2021-2022学年湖南省各地湘教版八年级数学上册2.4线段的垂直平分线期末试题分类选编(Word版含答案)

2.4 线段的垂直平分线
1．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则的周长为（ ）
A．8 B．18 C．13 D．21
3．（2022·湖南益阳·八年级期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
4．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖南娄底·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南永州·八年级期末）下列命题：①任何实数的0次幂都等于1；②有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；③三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三条边的距离相等；④若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形．正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上
9．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．21
10．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）.
A．50° B．40° C．30° D．20°
11．（2022·湖南益阳·八年级期末）如图，在中，已知，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，，，则（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
13．（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为(　 　)
A．90° B．84° C．64° D．58°
14．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·湖南·安仁县思源实验学校八年级期末）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
16．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
A．20° B．30° C．45° D．60°
17．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．18 D．20
18．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
19．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
20．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=12，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BN=8，则CN的长为________．
21．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．
22．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线MN与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD，则______度．
23．（2022·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点D，E，BE=6，则△BCE的周长为__________．
24．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等腰中，A，∠BA48°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是______．
25．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，△ABC的周长为22cm，AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于D、E，且cm，则△ABD的周长为______cm．
26．（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于________cm．
27．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，中，的垂直平分线交于的周长为18，则_______．
28．（2022·湖南永州·八年级期末）到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的_____上．
29．（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．
30．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．
31．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，根据小明尺规作图的痕迹可以得出∠DBC＝_____度．
32．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
33．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________
34．（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室八年级期末）已知：如图ABC中，AB=AC=10，BC=8，∠A=39°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD．
求：（1）∠DBC的度数；
（2）BDC的周长．
35．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，，垂足为D，，垂足为E．

(1)求证：（请将下面的证明过程补充完整）
证明：连接BC
∵点D，E分别是AB，AC的中点，，，（已知）
∴BE垂直平分AC，CD垂直平分AB（线段垂直平分线的定义）
∴，________（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴（________________）．
(2)若，△ACD的面积为，求CD的长．
36．（2022·湖南益阳·八年级期末）如图，已知线段a和∠MAN（点B是∠MAN的边AN上的一点）．
(1)作图（保留作图痕迹，不要求写作法）：
①在射线AM上取点C，使BC＝a；
②作线段AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，
③作线段AC的垂直平分线FG交BC、AC、DE于点F、G、O
(2)若a＝15，根据上述作图求AEF的周长．
37．（2022·湖南湘西·八年级期末）在中，作出BC边上的高，AC边上的中线（不写作法，保留作图痕迹）．
38．（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
39．（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，在中，，，点、分别为、中点，，，若，求的长．
40．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．
41．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为25cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数 ．
42．（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，在中，AB=AC．
(1)用尺规完成作图：作AB的垂直平分线交AC于E，垂足为D，连接BE．（不写作法，保留作图痕迹）.
(2)若，求的度数.
(3)若的周长为24，AB=14，求BC的长．
参考答案：
1．D
【解析】根据三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等即可选择．
根据线段垂直平分线的性质，集贸市场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选D．
本题考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
2．C
【解析】根据垂直平分线的性质，得出，进而可知，代值求解即可得出结论．
解：AB的垂直平分线是DE，
，
，
，
，
故选：C．
本题考查三角形周长的求解，准确把握垂直平分线的性质运用是解决问题的关键．
3．C
【解析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
4．D
【解析】根据线段垂直平分线得出AD=BD，推出CD+BD=6，即可求出答案．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∵AC=6，
∴AD+CD=6，
∴CD+BD=6，
∵BC=4，
∴的周长是CD+BD+BC=6+4=10，
故选：D．
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
5．C
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则PB+PC=BC，进而可以判断．
解：作AB垂直平分线交BC于点P，连接PA，
则PA=PB，
所以PA+PC=PB+PC=BC．
所以符合要求的作图痕迹是C．
故选：C．
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
6．B
【解析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：B．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．B
【解析】根据0指数幂的定义，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．
解：∵0的0次幂不存在，∴①错误；
∵有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②错误；
∵三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故③错误；
∵若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形，故④正确
∴正确的个数为：1个．
故选：B．
本题考查了线段垂直平分线性质，0指数幂的定义，等腰三角形性质，等边三角形的判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解此题的关键．
8．B
【解析】根据平行线的性质与判定，对顶角的性质，垂直垂直平分线的性质与判定进行分析判断即可
A. 原命题的逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
B. 原命题的逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故该选项符合题意；
C. 原命题的逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题，故该选项不符合题
D. 原命题的逆命题为： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题，故该选项不符合题
故选B
本题考查了逆命题，真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质，垂直垂直平分线的性质与判定掌握相关定理是解题的关键．
9．A
【解析】根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
10．C
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=70°，
∵DE垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=30°；
故选C.
