2021-2022学年湖北省各地人教版八年级数学上册期末试题分类选编---13.3.2等边三角形（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湖北省各地人教版八年级数学上册期末试题分类选编---13.3.2等边三角形（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-01 09:37:31 | ||
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文档简介
13.3.2 等边三角形
1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，是边长为30的等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，则（ ）．
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
4．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )
A． B．BF C． D．
10．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
11．（2022·湖北黄石·八年级期末）△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,下列说法：①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其中正确的个数有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ）
A．2.5 B．2 C．1 D．1.5
14．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
15．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则以下结论中不一定成立的是（ ）
A．∠BOC＝120° B．AB＝2AE
C．∠BOD＝60° D．OE＋OF＝
16．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北黄石·八年级期末）已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
19．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE为等边三角形；③CE-CP=2PD；④S四边形AECP=S△ABC．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在中，，以AC为底边向外作等腰，，在CD上截取，连接BE．若，则的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
22．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，和都是边长为3的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的长为_________．
23．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于E，DF⊥AB于点F，若AE=2，则DF的长为______．
24．（2022·湖北宜昌·八年级期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm．
25．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，，垂足为D，垂足为E，CD，BE交于点F，，则______．
26．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3，点P，Q，E分别在AB，AD，BD上，BP＝2．当PQBD时，PE+QE的最小值为________．
27．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D为AB上一点，若CB＝CD，AD＝2，BD＝4，则AC的长为_________．
28．（2022·湖北随州·八年级期末）一个等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一边长的一半，则底角的度数是______．
29．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC=DC，BC=EC，∠ACD =∠BCE=，连接AE，BD交于点P．下列结论：①AE=DB；②当=60°时，AD=BE；③∠APB=2∠ADC ；④连接PC，则PC平分∠APB．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
30．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为___________；
31．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图，在中，，点D在上，且，则的长为__________．
32．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 _____（填序号）．
33．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．
34．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是____________．
35．（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．
求证：（1）AE=DE；
（2）若AE=6，求CE的长．
36．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且，连接AD与BE并相交于点F．
(1)试判断AD和BE的数量关系；
(2)请求出∠AFE的度数．
37．（2022·湖北孝感·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
38．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D．
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB//CE，AB＝4，求DF的长．
39．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
(1)①求∠AEB的度数；
②判断线段AD，BE之间的数量关系．
(2)拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
40．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图（1），点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s
（1）设运动时间是t，则当t=__________s时，△PBQ是直角三角形．
（2）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）如图（2），若P，Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
41．（2022·湖北荆州·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
42．（2022·湖北宜昌·八年级期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上.
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，
①求证：AF＝AE+AD．
②求证：AD∥BC．
(2)如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系.
43．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，且，，且．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
44．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．
(1)如图1，若点是中点，
求证：①；②．
(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；
(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．
45．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边△ABC中，BM是ABC内部的一条射线，且，点A关于BM的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD、CD的延长线分别交射线BM于点E，P．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
46．（2022·湖北孝感·八年级期末）[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
[问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案）
47．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图（1），在中，，．点为内一点，且．
（1）求证：；
（2），为延长线上的一点，且．如图（2），
①求证：平分；
②若点在线段上，且，请判断、的数量关系，并给出证明．
48．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为与的角平分线的交点．
(1)求证：；
(2)设，请用含的式子表示，并求的最大值；
(3)当时，的取值范围为，求出，的值．
49．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在Rt△中，，∠，点是上一点．
(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
参考答案：
1．C
【解析】先设，则，根据是等边三角形，得出，再求出和的长，即可得出的值．
解：设，则，
是等边三角形，
，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
，
同理可得，，
．
故选：．
本题考查的是等边三角形的性质，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
2．B
【解析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解即可．
解：∵△ABC和△ODP都是等边三角形，
∴∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP，
∴△ODC≌△POA（AAS），
∴AP=OC，
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故选：B．
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．
3．C
【解析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，先证明△BEF为等边三角形得到BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，再根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH=CH，接着计算出DF=6cm，则HF=DF=3，然后计算出BH，从而得到BC的长．
解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．能求出BM、MN的长是解决问题的关键．
4．C
【解析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在Rt△OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
过P作PQ⊥MN，
∵PM=PN，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴OQ==6，
则OM=OQ-QM=6-1=5．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解本题的关键．
5．A
【解析】由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得∠B=∠BAE=15°，那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题．
解：∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE．
∴∠B=∠BAE=15°．
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．
∵∠ACB=90°，∠AEC=30°，
∴AE=2AC=6cm．
∴BE=AE=6cm．
故选：A．
本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
6．B
【解析】过点作，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
如图，过点作
AD平分∠BAC，DF⊥AB，
，
，DF⊥AB，
∠BAC＝30°，
故选B
本题考查了角平分线的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．
7．B
【解析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在中，利用所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
解：过P作，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则，故B正确．
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质，是解本题的关键．
8．B
【解析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果．
解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90° ∠BPQ＝90° 60°＝30°，
∴BP＝2PQ，故④正确；
∵AC＝BC，AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；
根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误；
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．D
【解析】利用等边三角形的性质和三角形外角的性质证明∠F=∠ADE，再利用AAS证明△ADE≌△CFD，得AE=CD，从而解决问题．
解：∵DE=DF=BD，
∴∠DBE=∠BED，∠DBF=∠DFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠E+∠F=60°，∠EAD=∠DCF，
∵∠E+∠ADE=60°，
∴∠F=∠ADE，
在△ADE和△CFD中，
∵
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+DE，
∵DE=BD，
∴△AED的周长为AC+BD，
故选：D．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
10．B
【解析】先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
解：是等边三角形，且，
，
，
，
如图，连接，
由折叠的性质得：，
则的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
则周长的最小值为，
故选：B．
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
11．C
【解析】取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．
解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，
∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，
∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，
∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，
∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；
∵EG⊥BC，PE=EQ，
∴PG＝GQ，
∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，
∴AE＝EB＝BH＝HC，
∴△EBH是等边三角形，
∵EG⊥BH，
∴BG＝GH，
∴PB＝HQ，
∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；
∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，
∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，
∴∠PEB＝∠QEH，
∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，
∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，
又∵EH＝EH，
∴△PEH≌△FEH（SAS），
∴∠EHP＝∠EHF＝60°，
∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，
∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，
∴EH＝HC，
又∵HF＝HF，
∴△EHF≌△CHF（SAS），
∴FC＝EF，
∴FQ＝FC，故②正确；
④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，
∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，
由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；
综上，正确的有3个，
故选：C．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．
12．B
【解析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，然后分析判断各选项即可.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90° ∠BPQ=90° 60°=30°，
∴BP=2PQ.故③正确，
∵AC=BC.AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，
无法判断BQ=AQ，故②错误，
故选B.
