5)与(2，3)代入得
解得
∴一次函数解析式为y=2x-1.
(2)当x=0时，y=2×0-1=-1，
当y=0时，2x-1=0，解得x=
∴与x轴交点坐标为(，0)，与y轴交点坐标为(0，-1)，
图象如图所示.
10.解：(1)
(2)当y=9时，代入y=0.9x-0.9中，
得0.9x-0.9=9，
解得x=11.
∴该月交水费9元，用水11吨.
11.x=1
12.(1) (2)y=x
13.解：(1)在Rt△AOB中，
∴点B的坐标为(0，3).
(2)∵
∴OC=1
∴C点坐标为(0，-1).
设l2解析式为y=kx+b，
将(2，0)，(0，-1)
代入得
解得
∴l2的解析式为y=x-1.
14.解：(1)AB2=32+22=13
AC2=82+12=65
BC2=62+42=52
∵AB2+BC2=65=AC2
∴△ABC是直角三角形
(2)点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(8，4)点B关于y轴对称的坐标为B'(-2，0).
设直线B'C的解析式为y=kx+b，将B，C坐标
代入得：
解得
直线B'C的解析式为y=x+
当x=0时，解得y=
15.解：(1)∵点C在正比例函数y=x的图象上，
∴a=4，解得a=3
∵点C(3，4)，A(-3，0)在一次函数y=kx+b的图象上.
代入一次函数解析式可得
解这个方程组得
∴y=x+2
(2)把x=0代入y=x+2，
解得y=2
∴S△BOC=×2×3=3
(3)当OC是腰时，О是顶角的顶点时，
∴OP=OC，
则P的坐标为(0，5)或(0，-5)，
当OC是腰，C是顶角的顶点时，CO=CP，则P的坐标是(0，8)；
当OC是底边，P为顶角的顶点时，PO=PC，作CK⊥y轴于点K，
设P的坐标为(0，t)，在Rt△PCK中
∵PC=t，PK=4-t，KC=3，
∴(4-t)2+32=t2，
解得t=
此时P的坐标是(0，)
综上可知P的坐标为(0，5)或(0，-5)或(0，8)或(0，)
