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北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·西城期末）若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为、、成等差数列，则，可得.
故答案为：A.
【分析】由等差中项的性质可得答案.
2．（2022高二下·西城期末）函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．－2 B．－4 C．－ D．－
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题设，故.
故答案为：D
【分析】 函数在x=2处的瞬时变化率为曲线在该点处的导数，计算可得答案.
3．（2017高二下·临川期末）将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】投掷4次的所有可能结果为 种，其中恰好出现2次正面向上的事件有 种，据此可得，题中所求事件的概率值为： 故答案为：B.
【分析】根据题意利用古典概率的等于求出即可。
4．（2022高二下·西城期末）已知函数，为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，.
故答案为：B.
【分析】根据导数的公式即可得答案.
5．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，，则＝（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，又同号，所以．
故答案为：C．
【分析】利用等比数列的性质求解可得答案.
6．（2022高二下·西城期末）若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列满足，
，
，，则，
等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
当的前项和最大时的值为8.
故答案为：B.
【分析】 由题意和等差数列的性质求出的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此求出答案.
7．（2022高二下·西城期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设，，则，故，
所以，
令，可得或，由图知：且处有极小值，
所以，即，，经验证满足题设，
故.
故答案为：B
【分析】 由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设，即可得答案.
8．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，
则其通项公式为：，
所以
，
令，所以当或时，t有最大值，无最小值，
即有最大值，无最小值，
结合前面，当为正数时，为正数，
当为负数时，为负数，
所以当时，有最小项，当时，有最大项.
故答案为：A.
【分析】根据题意，求出等比数列的公比，即可得的通项公式，由此可得Tn的表达式，分n为偶数和奇数两种情况讨论，分析可得答案.
9．（2022高二下·西城期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：D
【分析】 由已知条件推导出对于恒成立，由此能求出实数的取值范围.
10．（2022高二下·西城期末）设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，
，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以，
故答案为：C．
【分析】 利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由|PQ|的最小值即为两切点间的距离，即可求解出答案.
二、填空题
11．（2022高二下·西城期末）设函数，则 ．
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，所以；
故答案为：1
【分析】利用求导法则，先求出，再求即可.
12．（2022高二下·西城期末）已知{}是公比为q的等比数列，其前n项和为．若，则q＝ ．
【答案】±2
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，由，得显然不成立；
当时，由，得，；
故答案为：±2.
【分析】 根据题意，由等比数列的前n项和公式可得，求解可得q的值.
13．（2022高二下·西城期末）已知正方形ABCD的边长为1.取正方形ABCD各边的中点，，，，作第2个正方形A1B1C1D1；然后再取正方形A1B1C1D1各边的中点，作第3个正方形；…，依此方法一直继续下去． 给出下列四个结论：
①从正方形ABCD开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列；
②从正方形ABCD开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列；
③从正方形ABCD开始，所有这些正方形周长之和趋近于8；
④从正方形ABCD开始，所有这些正方形面积之和趋近于2.
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【知识点】根据实际问题选择函数类型；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，第1个正方形边长为1，则周长为4，面积为1；
第2个正方形边长为，则周长为，面积为；
第3个正方形边长为，则周长为，面积为；
……
第n个正方形边长为，则周长为，面积为，
周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；
所有正方形周长之和为，故周长之和无限接近于，③错误；
所有正方形面积之和为，故面积之和趋近于2，④正确.
故答案为：②④
【分析】根据规律确定各正方形周长、面积所成数列的性质，结合等比数列前n项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值，逐项进行判断，可得答案.
14．（2022高二下·西城期末）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.4 p 0.4
则P＝ ；D（X）＝ ．
【答案】0.4；0.8
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据随机变量分布列的性质，知，所以，
，；
故答案为：0.4；0.8.
【分析】 利用分布列的性质求解p，然后求解期望和方差即可.
15．（2022高二下·西城期末）若曲线在处的切线方程为，则 ； ．
【答案】2；e
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
又函数处的切线方程为，
所以，且，
解得，；
故答案为：2；e.