此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
13．D
【解析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长．
延长AD到E，使AD=ED，连接BE，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中，
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴BE=AC，∠BED=∠CAD，
∵，
∴∠CAD=90°，
∴∠BED=∠CAD=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，
∴AC==1.5．
故选D．
本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
14．C
【解析】如图所示过点E作EF⊥BC，根据30°所对边为斜边一半可计算BF长度，进而可计算BD的长度．
解：如图所示过点E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，
∵∠BFE=90°，∠B＝60°，
∴∠BEF=90°-60°=30°
∵AB=3，AE=5，
∴，
∵，
∴，
∵，EF⊥BC于F，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查直角三角形30°所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
15．C
【解析】根据三角形的外角性质以及直角三角形两个锐角互余可判断A选项，根据含30度角的直角三角形的性质，即可判断B选项，只有时，C选项才成立，即可作出判断，根据含30度角的直角三角形的性质，设，，分别表示出即可判断D选项．
解：∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，
，
，
故A成立，不符合题意，
中，，
，
故B成立，不符合题意，
若，
则，
但不一定相等，
故C不一定成立，符合题意，
中，，则，
中，，则，
设，，
，
，
，，
OE＋OF＝，
故D选项成立，不符题意，
故选C
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
16．C
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
17．C
【解析】根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．
∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，
∴，即点的纵坐标是
∵以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，
∴，点的纵坐标是，即
∵以为边在右侧作等边三角形
同理，得点的纵坐标是
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即
故选：C．
本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
18．D
【解析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为．
解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
19．C
【解析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
解：如图所示：连接、．
①平分，，，
．
①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．
又，，
．
故④正确．
故选：C．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
20．D
【解析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA=∠PAE=60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由SAS可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
解：如图，连接BP，
∵AC=BC，∠ABC=30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP=BP，
∵AP=PE，
∴AP=PB=PE，
∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，故①正确；
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，
∴∠PAE=∠PEA=60°，
∴△PAE是等边三角形，故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE=AP，
∴AE=AP′，
∵∠CAD=∠CAP+∠PAD=30°，
∴2∠CAP+2∠PAD=60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD=60°-∠PAC，
∴∠P′AC=∠EAC，
∵AC=AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′=CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD=P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE=CP′=CP+PD+DP′=CP+2PD，
∴CE-CP=2PD．故③正确；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，
∵CG=CP，∠BCD=60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP=∠PCG=60°，
∴∠ECP=∠PGB=120°，且EP=PB，∠PEB=∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE=GB，
∴AC=BC=BG+CG=EC+CP，
∵∠ABC=30°，AF⊥BE，
∴AF=AB=AD，
∵S△ACB=CB×AF=（EC+CP）×AF=EC×AF+CP×AD=S四边形AECP，
∴S四边形AECP=S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②③④．
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分结的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
21．C
【解析】延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，证明可得是等边三角形，进而证明，可得，设，则，根据三角形的内角和以及外角的性质可得，，建立方程求解即可．
如图，延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，
，，
，
，
，
，
，
Rt△BFE中，∠BEF=30°，则FE=2BF
∴HE=HF
，
即，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
即，
，
即．
故选：C．
本题主要考了全等三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，证明是等边三角形解答本题的关键．
22．
【解析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝3，BE＝6，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，求出△BDE是直角三角形是解题的关键．
23．
【解析】根据平行线的性质和角平分线的性质解答即可．
解：过D作DG⊥AC，
∵DE∥AB，
∴∠GED=∠CAB=30°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD=15°，
∴∠EDA=30°-15°=15°，
∴AE=ED=2，
在Rt△GED中，∠GED=30°，DE=2，
∴DG=，
∵DF⊥AB，AD是∠CAB的平分线，
∴DF=DG=，
故答案为：．
本题考查角平分线的性质，关键是根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
24．4
【解析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可.
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm，
∴该直角三角形斜边长度为4cm，
故答案为：4.
本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
25．6
【解析】连接BC，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果．
解：连接BC，
∵点D是AB中点且于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴，
∵点E是AC中点且于点E，
∴BE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，含角的直角三角形的特殊性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个知识点是解题关键．
26．4
【解析】先找的点关于的对称点，连接与， 与，PE+QE的最小值等于长度，通过直角三角形的相关性质可计算出AQ的长度，进而可算出的长度．
解：如图所示，在上取一点，使得，
，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是的角平分线，
∴是点关于的对称点，
连接与，
∵PQBD，
∴且，
∵，，
∴，
∴（直角三角形30°所对边等于斜边的一半），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴,
故PE+QE的最小值等于
故答案为：4．
本题考查，轴对称的应用，最短路径问题，直角三角形的性质，能够构造合适的辅助线是解决本题的关键．
27．8
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，根据等腰三角形的三线合一，可知DE=EB=DB=2，进而得出AE=4，再利用含30°的直角三角形性质可得出AC的长.
