2022—2023学年北师大版九年级数学上册 6.2 反比例函数的图象与性质同步练习（Word版，含解析）

北师大版 6.2 反比例函数的图象与性质
一、选择题（共11小题）
1. 如图，在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数 图象上的一点，则 的面积为
A. B. C. D.
2. 在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ，，，若 ，则 ，， 的大小关系为
A. B. C. D.
3. 如图，矩形 上，点 ， 分别在 ， 轴上，点 在反比例 位于第二象限的图象上，矩形面积为 ，则 的值是
A. B. C. D.
4. 将 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度所得图象如图所示，则所得图象的解析式为
A. B. C. D.
5. 已知函数 中， 随 的增大而减小，那么它和函数 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是
A. B.
C. D.
6. 如图，点 在反比例函数 的图象上，且横坐标为 ．若将点 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点 ．则在第一象限内，经过点 的反比例函数图象的解析式是
A. B.
C. D.
7. 函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
8. 如图，点 在反比例函数 （）的图象上， 于点 ， 的面积为 ，则 的值为
A. B. C. D.
9. 函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
10. 一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限内有两个不同的交点，那么下列判断正确的是
A. ， B. ， C. ， D. ，
11. 如图所示，矩形 的顶点 和对称中心均在反比例函数 （，）的图象上，若矩形 的面积为 ，则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
12. 对于函数 ，当 时， ，这部分图象在第 象限．
13. 如图，反比例函数 的图象记为曲线 ，将 向左平移 个单位长度，得到曲线 ，则 平移至 处所扫过的面积是 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，对于双曲线 和双曲线 ，如果 ，则称双曲线 和双曲线 为“倍半双曲线”，双曲线 是双曲线 的“倍双曲线”，双曲线 是双曲线 的“半双曲线”．如图，已知点 是双曲线 在第一象限内的任意一点，过点 与 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 ，那么 的面积是 ．
15. 我们知道，一次函数 的图象可以由正比例函数 的图象向上平移 个长度单位得到．将函数 的图象向 平移 个长度单位得到函数 的图象．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， 在 轴的正半轴上，，过点 的反比例函数 的图象与 交于点 ，则 的面积为 ．
三、解答题（共7小题）
17. 如图所示是一位学生所画的一个反比例函数的图象，你认为这个图象正确吗
18. 反比例函数 在一象限上有两点 ，．
（1）如图 ， 轴于 ， 轴于 ，求证： 的面积与 面积相等；
（2）如图 ，若点 ， 且 的面积为 ，求 值．
19. 如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，与反比例函数 的图象在第一象限内交于点 ， 轴， 轴，垂足分别为点 ，，当矩形 与 的面积相等时，求 的值．
20. 先化简再求值：，其中 使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限．
21. 我们规定：形如 （，， 为常数，且 ）的函数叫做“奇特函数”，当 时，“奇特函数” 就是反比函数 ．
（1）若矩形的两边长分别是 和 ，当这两边长分别增加 和 后，得到的新矩形的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并判断这个函数是否为“奇特函数”．
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，点 为原点，矩形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，， 是 的中点，连接 ， 交于点 ，“奇特函数” 的图象经过 ， 两点．
① 求这个“奇特函数”的表达式．
② 把反比例函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度就可得到中所得“奇特函数”的图象，过线段 的中点 的一条直线 与这个“奇特函数”的图象交于 ， 两点，若以 ，，， 为顶点组成的四边形面积为 ，请直接写出点 的坐标．
22. 反比例函数 在第一象限上有两点 ，．
（1）如图 ， 轴于 ， 轴于 ，求证： 的面积与 面积相等；
（2）如图 ，若点 ， 且 的面积为 ，求 的值．
23. 定义：如果一个 与 的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是 与 的“反比例平移函数”．例如： 的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到 的图象，则 是 与 的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是 ，，当这两边分别增加 ， 后，得到的新矩形的面积为 ，求 与 的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点 为原点，矩形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，．点 是 的中点，连接 ， 交于点 ，“反比例平移函数” 的图象经过 ， 两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 ．
（3）在（2）的条件下，已知过线段 中点的一条直线 交这个“反比例平移函数”图象于 ， 两点（ 在 的右侧），若 ，，， 为顶点组成的四边形面积为 ，请求出点 的坐标．
答案
1. B
【解析】 点 是反比例函数 图象上的一点，
由反比例函数的几何意义可知：
．
2. C
【解析】，
反比例函数图象在第一、三象限，
，
，，
．
3. C
4. C
【解析】由“左加右减”的原则可知， 的图象向右平移 个单位长度所得函数图象的解析式是 ．
由“上加下减”的原则可知，函数 的图象向上平移 个单位长度所得函数图象的解析式是 ．
5. D
6. D
【解析】 点 在反比例函数 的图象上，且横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
将点 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点 ．
点 的坐标为 ，
经过点 的反比例函数图象的解析式为 ．
7. C
8. C
【解析】依据比例系数 的几何意义可得， 的面积 ，
即 ，
解得，，
由于函数图象位于第一、三象限，
故 ．
9. C
10. B
11. B
【解析】设矩形的对称中心为 ，连接 ，，作 于点 ，
点 是矩形 的对称中心，
，．
设 ，，
矩形 的面积为 ，
，
，
．
，
，可得 ，
又由题图知 ，
．
故选B．
12. ，一
13.
【解析】如图所示， 平移至 处所扫过的面积是 ．
14.
【解析】设直线 与 轴交于点 ，
由题意可知： 的“半双曲线”为：，
点 在双曲线 上，
，
点 在双曲线 上，
，
．
15. 左，
【解析】函数 的图象可以看成是由反比例函数 的图象向左平移 个单位长度得到．
16.
【解析】连接 ，作 于 ，
点 在反比例函数 的图象上，
．
四边形 为菱形，
，
又 ，
为等边三角形，
．
四边形 为菱形，
，
．
17. 错．反比例函数的图象的两支不能与 轴和 轴相交．
18. （1） 设 ，，代入 中，得 ，
所以 ，，
所以 ．
（2） 由题意 ，
所以 ，，
作 轴于 ， 轴于 ．
因为 ，，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
19. 矩形 的顶点 在 的图象上，
，
把 代入 ，
，
，
把 代入 ，
，
，
，
由题意得，，解得，，（舍去），
．
20. 反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，
，
，
21. （1） 由题意得 ，
因为 ，
所以 ．
所以 ．
根据定义， 是“奇特函数”．
（2） ；，，，．
【解析】① 由题意得，，易得：直线 的函数表达式为 ，直线 的函数表达式为 ．
由 得
所以点 ，将点 代入函数 中，得 整理得 解得
所以“奇特函数”的表达式为 ．
② ，，，．
22. （1） 设 ，，
代入 中，得 ，
，，
．
（2） 由题意 ，
，，
作 轴于 ， 轴于 ，
，，
，
解得 （舍弃），
．
23. （1） ，
向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ．
是“反比例平移函数”．
（2） ；
【解析】由题意可得 ，，
直线 ：，
直线 ：，
，
代入 ，
可得“反比例平移函数”的解析式为：，
反比例函数的解析式为：．
（3）
如图，当点 在点 左侧时，设线段 的中点为 ，由反比例函数中心对称性，四边形 为平行四边形．
四边形 的面积为 ，
，
，．
是 的“反比例平移函数”，
，．
过 作 轴的垂线，与 ， 轴分别交于 ， 点．
．
设 ，
即
，
点 的坐标为 ．
当点 在点 右侧时，同理可得点 的坐标为 ．