【分析】 求出原函数的导函数，利用函数在x=2处的导数值等于切线的斜率，且函数在x=2处的函数值相等，列方程组求解出a与b的值.
三、解答题
16．（2022高二下·西城期末）已知函数．
（1）求f（x）的极值；
（2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：，
时，，递增，时，，递减，
所以极小值．无极大值．
（2）解：由（1）知在上递减，在上递增，
，，．
所以最大值为，最小值为-1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出导函数f'(x)，由f'(x)>0得增区间，由f'(x)<0得减区间，从而得 的极值；
(2)由(1)得函数在[-1，2]上的单调性，计算出区间端点处的函数值，即可求出在区间[－1，2]上的最大值和最小值．
17．（2022高二下·西城期末）在等差数列{}中，
（1）求{}的通项公式；
（2）若是公比为2的等比数列，，求数列{}的前n项和．
【答案】（1）解：设公差为，
则，解得，
则，所以，
所以
（2）解：，
因为是公比为2的等比数列，
所以，
所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)直接利用等差数列的性质求出首项和公差，进而求出数列 {}的通项公式；
(2)利用分组法的应用求出数列{}的前n项和．
18．（2022高二下·西城期末）某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲 30 20 40 10
乙 20 25 15 40
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（1）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
（2）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．
【答案】（1）解：由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为
（2）解：易知的可能值是，，，，的分布列为
2 3 4
0.24 0.52 0.24
（3）解：甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算出一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
(2)得出X的可能值是2， 3， 4，计算出概率的分布列，由期望公式计算出 X的分布列和数学期望E（X）；
(3)直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，午餐选择B餐厅用餐的概率，比较即得结论.
19．（2022高二下·西城期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
（1）把商品的利润表示为生产量x的函数；
（2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【答案】（1）解：由题意，利润
（2）解：由（1），当时，，
所以，令，则或（舍），
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时递减，此时最大值为（万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为90百件.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用W(x)=S(x)-C(x)，即可求出商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)利用导数求W (x)在020．（2022高二下·西城期末）已知函数．
（1）判断f（x）在区间上的单调性，并加以证明；
（2）设，若对恒成立，求a的最小值．
【答案】（1）解：因为，且，所以，所以在区间上单调递减
（2）解：因为，所以，
又因为当，时，，
由（1）知在区间上的单调递减，
所以对恒成立，
等价于对恒成立，
等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，，则，
令，得，
所以当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以a的最小值为-e.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)对f(x)求导，利用导数的正负判断f(x)在区间上的单调性；
(2)先判断出 ，， 结合(1)中f (x)的单调性，将 对恒成立， 等价转化为 对恒成立，令， ，利用导数求出 的最大值即可求解出 a的最小值．
21．（2022高二下·西城期末）已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，则称数列{}具有性质P．
（1）已知，判断数列{}，{}是否具有性质P；
（2）若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数；
（3）若，求具有性质P的数列{}的个数．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，
所以数列具有性质，
因为，所以取，则，
因为，
所以不存在一项，
所以数列不具有性质
（2）证明：设数列的公差为，
因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得，
两式相减，得，即，
因为，所以，
所以的各项均为整数．
（3）解：由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数，
首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，
由题设，中存在某项，且，所以，
从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；
其次证明为的约数，
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数，
由为正整数，所以为的正约数，
因为，所以的正约数共有个，
对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，
所以具有性质的数列共有12个．
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据数列具有性质P的定义即可判断出数列{}，{}是否具有性质P；
(2)设数列的公差为d，由题意， 存在使得，同理，存在使得，两式相减，根据等差数列的定义即可得证的各项均为整数；
(3)由题意结合(2)知的各项均为整数，所以d为整数，首先证明d为正整数，其次证明 为的约数，从而即可求解出具有性质P的数列{}的个数．
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北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·西城期末）若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·西城期末）函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．－2 B．－4 C．－ D．－
3．（2017高二下·临川期末）将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·西城期末）已知函数，为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，，则＝（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
6．（2022高二下·西城期末）若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2022高二下·西城期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
9．（2022高二下·西城期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
10．（2022高二下·西城期末）设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
11．（2022高二下·西城期末）设函数，则 ．
12．（2022高二下·西城期末）已知{}是公比为q的等比数列，其前n项和为．若，则q＝ ．
13．（2022高二下·西城期末）已知正方形ABCD的边长为1.取正方形ABCD各边的中点，，，，作第2个正方形A1B1C1D1；然后再取正方形A1B1C1D1各边的中点，作第3个正方形；…，依此方法一直继续下去． 给出下列四个结论：
①从正方形ABCD开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列；
②从正方形ABCD开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列；
③从正方形ABCD开始，所有这些正方形周长之和趋近于8；
④从正方形ABCD开始，所有这些正方形面积之和趋近于2.