解：过点C作CE⊥AB于点E
∵CB＝CD，BD＝4
∴DE=EB=DB=2
又AD＝2
∴AE=AD+ DE =4
∵∠BAC＝60°，CE⊥AB
∴∠ACE＝30°
∴AC=2AE=8
故答案为：8.
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，结合等腰三角形的性质求AE的长是解题的关键.
28．75°或15°或30°
【解析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
解：如图①：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
如图③，
∵BD⊥CD，BD＝BC，
∴∠C＝30°，
∴这个三角形的底角为：75°或30°或15°．
故答案为：75°或15°或30°．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并求出顶角和底角的度数是解题的关键．
29．①③④
【解析】根据SAS证明△ACE≌△DCB可判断①；根据△ACD和△BCE是等边三角形，但AC不一定等于BC可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC，故可判断④．
解：①∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DG，故①正确；
②∵AC=DC，BC=EC，∠ACD =∠BCE=60°，
∴△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD=AC=DC，BE=BC=EC，
但AC不一定等于BC，
故AD不一定等于BE，所以②错误；
③∵∠APB是△APD的外角，
∴∠APD=∠ADP+∠DAP
由①得△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
∵AC=DC
∴∠CAD=∠CDA
∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故③正确；
④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，
∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC，故④正确；
故答案为：①③④．
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．
30．4.5
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°-60°=30°，
∴AD=AB=×9=4.5，
∴DF=4.5．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题关键．
31．4
【解析】如图，过作于H， 再证明 再求解 最后利用等腰三角形的性质可得答案．
解：如图，过作于H，
故答案为：4
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”是解本题的关键．
32．①②④
【解析】由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE=DC，∠ADC=∠ABE，求出∠BOD=60°，①正确；②正确；∠ADB=∠AEC=60°，但不能推出∠ADC=∠AEB，则∠BDO=∠CEO错误，即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB=∠ABC=60°，推出∠ACB=30°，则BC⊥CE，④正确．
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵∠ACE=60°，
∴∠ECB=90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
33．3
【解析】取BC的中点G，连接MG，从而得出BG=CG=6，根据旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°，然后根据等边三角形的性质可得AB=BC，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=30°，然后利用SAS证出△NBH≌△MBG，从而得出HN=GM，故HN的最小值即为GM的最小值，根据垂线段最短，即可当GM⊥CH时，GM最小，求出此时的GM即可．
解:如图，取BC的中点G，连接MG
∴BG=CG==6
由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°
∵等边中，CH为AB边上的高
∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=
∴BH=BG，∠MBN=∠ABC
∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA
∴∠NBH=∠MBG
在△NBH和△MBG中
∴△NBH≌△MBG(SAS)
∴HN=GM
∴长度的最小值即为GM长度的最小值
根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小
此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°
∴GM=
即长度的最小值为3．
故答案为：3．
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
34．-6≤m≤-3
【解析】利用分类讨论的思想计算出临界点，进而求出m的取值范围.
解：①当点B1与点A重合时
∵直线l垂直平分AB
∴PA=PB
∵∠ABO＝60°
∴△PAB是等边三角形
∴PB=AB
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB=3
∴∠OAB＝30°
∴AB=2OB=6
∴PB=AB=6
∴OP=3
∴m=-3
②当点O1落在直线a上时
同理可证△OO1P为等边三角形
∵AB∥OO1，OB∥AO1
∴四边形ABOO1是平行四边形
∴OO1=AB=6
∴OP=OO1=6
∴m=-6
∴m的取值范围是-6≤m≤-3
故答案为：-6≤m≤-3
本题考查了坐标与图形的变化-对称，解答本题的关键是结合图形，分情况讨论.
35．（1）证明见解析；（2）12．
【解析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；
（2）根据直角三角形中， 30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．
（1）证明：连接BE，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°．
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE，
∴AE=DE；
（2）在△CDE中，
∵∠CDE=90°，∠C=30°，
∴DE=CE，
∴CE=2DE=2AE=12
本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形性质；直角三角形中30°所对边为斜边的一半是本题解题关键.
