2022—2023学年北师大版九年级数学上册 4.4 探究三角形相似的条件 同步练习（Word版，含解析）

北师大版 4.4 探究三角形相似的条件
一、选择题（共10小题）
1. 下列命题中，说法正确的是
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
2. 已知点 是线段 的黄金分割点，且 ，则下列比例式能成立的是
A. B. C. D.
3. 下列格点三角形中，与右侧已知格点 相似的是
A. B.
C. D.
4. 如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是
A. B. C. D.
5. 下列各组条件中，一定能推得 与 相似的是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6. 如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，即，那么 的值等于
A. B. C. D.
7. 如图，在 的正方形网格中，是相似三角形的是
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
8. 如图， 是平行四边形 的对角线 上一点， 的延长线交 于点 ，交 的延长线于点 ，图中相似三角形有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
9. 如图，点 是线段 的中点，，下列结论中，说法错误的是
A. 与 相似 B. 与 相似
C. D.
10. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ，则点 即是线段 的黄金分割点．若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定的
二、填空题（共5小题）
11. 在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点 ，， 是 网格中的格点（每个小正方形的边长为 ），在网格中能画出的与 相似且面积最大的格点三角形的面积为 ．
12. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是 ．
13. 已知线段 ，点 是 的黄金分割点，且 ，那么 的长度是 （结果保留根号）．
14. 如图，已知一张三角形纸片 ，，，，点 在 边上．如果过点 剪下一个与 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设 ，那么 的取值范围是 ．
15. 在每个小正方形的边长为 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知 是 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 ．
三、解答题（共6小题）
16. 如图，点 ，， 分别是 三边的中点．
求证：．
17. 如图，在 中，，，．在 中，，，．求证：．
18. 如图是一张矩形纸片，其中 ，，怎样折叠这张纸片，才能找到 边上的黄金分割．
19. 如图，点 在平行四边形 的边 上，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
（1）求证：．
（2）当 ，且 时，求 的长．
20. 已知：如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上，，．
（1）求证：；
（2）延长 ， 交于点 ，求证：．
21. 阅读理解：
如图①，在四边形 的边 上取一点 （点 不与点 ， 重合），连接 ，，可以把四边形 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点 叫做四边形 在边 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点 叫做四边形 在边 上的强相似点．
解决问题：
（1）如图①，在四边形 中，已知 ，试判断点 是不是四边形 在边 上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形 中，，，且 ，，， 四个顶点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 ）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形 在边 上的一个强相似点 ．
答案
1. D
【解析】A．所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
B．两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意；
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意；
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意．
2. C
【解析】根据黄金分割定义可知： 是 和 的比例中项，即 ，
．
3. A
【解析】 的三边长分别为：，
，，
，
为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别：，，，
，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
．
4. C
5. C
【解析】A、 和 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、 ， 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由 可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出 与 相似，故此选项正确；
D、 且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误．
6. D
【解析】由于 为线段 的黄金分割点，
且 ，
则 ．
7. C
【解析】设小正方形的边长为 ．
①中的三角形的三边长分别是 ，，；②中的三角形的三边长分别是 ，，；③中的三角形的三边长分别是 ，，；④中的三角形的三边长分别是 ，，，
①与③中的三角形的三边成比例，且比为 ，
①与③中三角形相似．
8. A
【解析】 四边形 是平行四边形，
，，，
，
，，
，
，，
，
则图中相似三角形有 对，它们分别是：，，，，，，
故选：A．
9. D
【解析】，，
，
又 ，
，
故A选项正确；
，
，
为 的中点，
，
，
又 ，
，
故B，C选项正确；
，
，
若 ，则 ，
，
根据现有条件无法判断 ，故 ，
故D选项不正确．
故选：D．
10. C
【解析】 点 是线段 的黄金分割点，
，
，
，
．
11.
【解析】如图， 即为能画出的最大的三角形．
．
12.
13. 或
【解析】因为点 是线段 的黄金分割点（），
所以 ．
14.
【解析】如图所示：①过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，
，，
此时，点 在线段 上，且不能与点 、点 重合，
，即 ；
②过点 作 ，交 于点 ，
则 ，
此时，点 在线段 上，且不能与点 重合，
，即 ；
③过点 作 ，交 于点 ，
，
，
当点 与点 重合时， 取得最小值，
，
，
，
，
，
点 不能与点 重合，
，即 ；
综上可得 的取值范围为：．
15.
【解析】因为在 中，，，
所以 ，，
所以与 相似的格点三角形的两直角边的比为 ．
若该三角形最短边长为 ，则另一直角边长为 ，
但在 网格图形中，最长线段长为 ，
此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 的线段，故最短直角边长应小于 ，
在图中尝试，可画出 ，， 的三角形，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以此时 的面积为 ，
为面积最大的三角形，其斜边长为 ．
16. ，， 分别是 三边的中点，
，， 分别是 的中位线，
，，，
，
．
17. 在 中，
，，，
，
．
在 和 中，
，
．
18. 如图，在矩形 中，连接 ，在 上截取 ．取 中点 ，在 上截取 ，
则点 就是线段 的黄金分割点．
理由如下：
因为四边形 是矩形，
所以 ，．
因为 ，
所以 ．
所以 ，即 ．
所以点 就是线段 的黄金分割点．
19. （1） 四边形 是平行四边形，
．
．
又 ，
．
（2） ，
．
四边形 是平行四边形，
．
．
20. （1） ，
，
，
，
，
．
（2） ，
，
，，
，
，
，
为公共角，
，
，
．
21. （1） 点 是四边形 在边 上的相似点．
理由：如图所示，
，
，，
，又 ，
，
点 是四边形 在边 上的相似点．
（2） 答案不唯一，如图所示．