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质与判定、中垂线的性质，熟记这些内容并能灵活运用是解题的关键.
11．C
【解析】由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线，进而可知AD=BD，在计算周长时只需将BD转化为AD即可．
解：由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
所以△BDC的周长为：BD+DC+BC= AD+DC+BC=AC+BC=5+3=8，
故选：C．
本题考查，做线段的垂直平分线，三角形的周长，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．
12．B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC， AC于点D和E，
∴AD= CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠C= 40°，
∴∠DAC= 40°，
在△ABC中，∠B= 55°，∠C= 40°，
∴∠BAC= 180°-∠B-∠C= 85° ，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC= 85°- 40°=45°
故选：B．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD = CD是解此题的关键．
13．B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180° 32° 32° 32°＝84°，
故选B．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．C
【解析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
15．C
【解析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选C．
本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.
16．B
【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
故选B．
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
17．C
【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，根据△ADC的周长为10求出AC＋BC＝10，代入AB＋AC＋BC求出即可．
∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AD＋CD＋AC＝10，
∴BD＋DC＋AC＝10，
∴AC＋BC＝10，
∵AB＝8，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋10＝18，
故选C.
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用.需要掌握的是线段垂直平分线的性质为:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.
18．B
【解析】通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④．
解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE＇,
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1=，
∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E＇AC=∠EAD,
又∵AD=AC，
∴，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E＇AC=90°，
由，
∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）；
故正确的为：②③④．
故选B
本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力．
19．A
【解析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．
试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．4
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，由CN=AC－AN即可得出答案．
∵MN垂直平分线段AB，BN=8，
∴BN=AN=8，
∵AC=12，
∴CN=AC－AN=12－8=4．
故答案为：4．
本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
21．7
【解析】△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
设直线EF交BC于E，
∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，
∴△APC周长的最小值，
故答案为：7．
本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．
22．20
【解析】根据直角三角形的性质可得∠BAC=55°，再利用线段垂直平分线的性质可得AD=DB，根据等边对等角可得∠DAB=∠B=35°，进而可得∠DAC的度数．
解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠CAB=55°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=20°，
故答案为：20．
此题主要考查了直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
23．22
【解析】由DE垂直平分BC可得BE=CE，即可求得结果.
∵DE垂直平分BC
∴BE=CE=6
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=22.
解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
24．
【解析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
解：∵AB=AC，∠A=48°，
∴∠ABC=（180°-∠A）=（180°-48°）=66°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=48°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=66°-48°=18°．
故答案为：18°．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
25．14
【解析】根据线段的垂直平分线的性得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=4
∴AC=8
∵△ABD的周长为22，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=22，
∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=22-8=14，
∴△ABD的周长为=14cm，
故答案为14．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26．
【解析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
解：∵DE是边BC的垂直平分线，
∴CD＝BD．
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝18．
又∵AB＝8，
∴AC＝10cm．
故答案为：10．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
27．5
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得EB＝EC，BD＝CD＝4，再根据的周长为18求出BE即可．
解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，BD＝CD＝4，
∴BC＝8，
∵的周长为18，
∴BC＋CE＋EB＝18，
∴CE＋EB＝10，
∴CE＝EB＝5，
故答案为：5．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
28．垂直平分线
【解析】根据线段垂直平分线性质的逆运用得出即可．
解：到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的垂直平分线上，
故答案为：垂直平分线．
本题考查了线段垂直平分线性质，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
29．20°##20度
【解析】由题意根据∠CAB=180°-∠C-∠B和垂直平分线性质，求出∠CAB，∠DAB进而依据∠CAD=∠CAB-∠DAB求出即可．
解：∵∠C=100°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠B =180°-100°-30°=50°，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=50°-30°=20°.