36．(1)
(2)60°
【解析】（1）由题意知，，证明，进而可证；
（2）由（1）可知，，进而可得的值．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形
∴，
在和中
∵
∴
∴．
(2)
解：由（1）可知
∵
∴．
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
37．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
38．(1)证明见详解．
(2)2
【解析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB=∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B=∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解得∠E＝∠BCE＝∠ACB＝30°．从而得出DF＝CF＝2．
(1)
证明：∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠ACB＝∠BCE．
在△ACB和△FCE中
,
∴△ACB≌△FCE．
∴AB＝FE．
(2)
∵AB∥CE，
∴∠B＝∠BCE．
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB．
∴EF＝FC．
∵AB＝FE，AB＝4，
∴FC＝4．
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°．
∴∠E＋∠BCE＋∠ACB＝90°．
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB＝30°．
∴DF＝CF＝2．
此题考查全等三角形的判定和性质以及有一个角是30°的直角三角形的性质，解题的关键是根据AAS证明△ABC与△FEC全等解答．
39．(1)①；②．
(2)，，理由见解析．
【解析】（1）①由等边三角形的性质可推出，从而可证明，即可利用“SAS”证明，即得出，最后由和，即可求出的大小；
②由①结合全等三角形的性质即可直接得出．
（2）由等腰直角三角形的性质可推出，．根据，可证明，从而可利用“SAS”证明，得出．再根据和，即可求出的大小．根据等腰直角三角形的性质可知，即推出，从而即可得出．
(1)
解：①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即．
∴，
∴，
∴．
②∵，
∴．
(2)
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵A、D、E在同一直线上，
∴，
∴．
∵CM为△DCE中DE边上的高，
∴，即．
∵，
∴
本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握各知识点是解题的关键．
40．（1）或；（2）不变，60°；（3）不变，120°
【解析】（1）由题意得出AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况进行求解；
（2）根据等边三角形的性质证明，即可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（3）通过证明△PBC≌△QCA得出，利用三角形的内角和定理得出，进而求解．
解：（1）∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，
解得，t＝，
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴，
解得，t＝，
∴当t为s或s 时，△PBQ为直角三角形；
故答案为：或；
（2）不变，，
正△ABC中，，，，
，
，
，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；
（3）不变，，
在正△ABC中，，，
，又由条件得，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
，
又，
．
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ＝120°．
本题考查等边三角形的性质、含直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及其推论，一元一次方程的应用等知识，（1）中注意分类讨论、（2）（3）中证明三角形全等是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强．
41．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【解析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断；
（2）利用，则，得出，然后问题可求证；
（3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证．
（1）证明：直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
解：（2）成立，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴△DFE是等边三角形．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
42．(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AF＝AE+BC.
【解析】(1)①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，可得结论；
②由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠EBC=60°，由平行线的判定可得结论；
(2)如图2，在 FA 上截取 FM＝AE，连接 DM，由“SAS”可证△AED≌△MFD，可得DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，可证∠ADM＝∠BAC，由“SAS”可证△ABC≌△DAM，可得AM＝BC，可得结论.
证明：(1)①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，
∴△ABC，△DEF 为等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE 和△ACD 中，，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD＝BE，
∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，
即AF＝AE+AD；
②∵△BCE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，
∴∠EBC＋∠DAE=∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，
∴AD∥BC.
(2)如图2，在FA上截取FM＝AE，连接DM，
∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，
∴∠AED＝∠MFD，
在△AED 和△MFD中，
，
∴△AED≌△MFD(SAS)，
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF，
∴∠ADM＝∠BAC，
在△ABC 和△DAM 中，
∴△ABC≌△DAM(SAS)，
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF.
即AF＝AE+BC.
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和等边三角形的判定及性质，掌握用截长补短法构造全等三角形、等边对等角和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键.
43．(1)答案见解析；
(2)等边三角形，答案见解析．
【解析】（1）用SAS定理证明三角形全等；
（2）由△BDF≌△CED得到∠BFD＝∠CDE，然后利用三角形外角的性质求得∠B＝∠1＝60°，从而判定△ABC的形状．
(1)
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
∴△BDF≌△CED（SAS）；
(2)
△ABC是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△BDF≌△CED，
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠EDF+∠CDE，
∴∠B＝∠EDF＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质，外角的性质、等边三角形的判定，做题的关键是证明△BDF≌△CED．
44．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【解析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；
（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．
(1)
证明：如图
①∵为等边三角形，
∴，
又为中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴．
(2)
仍然成立，理由如下：
如图，过点D作DM//BC交AC于M
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴．
(3)
的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．
作交的延长线于，
易证为等边三角形，
，，
而，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．(1)见解析;(2) 60°+;(3)见解析.
【解析】（1）正确画图；
（2）根据对称得：BM是AD的垂直平分线，则BA=BD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
（3）在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF，如图，先证明△BPF是等边三角形，再证明△BFC≌△BPD，则CF=PD=2PE．根据线段的和可得结论．
（1）如图所示：
（2∵点A与点D关于BM对称，∴BM是AD的垂直平分线，∴BA=BD．
∵∠ABM=α，∴∠ABD=2∠ABM=2α．
∵等边△ABC，∴BA=CB=BD，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD =60°－，∴∠BDC=∠DCB=（180°∠DBC）=60°+．
（3）结论：PB=PC+2PE．证明如下：
在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF．
∵BA=BD，∠ABD=，∴∠BDA=∠BAD=90° ．
∵∠BDC=60°+，∴∠PDE=180－（∠BDA+∠BDC）=30°．
∵∠DEP=90°，∴PD=2PE．
∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°，PF=PB，∴△BPF是等边三角形，∴∠BPF=∠BFP=60°．
∵∠BDC=∠DCB，∴∠BDP=∠BCF．
在△BFC和△BPD中，∵ ，∴△BFC≌△BPD，∴CF=PD=2PE，∴PB= PC+BF=PC+2PE．
本题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解答本题的关键．
46．(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【解析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．
(1)
AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；
(2)
猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，
∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+BD．
(3)
作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示：
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD=，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB=，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG=，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC=CG=FG=，
∵AE≤AF+FG+EG，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为．
故答案为：．
本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
47．（1）见详解；（2）①见详解；②ME=BD，理由见详解.
