2022-2023学年人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程 导学案（含答案）

21.3实际问题与一元二次方程
【学习目标】
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题。
【学习重点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
【学习难点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。
【学习过程】
一、自学指导。
1．问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
2．分析：封面的长宽之比是27：21＝ ，中央的长方形的长宽之比也应是 ，若设中央的长方形的长和宽分别是 和 ，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 。
3．探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试。
二、自学检测。
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
3．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
4．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）。如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽。
三、合作探究。
（一）小组合作。
如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144m2，求马路的宽。
（二）跟踪练习。
1．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条（图中阴影部分），横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度。（精确到0.1cm）
2．用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2。
（1）求此长方形的宽是多少？
（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗？若能，说明围法。
（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2），长方形的宽为x（cm），求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？
四、巩固练习
一、单选题
1．把48张图片平均分给若干名学生，每人分得的图片数比学生人数少2．设学生有人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600
3．杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80
二、填空题
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．
7．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．
三、解答题
8．某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm．
（1）填空：养鸡场DE边的长为 　 　m（用含x的代数式表示）；
（2）请你列出方程，求出问题的解．
9．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
(1)求出m的值；
(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
10．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
2．C
3．D
4．C
5．A
6．或
7．x（x﹣1）=21
8．（1）（26﹣2x）；（2）养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m
9．(1)10
(2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为
10．(1)20%
(2)18个
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