2022--2023学年人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 导学案（含答案）

22.2二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1．使学生掌握二次函数与x轴交点个数的判断方法。
2．理解二次函数与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系。
【学习重难点】
二次函数与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系。
【学习过程】
一、习题导入。
1．解下列一元二次方程。
2．（1）二次函数，，的图象如图示。
每个图象与x轴有几个交点？
（2）二次函数的图象和x轴交点横坐标与一元二次方程的根有什么关系？
三、探究。
（1）求二次函数图象与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则
解得：，；
∴A（1，0），B（2，0）
你发现方程的解是A、B的横坐标。
结论1：方程的解就是抛物线与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程的两个根是，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0）
（3）二次函数的图象和x轴交点横坐标与一元二次方程的根有什么关系？
结论2：
抛物线与x轴的交点个数可由一元二次方程的根的情况说明：
1．得到一元二次方程有两个不等的实数根得到抛物线与x轴有两个交点——相交。
2．得到一元二次方程有两个相等的实数根得到抛物线与x轴有一个交点——相切。
3．得到一元二次方程没有实数根得到抛物线与x轴没有交点——相离。
（2）若一元二次方程的两个根是x1、x2，则由根与系数的关系得：，。
若抛物线与x轴的两个交点坐标分别是A（，0），B（，0），则是否有同样的结论呢？
（3）若抛物线与x轴的两个交点坐标分别是A（，0），B（，0），则，。。
（4）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗？
这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程。
四、基础训练。
一、单选题
1．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根
2．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
3．已知二次函数的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4．已知函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且k≠0 D．且k≠0
5．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
6．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
7．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数，且）与直线y＝2交于A、B两点．若AB＝2，则m的值为______．
三、解答题
9．（1）若将y＝x2﹣x﹣图象沿x轴向左平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
（2）根据图象，写出当y＞0时，x的取值范围．
10．已知二次函数表达式为y=x2-4x+1．
(1)求出这个二次函数图象的对称轴；
(2)求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．
11．设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表：
… …
… …
(1)试判断该函数图象的开口方向；
(2)当时，求函数y的值；
(3)根据你的解题经验，直接写出的解．
参考答案：
1．B
2．D
3．A
4．B
5．D
6．（答案不唯一）
7．
8．
9．（1）y＝x2+x﹣ ；（2）x＜﹣1或x＞3
10．(1)直线x=2
(2)与x轴的交点坐标为(2+,0)和(2-,0)，与y轴的交点坐标为（0，1）
11．(1)抛物线开口向上
(2)
(3)
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