【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①易证BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解题；
②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；
（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴BD=AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA，∠EMC=120°，
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
48．(1)见解析
(2)，3
(3)m＝105，n＝150
【解析】（1）由条件易证，得，即可得证．
（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时， AP有最小值，即AD⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）为与的角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°”及角平分线定义，即可表示出，从而得到m，n的值．
(1)
解：在和中，如图1
即
(2)
解：
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值
(3)
解：如图2，设则
为与的角平分线的交点
即
本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
49．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【解析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．证明得到，进一步证明即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，作DH⊥AB于H．
∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
(2)
如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．
，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
(3)
解：如图3中，作CH⊥MN于H．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，是边长为30的等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，则（ ）．
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
4．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )
A． B．BF C． D．
10．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
11．（2022·湖北黄石·八年级期末）△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,下列说法：①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其中正确的个数有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ）
A．2.5 B．2 C．1 D．1.5
14．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
15．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则以下结论中不一定成立的是（ ）
A．∠BOC＝120° B．AB＝2AE
C．∠BOD＝60° D．OE＋OF＝
16．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖北黄石·八年级期末）已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
19．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE为等边三角形；③CE-CP=2PD；④S四边形AECP=S△ABC．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在中，，以AC为底边向外作等腰，，在CD上截取，连接BE．若，则的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
22．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，和都是边长为3的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的长为_________．
23．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于E，DF⊥AB于点F，若AE=2，则DF的长为______．
24．（2022·湖北宜昌·八年级期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm．
25．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，，垂足为D，垂足为E，CD，BE交于点F，，则______．
26．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3，点P，Q，E分别在AB，AD，BD上，BP＝2．当PQBD时，PE+QE的最小值为________．
27．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D为AB上一点，若CB＝CD，AD＝2，BD＝4，则AC的长为_________．
28．（2022·湖北随州·八年级期末）一个等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一边长的一半，则底角的度数是______．
29．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC=DC，BC=EC，∠ACD =∠BCE=，连接AE，BD交于点P．下列结论：①AE=DB；②当=60°时，AD=BE；③∠APB=2∠ADC ；④连接PC，则PC平分∠APB．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
30．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为___________；
31．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图，在中，，点D在上，且，则的长为__________．
32．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 _____（填序号）．
33．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．
34．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是____________．
35．（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．
求证：（1）AE=DE；
（2）若AE=6，求CE的长．
36．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且，连接AD与BE并相交于点F．
(1)试判断AD和BE的数量关系；
(2)请求出∠AFE的度数．
37．（2022·湖北孝感·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
38．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D．
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB//CE，AB＝4，求DF的长．
39．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．
(1)①求∠AEB的度数；
②判断线段AD，BE之间的数量关系．
(2)拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
40．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图（1），点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s
（1）设运动时间是t，则当t=__________s时，△PBQ是直角三角形．
（2）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）如图（2），若P，Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
41．（2022·湖北荆州·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
42．（2022·湖北宜昌·八年级期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上.
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，
①求证：AF＝AE+AD．
②求证：AD∥BC．
(2)如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系.
43．（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，且，，且．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
44．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．
(1)如图1，若点是中点，
求证：①；②．
(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；
(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．
45．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边△ABC中，BM是ABC内部的一条射线，且，点A关于BM的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD、CD的延长线分别交射线BM于点E，P．
(1)依题意补全图形；
(2)若，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
46．（2022·湖北孝感·八年级期末）[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
[问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案）
47．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图（1），在中，，．点为内一点，且．
（1）求证：；
（2），为延长线上的一点，且．如图（2），
①求证：平分；
②若点在线段上，且，请判断、的数量关系，并给出证明．
48．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为与的角平分线的交点．
(1)求证：；
(2)设，请用含的式子表示，并求的最大值；
(3)当时，的取值范围为，求出，的值．
49．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在Rt△中，，∠，点是上一点．
(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
参考答案：
1．C
【解析】先设，则，根据是等边三角形，得出，再求出和的长，即可得出的值．
解：设，则，
是等边三角形，
，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
，
同理可得，，
．
故选：．
本题考查的是等边三角形的性质，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
2．B
【解析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解即可．
解：∵△ABC和△ODP都是等边三角形，
∴∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP，
∴△ODC≌△POA（AAS），
∴AP=OC，
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故选：B．
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．
3．C
【解析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，先证明△BEF为等边三角形得到BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，再根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH=CH，接着计算出DF=6cm，则HF=DF=3，然后计算出BH，从而得到BC的长．
解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．能求出BM、MN的长是解决问题的关键．
4．C
【解析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在Rt△OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
过P作PQ⊥MN，
∵PM=PN，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴OQ==6，
则OM=OQ-QM=6-1=5．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解本题的关键．
5．A
【解析】由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得∠B=∠BAE=15°，那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题．
解：∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE．
∴∠B=∠BAE=15°．
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．
∵∠ACB=90°，∠AEC=30°，
∴AE=2AC=6cm．
∴BE=AE=6cm．
故选：A．
本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
6．B
【解析】过点作，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
如图，过点作
AD平分∠BAC，DF⊥AB，
，
，DF⊥AB，
∠BAC＝30°，
故选B
本题考查了角平分线的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．
7．B
【解析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在中，利用所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
解：过P作，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则，故B正确．
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质，是解本题的关键．
8．B
【解析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果．
解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90° ∠BPQ＝90° 60°＝30°，
∴BP＝2PQ，故④正确；
∵AC＝BC，AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；
根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误；
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．D
【解析】利用等边三角形的性质和三角形外角的性质证明∠F=∠ADE，再利用AAS证明△ADE≌△CFD，得AE=CD，从而解决问题．
解：∵DE=DF=BD，
∴∠DBE=∠BED，∠DBF=∠DFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠E+∠F=60°，∠EAD=∠DCF，
∵∠E+∠ADE=60°，
∴∠F=∠ADE，
在△ADE和△CFD中，
∵
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+DE，
∵DE=BD，
∴△AED的周长为AC+BD，
故选：D．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
10．B
【解析】先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
解：是等边三角形，且，
，
，
，
如图，连接，
由折叠的性质得：，
则的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
则周长的最小值为，
故选：B．
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
11．C
【解析】取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．
解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，
∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，
∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，
∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，
∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；
∵EG⊥BC，PE=EQ，
∴PG＝GQ，
∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，
∴AE＝EB＝BH＝HC，
∴△EBH是等边三角形，
∵EG⊥BH，
∴BG＝GH，
∴PB＝HQ，
∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；
∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，
∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，
∴∠PEB＝∠QEH，
∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，
∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，
又∵EH＝EH，
∴△PEH≌△FEH（SAS），
∴∠EHP＝∠EHF＝60°，
∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，
∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，
∴EH＝HC，
又∵HF＝HF，
∴△EHF≌△CHF（SAS），
∴FC＝EF，
∴FQ＝FC，故②正确；
④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，
∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，
由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；
综上，正确的有3个，
故选：C．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．
12．B
【解析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，然后分析判断各选项即可.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90° ∠BPQ=90° 60°=30°，
∴BP=2PQ.故③正确，
∵AC=BC.AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，
无法判断BQ=AQ，故②错误，
故选B.
