2022—2023学年北师大版八年级数学下册 第六章 平行四边形中点之倍长中线 专项练习（Word版，含解析）

北师版八年级下册第六单元平行四边形中点之倍长中线专项练习
中点中线可倍长，8字全等来帮忙
定 义 示例剖析
一、例题讲解
1、已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF
2、已知，如图，在中，，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作交AE于点F，DF＝AC． 求证：AE平分
3、如图，AB∥CD，M是BC的中点，DM平分∠ADC，DM⊥AM。求证：AM平分∠DAB。
4、如图，已知在中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，，求证：．
5、在中，，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使．求证：．
6、已知AD为的中线，在AB上有一点E，AC上有一点F，连接DE、DF，且，求证：．
7、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
经典例题
8、⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是 ．
9、⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是 ．
10、如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________
11、如图，为AD上的中点，则BE＝______．
12、已知为的中线，、的平分线分别交于、交于．求证：．
13、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．
14、如图所示，在中，为中线，，求的度数．
15、已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
16、如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
17、已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．
18、如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若AC=，AE=，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
19、已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
答案解析
一、例题讲解
1、已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF
解析：延长中线AD到点G，使得DG＝AD，联结BG，可证 DBG≌ DCA（SAS），得到BG＝AC，∠G＝∠CAD，因为BE＝AC，所以BE＝BG，从而得等腰三角形BEG，利用角的等量代换，得到∠FAE＝∠AEF从而得证。
2、已知，如图，在中，，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作交AE于点F，DF＝AC． 求证：AE平分
解析：延长中线AE到点G，使得GE＝AE，联结DG，可证 DEG≌ CEA（SAS），得到DG＝AC，∠G＝∠CAE，因为DF＝AC，所以DF＝DG，从而得等腰三角形DGF，利用角的等量代换，得到∠CAE＝∠BAE从而得证。
3、如图，AB∥CD，M是BC的中点，DM平分∠ADC，DM⊥AM。求证：AM平分∠DAB。
证明：延长DM和AB交于点N，证明△DCM≌△BNM（ASA或AAS），得到DM＝MN再证明△ADM≌△ANM（SAS）
4、如图，已知在中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，，求证：．
延长AD到G，使，连接BG．∵，，，∴，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．
5、在中，，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使．求证：．
延长CE到F，使，连接BF．∵CE是AB的中线，∴． 在和中
，∴，∴，∴
在和中，∴，∴．
6、已知AD为的中线，在AB上有一点E，AC上有一点F，连接DE、DF，且，求证：．
延长FD到N，使，连接BN、EN．易证，∴，又∵，利用SAS证明，∴，在中，，∴．
7、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD
由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，
∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE
经典例题
8、⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是 ．
①正确．∵，，∴AD=2AC．②、④正确．延长到，使，连接．∵是的中线，∴．在和中
∴∴，
∴
在和中
∴∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．
③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．
9、⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是 ．
点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．
10、如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________
解：延长、交于点，连接FC，∵平行四边形中，∴，,,
∴，，,又∵点为边中点，得,
∴≌(ASA)，，∴，∴，
∴,∴,∵,,,,∴,∴,∴,
∴,故答案为：.
11、如图，为AD上的中点，则BE＝______．
解：延长BE交CD于点F,∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，
又E为AD上的中点，∴BE=EF,所以.∴
∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.
12、已知为的中线，、的平分线分别交于、交于．求证：．
延长到，使，连接、．易证，∴，
又∵、的平分线分别交于、交于，∴，
利用证明，∴，在中，，∴．
13、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．
解：延长到，使，连接∵，，∴，∴，又∵，∴∴，∴，∴．
14、如图所示，在中，为中线，，求的度数．
解：延长AD至E，使，连结，∵BD=CD，∠ADB=∠EDC∴，∴EC=AB，，∵AB=2AD，∴AB=AE=EC∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.
15、已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
解证明：延长ED至G，使，连结GC， ∵在中，为中线，∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中， ∴，，，
，，．又，∴，
∴.
16、如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
解证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴∠BEG=∠CEH，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，∴∠BGE=∠FGA=∠H，
∴BG=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，
∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．
17、已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．
解证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，
∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，
∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.
18、如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若AC=，AE=，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
解（1）解：∵AB＝AC，AC＝，∴AB＝，∵BE⊥AD，AE＝，
∴在Rt△AEB中，；
（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，∴∠EBD＝∠D ＝45°，∴BE＝DE＝，
∴AD＝AE+DE＝，∴；
（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，
∵点F为BE的中点，∴EF＝BF，在△AEF和△MBF中，
∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，∴AE∥MB，∴∠EAB+∠ABM＝180°，∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，
又∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠ABM＝∠ACD．又∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，∴∠1＝∠2．
在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，
又∵AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．
19、已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
解延长至，使，连结、，，，，
，，，，，
，又，，，.