其中所有正确结论的序号是 ．
14．（2022高二下·西城期末）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.4 p 0.4
则P＝ ；D（X）＝ ．
15．（2022高二下·西城期末）若曲线在处的切线方程为，则 ； ．
三、解答题
16．（2022高二下·西城期末）已知函数．
（1）求f（x）的极值；
（2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．
17．（2022高二下·西城期末）在等差数列{}中，
（1）求{}的通项公式；
（2）若是公比为2的等比数列，，求数列{}的前n项和．
18．（2022高二下·西城期末）某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲 30 20 40 10
乙 20 25 15 40
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（1）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
（2）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．
19．（2022高二下·西城期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
（1）把商品的利润表示为生产量x的函数；
（2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
20．（2022高二下·西城期末）已知函数．
（1）判断f（x）在区间上的单调性，并加以证明；
（2）设，若对恒成立，求a的最小值．
21．（2022高二下·西城期末）已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，则称数列{}具有性质P．
（1）已知，判断数列{}，{}是否具有性质P；
（2）若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数；
（3）若，求具有性质P的数列{}的个数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为、、成等差数列，则，可得.
故答案为：A.
【分析】由等差中项的性质可得答案.
2．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题设，故.
故答案为：D
【分析】 函数在x=2处的瞬时变化率为曲线在该点处的导数，计算可得答案.
3．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】投掷4次的所有可能结果为 种，其中恰好出现2次正面向上的事件有 种，据此可得，题中所求事件的概率值为： 故答案为：B.
【分析】根据题意利用古典概率的等于求出即可。
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，.
故答案为：B.
【分析】根据导数的公式即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，又同号，所以．
故答案为：C．
【分析】利用等比数列的性质求解可得答案.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列满足，
，
，，则，
等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
当的前项和最大时的值为8.
故答案为：B.
【分析】 由题意和等差数列的性质求出的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此求出答案.
7．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题设，，则，故，
所以，
令，可得或，由图知：且处有极小值，
所以，即，，经验证满足题设，
故.
故答案为：B
【分析】 由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设，即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，
则其通项公式为：，
所以
，
令，所以当或时，t有最大值，无最小值，
即有最大值，无最小值，
结合前面，当为正数时，为正数，
当为负数时，为负数，
所以当时，有最小项，当时，有最大项.
故答案为：A.
【分析】根据题意，求出等比数列的公比，即可得的通项公式，由此可得Tn的表达式，分n为偶数和奇数两种情况讨论，分析可得答案.
9．【答案】D
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：D
【分析】 由已知条件推导出对于恒成立，由此能求出实数的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，
，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以，
故答案为：C．
【分析】 利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由|PQ|的最小值即为两切点间的距离，即可求解出答案.
11．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，所以；
故答案为：1
【分析】利用求导法则，先求出，再求即可.
12．【答案】±2
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，由，得显然不成立；
当时，由，得，；
故答案为：±2.
【分析】 根据题意，由等比数列的前n项和公式可得，求解可得q的值.
