2022-2023学年苏科版九年级数学上册 2.4圆周角 同步练习题 （Word版，含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　）
A．4 B．8 C．4 D．4
2．如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
3．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交点E和点F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　）
A．12° B．22° C．24° D．44°
5．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（　　）
A．70° B．65° C．50° D．45°
7．已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE DE
的值为（　　）
A．6 B．7 C．12 D．16
二．填空题
8．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC等于 　 　度．
9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，∠ADC＝130°，则∠BAC＝　 　°．
10．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝　 　．
11．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝100°，则∠BOD＝　 　度．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为　 　．
13．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝　 　°．
14．如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为 　 　（结果保留π）．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　 　°．
16．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 　 　．
17．如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝　 　．
18．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　．
19．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　 　．
三．解答题
20．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
21．已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．
（1）求证：∠D＝30°；
（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．
22．如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．
23．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
∵AC＝4，
∴BC＝4．
故选：A．
2．解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
3．解：在△ABE中，∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣∠ABE﹣40°＝140°﹣∠ABE①，
在△ADF中，∠A＝180°﹣∠ADF﹣∠F＝180°﹣∠ADF﹣60°＝120°﹣∠ADF②，
①﹣②，得0＝20°﹣∠ABE+∠ADF，
即∠ABE﹣∠ADF＝20°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE+∠ADF＝180°，
∴∠ABE＝100°，∠ADF＝80°，
∵∠E＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
故选：B．
4．解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，
∴∠AOC＝156°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故选：C．
5．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
6．解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
7．解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，
EF＝AE+AF＝3+4＝7，
由相交弦定理可得，
BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故选：B．
二．填空题
8．解：∵OA⊥BC，
∴∠OEB＝90°，
∵∠OBC＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°，
∴的度数是70°，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴＝，
∴的度数是70°，
∴圆周角∠ADC＝＝35°，
故答案为：35．
9．解：连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝130°，
∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80．
10．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴当CD是直径时，CD达到最大值，
连接OA，OB，
∵OA＝OD，∠ADC＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB和△BOC都是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∴CD＝2OC＝6，
故答案为：6．
11．解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝80°，
∴∠BOD＝2∠A＝160°，
故答案为：160．
12．解：∵∠CBE＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝＝65°，
故答案为：65°
13．解：设∠A为x，则∠B为2x，∠C为3x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
则x+3x＝180°，
解得，x＝45°，
∴∠B＝2x＝90°，
∴∠D＝90°，
故答案为：90．
14．解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，
∴+的长度＝×2π×1＝，
故答案为：π．
15．解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
16．解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如图：
∵∠BDC＝∠EDC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，
∴CD＝1，
∴OD＝，
∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，
∵DE＝DB，
∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE＝CB＝CA，
同E在OB上可知此时OE＝2﹣2，C（，1），
∴点E的横坐标为：﹣1，点E的纵坐标为：3﹣，
∴E（﹣1，3﹣），
∵B（2，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
∴∠EBD＝45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB＝45°，
∴∠BDE＝2∠CDB＝90°，
∵E（﹣1，3﹣），
∴D（，0），
∵C（，1），
∴CD＝，
观察图形可知：CD的取值范围1＜CD＜．
故答案为：1＜CD＜．
17．解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，
∴CE DE＝AE BE，
∴1×3＝AE2，
解得：AE＝，
∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，
故答案为：2．
18．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
19．解：由相交弦定理得，PA PB＝PC PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP＝，
故答案为：．
三．解答题
20．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
21．（1）证明：∵∠ABC＝30°，
又∵∠D＝∠ABC，
∴∠D＝30°；
（2）解：结论：AF＝2CH．
理由：延长DC到T，使得CT＝CQ．
.∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，
∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，
∵OA＝AC，DF＝AG，
∴OF＝CG，
在△CGT和△OFA中，
，
∴△CGT≌△OFA（SAS），
∴AF＝GT，
∵OH＝HG，OC＝CT，
∴CT＝2CH，
∴AF＝2CH．
22．解：过O作OD⊥BC于D，则∠ODP＝∠ODB＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠POD＝∠OPB＝45°，
∴PD＝OD，
设PD＝OD＝x，
∵直径AB＝2，
∴OB＝OA＝，
∵OD⊥BC，OD过圆心O，
∴BD＝CD，
∵PC＝1，
∴BD＝CD＝x+1，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2，
即（x+1）2+x2＝（）2，
解得：x1＝2，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），
即BD＝CD＝2+1＝3，
即BC＝3+3＝6．
23．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．