此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
13．D
【解析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长．
延长AD到E，使AD=ED，连接BE，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中，
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴BE=AC，∠BED=∠CAD，
∵，
∴∠CAD=90°，
∴∠BED=∠CAD=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，
∴AC==1.5．
故选D．
本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
14．C
【解析】如图所示过点E作EF⊥BC，根据30°所对边为斜边一半可计算BF长度，进而可计算BD的长度．
解：如图所示过点E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，
∵∠BFE=90°，∠B＝60°，
∴∠BEF=90°-60°=30°
∵AB=3，AE=5，
∴，
∵，
∴，
∵，EF⊥BC于F，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查直角三角形30°所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
15．C
【解析】根据三角形的外角性质以及直角三角形两个锐角互余可判断A选项，根据含30度角的直角三角形的性质，即可判断B选项，只有时，C选项才成立，即可作出判断，根据含30度角的直角三角形的性质，设，，分别表示出即可判断D选项．
解：∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，
，
，
故A成立，不符合题意，
中，，
，
故B成立，不符合题意，
若，
则，
但不一定相等，
故C不一定成立，符合题意，
中，，则，
中，，则，
设，，
，
，
，，
OE＋OF＝，
故D选项成立，不符题意，
故选C
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
16．C
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
17．C
【解析】根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．
∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，
∴，即点的纵坐标是
∵以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，
∴，点的纵坐标是，即
∵以为边在右侧作等边三角形
同理，得点的纵坐标是
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即
故选：C．
本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
18．D
【解析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为．
解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
19．C
【解析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
解：如图所示：连接、．
①平分，，，
．
①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．
又，，
．
故④正确．
故选：C．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
20．D
【解析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA=∠PAE=60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由SAS可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
解：如图，连接BP，
∵AC=BC，∠ABC=30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP=BP，
∵AP=PE，
∴AP=PB=PE，
∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，故①正确；
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，
∴∠PAE=∠PEA=60°，
∴△PAE是等边三角形，故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE=AP，
∴AE=AP′，
∵∠CAD=∠CAP+∠PAD=30°，
∴2∠CAP+2∠PAD=60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD=60°-∠PAC，
∴∠P′AC=∠EAC，
∵AC=AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′=CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD=P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE=CP′=CP+PD+DP′=CP+2PD，
∴CE-CP=2PD．故③正确；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，
∵CG=CP，∠BCD=60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP=∠PCG=60°，
∴∠ECP=∠PGB=120°，且EP=PB，∠PEB=∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE=GB，
∴AC=BC=BG+CG=EC+CP，
∵∠ABC=30°，AF⊥BE，
∴AF=AB=AD，
∵S△ACB=CB×AF=（EC+CP）×AF=EC×AF+CP×AD=S四边形AECP，
∴S四边形AECP=S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②③④．
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分结的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
21．C
【解析】延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，证明可得是等边三角形，进而证明，可得，设，则，根据三角形的内角和以及外角的性质可得，，建立方程求解即可．
如图，延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，
，，
，
，
，
，
，
Rt△BFE中，∠BEF=30°，则FE=2BF
∴HE=HF
，
即，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
在与中
，
，
即，
，
即．
故选：C．
本题主要考了全等三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，证明是等边三角形解答本题的关键．
22．
【解析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝3，BE＝6，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，求出△BDE是直角三角形是解题的关键．
23．
【解析】根据平行线的性质和角平分线的性质解答即可．
解：过D作DG⊥AC，
∵DE∥AB，
∴∠GED=∠CAB=30°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD=15°，
∴∠EDA=30°-15°=15°，
∴AE=ED=2，
在Rt△GED中，∠GED=30°，DE=2，
∴DG=，
∵DF⊥AB，AD是∠CAB的平分线，
∴DF=DG=，
故答案为：．
本题考查角平分线的性质，关键是根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
24．4
【解析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可.
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm，
∴该直角三角形斜边长度为4cm，
故答案为：4.
本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
25．6
【解析】连接BC，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果．
解：连接BC，
∵点D是AB中点且于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴，
∵点E是AC中点且于点E，
∴BE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，含角的直角三角形的特殊性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个知识点是解题关键．
26．4
【解析】先找的点关于的对称点，连接与， 与，PE+QE的最小值等于长度，通过直角三角形的相关性质可计算出AQ的长度，进而可算出的长度．
解：如图所示，在上取一点，使得，
，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是的角平分线，
∴是点关于的对称点，
连接与，
∵PQBD，
∴且，
∵，，
∴，
∴（直角三角形30°所对边等于斜边的一半），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴,
故PE+QE的最小值等于
故答案为：4．
本题考查，轴对称的应用，最短路径问题，直角三角形的性质，能够构造合适的辅助线是解决本题的关键．
27．8
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，根据等腰三角形的三线合一，可知DE=EB=DB=2，进而得出AE=4，再利用含30°的直角三角形性质可得出AC的长.