故答案为：20°．
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．72°
【解析】利用线段互相垂直平分，结合余角定义，对该题进行求解即可．
解：∵线段CD与线段BE互相垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∵线段CD与线段BE互相垂直平分，
∴AC=AD，
∴，
∴．
故答案为：72°．
本题主要考查的是线段垂直平分线的应用，以及简单的角度计算，掌握基本性质是解题的关键．
31．30
【解析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝（180°－40°）÷2，由垂直平分线的性质得出AD＝DB，即∠ABD＝∠A，即可求出∠DBC的值．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－40°）÷2＝70°，
根据小明尺规作图的痕迹可以得出AD＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝70°－40°＝30°，
故答案为：30．
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质以及垂直平分线的尺规作图，熟练各性质是解题的关键．
32．13
解：DE是AB的垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
33．2.25或3
【解析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出 ，解得：v=3．
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有 ，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
34．（1）31.5°；（2）18
【解析】（1）根据等边对等角，可得∠ABC=∠ACB=70.5°，再由线段垂直平分线的性质定理，可得DA=DB，从而得到∠A=∠DBA=39°，即可求解；
（2）根据DB=AD，可得DB+DC=AD+DC=AC=10．即可求解．
解：（1）∵AB=AC，∠A=39°，
∴∠ABC=∠ACB=70.5°，
又∵DM为AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=39°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=31.5°；
（2）∵DB=AD，AC=10，BC=8，
∴DB+DC=AD+DC=AC=10．
∴△DBC的周长为DB+DC+BC=18．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边对等角，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
35．(1)BC；等量代换
(2)
【解析】（1）根据题目中证明过程可直接得出结果；
（2）根据垂直平分线可得，结合已知条件求三角形面积，代入求值即可．
(1)
解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，，，（已知）
∴BE垂直平分AC，CD垂直平分AB，（线段垂直平分线的定义）
∴，，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴，（等量代换）
故答案为：BC；等量代换；
(2)
解：∵CD垂直平分AB，
∴，
，
解得：．
题目主要考查线段垂直平分线的性质，理解题意，熟练掌握运用垂直平分线的性质是解题关键．
36．(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)15
【解析】（1）①根据作一条线段等于已知线段的作法，即可求解；②③根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AE=BE，AF=CF，从而得到AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC，即可求解．
(1)
解：①如图，点C即为所求；
②如图，直线DE即为所求；
③如图，直线FG即为所求；
(2)
解：∵DE垂直平分AB， FG垂直平分AC，
∴AE=BE，AF=CF（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）
∴AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC＝15．
即△AEF的周长为15
本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理，熟练掌握作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质定理是解题的关键．
37．答案见解析
【解析】利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作出垂线段AD即可；作AC的垂直平分线得到AC的中点E，连接BE即可．
解：如图，AD为所作，BE为所作；
本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
38．(1)△CDE的周长为10，理由见解析；
(2)70°
【解析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB；
（2）依据AD=CD，BE=CE，即可得到∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B=55°，进而得到∠ACD+∠BCE=55°，再根据∠DCE=∠ACB-（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
(1)
解：△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
(2)
解：∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
39．EG=5cm．
【解析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．
如图，连接AE、AG，
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB=EA，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B==30°，
∴∠BAE=30°，
∴∠AEG=60°，
同理可证：∠AGE=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG，
又∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC，
又BE+EG+GC=BC=15（cm），
∴EG=5（cm）．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键．
40．AE＝4cm．
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=DC，AE=CE=AC，再根据题意可得AB+BC+AC=21cm，AB+BD+AD=13cm，然后可得AC长，进而可得AE长．
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm．
本题主要考查了线段垂直平分线，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
41．（1）25cm；（2）40°．
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA=MC，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据对顶角相等得到∠AMD=∠CMD，∠BNE=∠CNE，根据三角形内角和定理求出∠FMN+∠FNM，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA=MC，BN=CN，
∵△CMN的周长为25cm，
∴CM+MN+CN=25（cm），
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+BN=25（cm）；
（2）∵MA=MC，MD⊥AC，
∴∠AMD=∠CMD，
同理可知，∠BNE=∠CNE，
∵∠MFN=70°，
∴∠FMN+∠FNM=180°-70°=110°，
∴∠AMD+∠BNE=110°，
∴∠AMC+∠BNC=220°，
∴∠CMN+∠CNM=360°-220°=140°，
∴∠MCN=180°-140°=40°，
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
42．(1)作图见解析
(2)
(3)BC=10
【解析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
（2）结合（1）根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；
（3）根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可以解决问题．
(1)
如图，DE即为所求；
(2)
由（1）知：DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=34°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-34°）=73°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=73°-34°=39°；
∴∠EBC的度数为39°；
(3)
∵△BCE的周长为24，AC=AB=14，
∴BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=24，
∴BC=24-14=10．
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质．等腰三角形的性质，熟练掌握5中基本作图是解决此类命题的关键．