13．【答案】②④
【知识点】根据实际问题选择函数类型；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，第1个正方形边长为1，则周长为4，面积为1；
第2个正方形边长为，则周长为，面积为；
第3个正方形边长为，则周长为，面积为；
……
第n个正方形边长为，则周长为，面积为，
周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；
所有正方形周长之和为，故周长之和无限接近于，③错误；
所有正方形面积之和为，故面积之和趋近于2，④正确.
故答案为：②④
【分析】根据规律确定各正方形周长、面积所成数列的性质，结合等比数列前n项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值，逐项进行判断，可得答案.
14．【答案】0.4；0.8
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】根据随机变量分布列的性质，知，所以，
，；
故答案为：0.4；0.8.
【分析】 利用分布列的性质求解p，然后求解期望和方差即可.
15．【答案】2；e
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
又函数处的切线方程为，
所以，且，
解得，；
故答案为：2；e.
【分析】 求出原函数的导函数，利用函数在x=2处的导数值等于切线的斜率，且函数在x=2处的函数值相等，列方程组求解出a与b的值.
16．【答案】（1）解：，
时，，递增，时，，递减，
所以极小值．无极大值．
（2）解：由（1）知在上递减，在上递增，
，，．
所以最大值为，最小值为-1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出导函数f'(x)，由f'(x)>0得增区间，由f'(x)<0得减区间，从而得 的极值；
(2)由(1)得函数在[-1，2]上的单调性，计算出区间端点处的函数值，即可求出在区间[－1，2]上的最大值和最小值．
17．【答案】（1）解：设公差为，
则，解得，
则，所以，
所以
（2）解：，
因为是公比为2的等比数列，
所以，
所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)直接利用等差数列的性质求出首项和公差，进而求出数列 {}的通项公式；
(2)利用分组法的应用求出数列{}的前n项和．
18．【答案】（1）解：由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为
（2）解：易知的可能值是，，，，的分布列为
2 3 4
0.24 0.52 0.24
（3）解：甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为，所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算出一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
(2)得出X的可能值是2， 3， 4，计算出概率的分布列，由期望公式计算出 X的分布列和数学期望E（X）；
(3)直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，午餐选择B餐厅用餐的概率，比较即得结论.
19．【答案】（1）解：由题意，利润
（2）解：由（1），当时，，
所以，令，则或（舍），
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时递减，此时最大值为（万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为90百件.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用W(x)=S(x)-C(x)，即可求出商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)利用导数求W (x)在020．【答案】（1）解：因为，且，所以，所以在区间上单调递减
（2）解：因为，所以，
又因为当，时，，
由（1）知在区间上的单调递减，
所以对恒成立，
等价于对恒成立，
等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，，则，
令，得，
所以当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以a的最小值为-e.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)对f(x)求导，利用导数的正负判断f(x)在区间上的单调性；
(2)先判断出 ，， 结合(1)中f (x)的单调性，将 对恒成立， 等价转化为 对恒成立，令， ，利用导数求出 的最大值即可求解出 a的最小值．
21．【答案】（1）解：因为，所以，
所以对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，
所以数列具有性质，
因为，所以取，则，
因为，
所以不存在一项，
所以数列不具有性质
（2）证明：设数列的公差为，
因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得，
两式相减，得，即，
因为，所以，
所以的各项均为整数．
（3）解：由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数，
首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，
由题设，中存在某项，且，所以，
从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；
其次证明为的约数，
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数，
由为正整数，所以为的正约数，
因为，所以的正约数共有个，
对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，
所以具有性质的数列共有12个．
【知识点】归纳推理
【解析】【分析】(1)根据数列具有性质P的定义即可判断出数列{}，{}是否具有性质P；
(2)设数列的公差为d，由题意， 存在使得，同理，存在使得，两式相减，根据等差数列的定义即可得证的各项均为整数；
(3)由题意结合(2)知的各项均为整数，所以d为整数，首先证明d为正整数，其次证明 为的约数，从而即可求解出具有性质P的数列{}的个数．
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