解：过点C作CE⊥AB于点E
∵CB＝CD，BD＝4
∴DE=EB=DB=2
又AD＝2
∴AE=AD+ DE =4
∵∠BAC＝60°，CE⊥AB
∴∠ACE＝30°
∴AC=2AE=8
故答案为：8.
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，结合等腰三角形的性质求AE的长是解题的关键.
28．75°或15°或30°
【解析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
解：如图①：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
如图③，
∵BD⊥CD，BD＝BC，
∴∠C＝30°，
∴这个三角形的底角为：75°或30°或15°．
故答案为：75°或15°或30°．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并求出顶角和底角的度数是解题的关键．
29．①③④
【解析】根据SAS证明△ACE≌△DCB可判断①；根据△ACD和△BCE是等边三角形，但AC不一定等于BC可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC，故可判断④．
解：①∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DG，故①正确；
②∵AC=DC，BC=EC，∠ACD =∠BCE=60°，
∴△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD=AC=DC，BE=BC=EC，
但AC不一定等于BC，
故AD不一定等于BE，所以②错误；
③∵∠APB是△APD的外角，
∴∠APD=∠ADP+∠DAP
由①得△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
∵AC=DC
∴∠CAD=∠CDA
∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故③正确；
④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，
∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC，故④正确；
故答案为：①③④．
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．
30．4.5
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°-60°=30°，
∴AD=AB=×9=4.5，
∴DF=4.5．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题关键．
31．4
【解析】如图，过作于H， 再证明 再求解 最后利用等腰三角形的性质可得答案．
解：如图，过作于H，
故答案为：4
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”是解本题的关键．
32．①②④
【解析】由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE=DC，∠ADC=∠ABE，求出∠BOD=60°，①正确；②正确；∠ADB=∠AEC=60°，但不能推出∠ADC=∠AEB，则∠BDO=∠CEO错误，即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB=∠ABC=60°，推出∠ACB=30°，则BC⊥CE，④正确．
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵∠ACE=60°，
∴∠ECB=90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
33．3
【解析】取BC的中点G，连接MG，从而得出BG=CG=6，根据旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°，然后根据等边三角形的性质可得AB=BC，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=30°，然后利用SAS证出△NBH≌△MBG，从而得出HN=GM，故HN的最小值即为GM的最小值，根据垂线段最短，即可当GM⊥CH时，GM最小，求出此时的GM即可．
解:如图，取BC的中点G，连接MG
∴BG=CG==6
由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°
∵等边中，CH为AB边上的高
∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=
∴BH=BG，∠MBN=∠ABC
∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA
∴∠NBH=∠MBG
在△NBH和△MBG中
∴△NBH≌△MBG(SAS)
∴HN=GM
∴长度的最小值即为GM长度的最小值
根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小
此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°
∴GM=
即长度的最小值为3．
故答案为：3．
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
34．-6≤m≤-3
【解析】利用分类讨论的思想计算出临界点，进而求出m的取值范围.
解：①当点B1与点A重合时
∵直线l垂直平分AB
∴PA=PB
∵∠ABO＝60°
∴△PAB是等边三角形
∴PB=AB
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB=3
∴∠OAB＝30°
∴AB=2OB=6
∴PB=AB=6
∴OP=3
∴m=-3
②当点O1落在直线a上时
同理可证△OO1P为等边三角形
∵AB∥OO1，OB∥AO1
∴四边形ABOO1是平行四边形
∴OO1=AB=6
∴OP=OO1=6
∴m=-6
∴m的取值范围是-6≤m≤-3
故答案为：-6≤m≤-3
本题考查了坐标与图形的变化-对称，解答本题的关键是结合图形，分情况讨论.
35．（1）证明见解析；（2）12．
【解析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；
（2）根据直角三角形中， 30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．
（1）证明：连接BE，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°．
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE，
∴AE=DE；
（2）在△CDE中，
∵∠CDE=90°，∠C=30°，
∴DE=CE，
∴CE=2DE=2AE=12
本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形性质；直角三角形中30°所对边为斜边的一半是本题解题关键.
36．(1)
(2)60°
【解析】（1）由题意知，，证明，进而可证；
（2）由（1）可知，，进而可得的值．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形
∴，
在和中
∵
∴
∴．
(2)
解：由（1）可知
∵
∴．
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
37．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
38．(1)证明见详解．
(2)2
【解析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB=∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B=∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解得∠E＝∠BCE＝∠ACB＝30°．从而得出DF＝CF＝2．
(1)
证明：∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠ACB＝∠BCE．
在△ACB和△FCE中
,
∴△ACB≌△FCE．
∴AB＝FE．
(2)
∵AB∥CE，
∴∠B＝∠BCE．
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB．
∴EF＝FC．
∵AB＝FE，AB＝4，
∴FC＝4．
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°．
∴∠E＋∠BCE＋∠ACB＝90°．
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB＝30°．
∴DF＝CF＝2．
此题考查全等三角形的判定和性质以及有一个角是30°的直角三角形的性质，解题的关键是根据AAS证明△ABC与△FEC全等解答．
39．(1)①；②．
(2)，，理由见解析．
【解析】（1）①由等边三角形的性质可推出，从而可证明，即可利用“SAS”证明，即得出，最后由和，即可求出的大小；
②由①结合全等三角形的性质即可直接得出．
（2）由等腰直角三角形的性质可推出，．根据，可证明，从而可利用“SAS”证明，得出．再根据和，即可求出的大小．根据等腰直角三角形的性质可知，即推出，从而即可得出．
(1)
解：①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即．
∴，
∴，
∴．
②∵，
∴．
(2)
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵A、D、E在同一直线上，
∴，
∴．
∵CM为△DCE中DE边上的高，
∴，即．
∵，
∴
本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握各知识点是解题的关键．
40．（1）或；（2）不变，60°；（3）不变，120°
【解析】（1）由题意得出AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况进行求解；
（2）根据等边三角形的性质证明，即可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（3）通过证明△PBC≌△QCA得出，利用三角形的内角和定理得出，进而求解．
解：（1）∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，
解得，t＝，
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴，
解得，t＝，
∴当t为s或s 时，△PBQ为直角三角形；
故答案为：或；
（2）不变，，
正△ABC中，，，，
，
，
，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；
（3）不变，，
在正△ABC中，，，
，又由条件得，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
，
又，
．
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ＝120°．
本题考查等边三角形的性质、含直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及其推论，一元一次方程的应用等知识，（1）中注意分类讨论、（2）（3）中证明三角形全等是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强．
41．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【解析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断；
（2）利用，则，得出，然后问题可求证；
（3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证．
（1）证明：直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
解：（2）成立，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴△DFE是等边三角形．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
42．(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AF＝AE+BC.
