2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.4 探索三角形相似的条件 同步练习题 （Word版，含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图：每个小网格均为正方形网格，阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD AB，则（　　）
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
3．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
4．如图∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只添加一个条件，这个条件不可能是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
7．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是（　　）
A．∠A＝∠A′＝45°38′，∠C＝26°22′，∠C′＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，B′C′＝8，A′C′＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，A′B′＝
D．AB＝AC，A′B′＝A′C′，∠A＝∠A′＝40°
8．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：
①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD AB；④AB CD＝AC BC．
其中能判定△ACD∽△ABC的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（　　）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：
①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC＝2：3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
14．如图，在正方形ABCD 中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③∠DFE＝2∠AMN；④EF2＝2BM2+2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
15．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是AB边上的一点，当AD＝　 　时，△ABC∽△ACD．
三．解答题
17．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
18．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．
19．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
参考答案
一．选择题
1．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
2．解：∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
3．解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，
故选：A．
4．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
5．解：设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
6．解：∵△ABC是等边三角形，＝，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，
设AD＝x，AC＝3x，
则BC＝3x，CD＝2x，
∵AE＝BE＝x，
∴，，
∴，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
7．解：A项满足三个角对应相等的条件；
B项满足三边对应成比例；
D项满足两边对应成比例且夹角相等；
只有C不满足任何一个条件；
故选：C．
8．解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
③∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB CF．
∵AB＝2CE，
∴CF＝，
故②正确，③错误，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，．
∴，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选：B．
10．解：如图①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．
如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2＝∠OAB，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，则∠ABO＝∠CAB，故△AOB∽△C3BA；
如图④，∠AOB＝∠BAC4＝90°，∠ABO＝∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．
故选：D．
11．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
12．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵E为CD中点，
∴CD＝2CE，即AB＝BC＝2CE，
①当∠APB＝∠EPC时，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE＝∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC＝2PC，可知PC＝CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；
④当BP：BC＝2：3时，则有BP：PC＝2：1，且AB：CE＝2：1，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故选：C．
13．解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，
∴CE＝BE，故本答案正确；
∴∠C＝∠7，
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，
∵∠8＝∠C+∠4，
∴∠C+∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE，故本答案正确；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH＝BH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，
∴CD：CG＝DE：AG，HG＝DE，
设DG＝x，DE＝2y，则GB＝x，CD＝2x，CG＝3x，
∴2x：3x＝2y：AG，
解得：AG＝3y，HG＝y，
∴AH＝2y，
∴DE＝AH，且∠EDA＝∠3，∠5＝∠1
∴△DEF≌△AHF
∴AF＝DF，故本答案正确；
EF＝HF＝EH，且EH＝BH，
∴EF：BF＝1：3，
∴S△ABF＝3S△AEF，
∵S△DEF＝S△AEF，
∴S△ABF＝3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，
∴∠5＝∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．
综上所述：正确的答案有4个．
故选：B．
14．解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH．
∵四边形ABCD是中正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△BNA和△BNC中，
，
∴△NBA≌△NBC，
∴AN＝CN，∠BAN＝∠BCN，
∵EN＝CN，
∴AN＝EN，∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，
∵∠NEC+∠BEN＝180°，
∴∠BAN+∠BEN＝180°，
∴∠ABC+∠ANE＝180°，
∴∠ANE＝90°，
∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正确，
∴∠3＝∠AEN＝45°，
∵∠3＝45°，∠1＝∠4，
∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，
∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，
∴△AFE≌△AFH，
∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正确，
∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，
∴∠AMN＝∠AFD，
∴∠DFE＝2∠AMN，故③正确，
∵∠MAN＝∠EAF，∠AMN＝∠AFE，
∴△AMN∽△AFE，
∴＝＝，
∴EF＝MN，
如图2中，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
易证△ANG≌△ANM，△GDN是直角三角形，
∴MN＝GN，
∴MN2＝DN2+DG2＝DN2+BM2，
∴EF2＝2（DN2+BM2）＝2BM2+2DN2，故④正确，
图中相似三角形有△ANE∽△BAD∽△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤错误，
故选：B．
二．填空题
15．解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，
，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
16．解：∵△ABC∽△ACD，AB＝8，AC＝6，
∴＝，即＝，
解得AD＝．
故答案为：．
三．解答题
17．证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，＝，
∴＝，
∴△ACP∽△PDB．
18．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
19．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
20．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．