2022—2023学年北师大版九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习（Word版，含解析）

北师大版 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、选择题（共15小题）
1. 如图，在 中，，， 于点 ，则 与 的周长之比为
A. B. C. D.
2. 下列条件中可以判定 的是
A. ， B. ，
C. D.
3. 如图，已知在 中，点 在边 上，那么下列条件中不能判定 的是
A. B.
C. D.
4. 下列四个命题中，真命题的个数是
（）底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；
（）底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
（）底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
（）腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
A. B. C. D.
5. 甲三角形的三边长分别为 ，，，乙三角形的三边长分别为 ，，，则这两个三角形
A. 一定不相似 B. 不一定相似
C. 一定相似 D. 无法判断是否相似
6. 已知 的三边长分别是 ，，， 的三边长如以下四个选项所列，若要使 ，则 的三边长分别是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
7. 如图，在 中，，，，将 沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
8. 一个铝质三角形框架的三条边长分别为 ，，，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 ， 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，则截法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 下列格点三角形中，与下面已知格点 相似的是
A. B.
C. D.
10. 如图， 中，，，．将 沿图示中的虚线剪下，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
11. 若 和 满足下列条件，其中能使 与 相似的是
A. ，，，，，
B. ，，，，，
C. ，，，，，
D. ，，，，，
12. 如图， 中，，，．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
13. 如图， 是平行四边形 的对角线 上一点， 的延长线交 于点 ，交 的延长线于点 ，图中相似三角形有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
14. 如图，，，，，，，，， 都是方格纸的格点，为使 ，则点 应是 ，，， 点中的
A. B. C. D.
15. 如图，在 中，，，，将 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题）
16. 如图，已知正方形 的顶点 ， 在 的边 上，顶点 ， 分别在边 ， 上，如果 ， 的面积为 ，那么这个正方形的边长是 ．
17. 在 中，，在 中，，则 与 ．（填“相似”或“不相似”）
18. 如图，在 中， 为 上一点，在下列四个条件中：① ；② ；③ ；④ ．其中能满足 和 相似的条件是 ．
19. 如图，在矩形 中，，点 在 边上，连接 ．如果将 沿直线 翻折，点 恰好落在线段 上，那么 的值为 ．
20. 如图，
因为 ，，，
，
所以 ．
21. 如图，正方形 的边长为 ，点 为 的中点，点 ， 分别在边 ， 上（点 不与点 ， 重合，点 不与点 ， 重合），连接 ，，若以 ，， 为顶点的三角形与 相似，且 的面积为 ，则 的长为 ．
三、解答题（共5小题）
22. 如图，根据所给条件证明图中三角形相似．
23. 如图①，已知格点 （顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形），请在图②③④中的 的网格中各画一个互不全等的格点三角形，使它们都和 相似．
要求：（）其中有一个相似比为 ；（）其中有一个面积为 ．
24. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，且 ，，，．求证：．
25. 如图，，， 分别是 的三边 ，， 的中点．求证：．
26. 如图所示，在矩形 中，，，， 分别是 ， 上的点．若 自点 出发，以 的速度沿 方向运动，同时 自点 出发，以 的速度沿 方向运动，则经过几秒， 与 相似
答案
1. A
2. A
【解析】A选项：对应边成比例，且夹角相等，所以A可判定其相似，故A正确；
B选项： 不是 ， 的夹角，故B错误；
C选项，D选项：只有对应边成比例，角不确定，故CD错误．
3. A
【解析】，而 ， 不一定相等，不能判断 ，故A符合题意；
，
，而 ，
，故B不符合题意；
，，
，故C不符合题意；
，，
，故D不符合题意；
故选A．
4. C
【解析】（） 两个等腰三角形的两腰相等，
底边和腰对应成比例的两个等腰三角形一定相似；故（）是真命题．
（）如图，
和 是等腰三角形，，，
则 ，，
，
，
，
，
，
，
底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，故（）是真命题．
（）同理，底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，故（）是真命题．
（）如图，
和 是等腰三角形，，，
，但此时两个三角形不相似，故（）是假命题．
5. C
6. B
7. D
【解析】A项和B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故A，B不符合题意；C项，，两三角形中两条边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故C不符合题意．
8. B
【解析】由三角形的三边关系可知，只能以长为 的铝材为一边，从长为 的铝材上截下两段．
设截下的两段长分别为 ，（），
由题意得 或 （注： 不可能是最小边长），
由①得 ，，符合题意；
由②得 ，，，不合题意，舍去．
截法只有一种，故选B．
9. A
10. C
【解析】选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等，可得阴影三角形与原三角形相似；选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是 ，且两边的夹角相等，所以两个三角形也是相似的，故选C．
11. A
【解析】A中，
，，，
．
与 相似．
易知B，C，D不正确，故选A．
12. C
13. A
14. B
15. B
【解析】选项A，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故A不合题意；
选项B，因为 且 ，所以阴影三角形与原三角形不相似，故B符合题意；
选项C，因为 ，，，所以阴影三角形与原三角形相似，故C不合题意；
选项D，因为 ，，所以阴影三角形与原三角形相似，故D不合题意．
故选B．
16.
17. 相似
18. ①②③
19.
20. ，
21. 或
【解析】，
只有 和 两种情况．
当 时，，即 ，
此时 ，
，
（经检验满足题意）．
当 时，，即 ，
此时 ，
，
（经检验满足题意）．
综上所述， 的长为 或 ．
22. ，，
．
又 ，，
，．
．
23. 答案不唯一．如图所示：
24. ，，，．
，，
，．
，
又 ，
．
25. 由 ，得 ．
26. 设经过 ， 与 相似，则 ，，
四边形 是矩形，
．
①当 时，，解得 ．
②当 时，，解得 ．
故经过 或 ， 与 相似．