【解析】(1)①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，可得结论；
②由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠EBC=60°，由平行线的判定可得结论；
(2)如图2，在 FA 上截取 FM＝AE，连接 DM，由“SAS”可证△AED≌△MFD，可得DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，可证∠ADM＝∠BAC，由“SAS”可证△ABC≌△DAM，可得AM＝BC，可得结论.
证明：(1)①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，
∴△ABC，△DEF 为等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE 和△ACD 中，，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD＝BE，
∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，
即AF＝AE+AD；
②∵△BCE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，
∴∠EBC＋∠DAE=∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，
∴AD∥BC.
(2)如图2，在FA上截取FM＝AE，连接DM，
∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，
∴∠AED＝∠MFD，
在△AED 和△MFD中，
，
∴△AED≌△MFD(SAS)，
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF，
∴∠ADM＝∠BAC，
在△ABC 和△DAM 中，
∴△ABC≌△DAM(SAS)，
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF.
即AF＝AE+BC.
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和等边三角形的判定及性质，掌握用截长补短法构造全等三角形、等边对等角和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键.
43．(1)答案见解析；
(2)等边三角形，答案见解析．
【解析】（1）用SAS定理证明三角形全等；
（2）由△BDF≌△CED得到∠BFD＝∠CDE，然后利用三角形外角的性质求得∠B＝∠1＝60°，从而判定△ABC的形状．
(1)
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
∴△BDF≌△CED（SAS）；
(2)
△ABC是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△BDF≌△CED，
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠EDF+∠CDE，
∴∠B＝∠EDF＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质，外角的性质、等边三角形的判定，做题的关键是证明△BDF≌△CED．
44．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【解析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；
（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．
(1)
证明：如图
①∵为等边三角形，
∴，
又为中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴．
(2)
仍然成立，理由如下：
如图，过点D作DM//BC交AC于M
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴．
(3)
的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．
作交的延长线于，
易证为等边三角形，
，，
而，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．(1)见解析;(2) 60°+;(3)见解析.
【解析】（1）正确画图；
（2）根据对称得：BM是AD的垂直平分线，则BA=BD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
（3）在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF，如图，先证明△BPF是等边三角形，再证明△BFC≌△BPD，则CF=PD=2PE．根据线段的和可得结论．
（1）如图所示：
（2∵点A与点D关于BM对称，∴BM是AD的垂直平分线，∴BA=BD．
∵∠ABM=α，∴∠ABD=2∠ABM=2α．
∵等边△ABC，∴BA=CB=BD，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD =60°－，∴∠BDC=∠DCB=（180°∠DBC）=60°+．
（3）结论：PB=PC+2PE．证明如下：
在射线PD上截取PF使PF=PB，连接BF．
∵BA=BD，∠ABD=，∴∠BDA=∠BAD=90° ．
∵∠BDC=60°+，∴∠PDE=180－（∠BDA+∠BDC）=30°．
∵∠DEP=90°，∴PD=2PE．
∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°，PF=PB，∴△BPF是等边三角形，∴∠BPF=∠BFP=60°．
∵∠BDC=∠DCB，∴∠BDP=∠BCF．
在△BFC和△BPD中，∵ ，∴△BFC≌△BPD，∴CF=PD=2PE，∴PB= PC+BF=PC+2PE．
本题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解答本题的关键．
46．(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【解析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．
(1)
AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；
(2)
猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，
∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+BD．
(3)
作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示：
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD=，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB=，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG=，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC=CG=FG=，
∵AE≤AF+FG+EG，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为．
故答案为：．
本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
47．（1）见详解；（2）①见详解；②ME=BD，理由见详解.
【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①易证BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解题；
②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；
（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴BD=AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME=BD，
理由：连接MC，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA，∠EMC=120°，
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
48．(1)见解析
(2)，3
(3)m＝105，n＝150
【解析】（1）由条件易证，得，即可得证．
（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时， AP有最小值，即AD⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）为与的角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°”及角平分线定义，即可表示出，从而得到m，n的值．
(1)
解：在和中，如图1
即
(2)
解：
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值
(3)
解：如图2，设则
为与的角平分线的交点
即
本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
49．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【解析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．证明得到，进一步证明即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，作DH⊥AB于H．
∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
(2)
如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．
，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
(3)
解：如图3中，作CH⊥MN于H．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．