2021-2022学年湖南省各地湘教版九年级数学上册 3.5相似三角形的应用期末试题分类选编(Word版含答案)

3.5 相似三角形的应用
1．（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米．
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022·湖南永州·九年级期末）为了测量旗杆的高度，某同学测得阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为___m．
3．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_____.
4．（2022·湖南张家界·九年级期末）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米．
5．（2022·湖南邵阳·九年级期末）如图，小明用长为3m的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹 ，使O、C、A在同一直线上，此m，m，则旗杆的高为______．
6．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，是用卡钳测量容器内径的示意图．量得卡钳上A，D两端点的距离为4cm，，则容器的内径BC的长为_____cm．
7．（2022·湖南永州·九年级期末）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1．5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为_______米．
8．（2022·湖南湘潭·九年级期末）在上午的某一时刻，阳光下身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，小明测得同一校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在与地面垂直的墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为_______m.
9．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为_____m．
10．（2022·湖南岳阳·九年级期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步．
11．（2022·湖南怀化·九年级期末）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
12．（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室九年级期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DEBC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？
13．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
参考答案：
1．C
【解析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD=3，
经检验，CD=3是所列方程的解，
故选：C．
本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．
2．5
【解析】设旗杆的高度为xm，再根据同一时刻物高与影长成正比列式计算即可得出结论．
解：旗杆的高度为xm，
∵长度为1m的标杆影长为0.4m，旗杆的影长为2m，
∴,
解得x=5(m),
故答案为5.
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
3．．
【解析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
解：如图；都与水平线垂直，即；
易知：；
，
杠杆的动力臂与阻力臂之比为
，即；
当时，；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．
故答案为．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
4．8
【解析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
5．9
【解析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ，
即 ，
解得AB=9．
故答案为：9．
本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．
6．10
【解析】依题意得：△AOD∽△BOC，则其对应边成比例，由此求得BC的长度．
解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
又AD＝4cm，
∴BC＝AD＝10cm．
故答案是：10．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
7．9
【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴，
即，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为：9．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8．10
【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，所以实际高度和影长之比为1比2，因此墙上的2米投射到地面上为4米，即旗杆影长一共为20米，根据实际高度和影长之比为1比2，据此列比例解答．
解：设旗杆的高为x米，
因为==
所以墙上的2米投射到地面上为2÷=4米，即旗杆影长一共为16+4=20（米），
∴=
3.4x=1.7×20
解得：x=10
答：旗杆高10米．
故答案为10．
本题考查正比例的意义及应用．
9．9.6
【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为，解得x＝9.6（m），
故答案是：9.6．
考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
10．300．
【解析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求.
解：设正方形城池的边长为步,
即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
11．从点走到点，身影的长度是变短了
【解析】根据题意可得，根据平行得，列出比例式，代入数据计算即可
如图，
即
解得
即
解得
从点走到点，身影的长度是变短了
本题考查了相似三角形的应用，找到相似三角形是解题的关键．
12．30米
【解析】根据题意得出DE∥BC，于是得到△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
又∵BC=25，BD=12，DE=35，
∴，
解得：AB=30．
答：河的宽度AB为30米．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．
13．AB=6m
【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：，
∴,即
，
即
解得，
解得，
即路灯A的高度AB为.