福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2022高二下·福州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·福州期末）若复数z满足，则复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高二下·福州期末）“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2022高二下·福州期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·福州期末）函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（ ）
A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣]
C．[﹣，0] D．[﹣，0]
6．（2022高二下·福州期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021高三上·潍坊期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．16
8．（2020高二上·北京期中）已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
二、多选题
9．（2022高二下·福州期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2021高三上·南京月考）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲
乙
在这次射击中，下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定
D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
11．（2022高二下·福州期末）已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF D．BF与平面ACFE所成角为
12．（2022高二下·福州期末）在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙2个家庭都回答错的概率是，乙、丙2个家庭都回答对的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．乙家庭回答对这道题的概率为
B．丙家庭回答对这道题的概率为
C．有0个家庭回答对的概率为
D．有1个家庭回答对的概率为
三、填空题
13．（2022高二下·福州期末）函数则 ．
14．（2022高二下·福州期末）已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为 ．
15．（2022高二下·福州期末）已知函数（，）部分图像如图所示， ．
16．（2022高二下·福州期末）函数的零点所在的区间是则整数 ．
四、解答题
17．（2021高一下·淮安期末）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
18．（2022高二下·福州期末）已知函数的最小值为-2.
（1）求实数的值；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.
19．（2022高二下·福州期末）已知向量，，函数
（1）求的最小正周期及图像的对称轴方程；
（2）先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度得到函数的图像，若函数在区间内有两个零点，求m的取值范围．
20．（2022高二下·福州期末）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
（1）求证：平面ACF：
（2）求点B到平面ACF的距离．
21．（2022高二下·福州期末）已知函数，函数.
（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，函数的最小值为1，求实数a的值.
22．（2022高二下·福州期末）党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出户（，）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元.（参考数据：，，，）.
（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；
（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
故答案为：C
【分析】化简求出集合M，再利用交集的定义进行运算可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意 ，在复平面上对应的点为 ，在第一象限；
故答案为：A.
【分析】 根据复数代数形式的乘法法则化简复数z，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应点的坐标，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】若，则，反过来，若，只能推出，不一定，例如，此时m＜n，所以“”是的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，，．
故答案为：D．
【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，求解可得答案.
5．【答案】D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得，f（x）＝sinx﹣cosx＝，
令
解得
所以当k=0时，在上的单调区间为
∴f（x）单调递增区间是，
故答案为：D.
【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）单调递增区间.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
则函数在上为奇函数，故排除B、D.
，当时，，即
所以函数在区间上单调递减，故排除C
故答案为：A
【分析】由判断函数f (x)的奇偶性以及利用导数得出区间的单调性，逐项进行判断，可得答案.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值 。
8．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
9．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
，A符合题意，
，B符合题意，
，C符合题意，
，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 结合诱导公式及和差角，二倍角公式，逐项进行化简判断，可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可知，对于A，甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，
所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，A符合题意；
对于B，甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，所以B不符合题意；
对于C，甲成绩的平均数为，
方差为，
乙成绩的平均数为，
方差为，
则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，C符合题意；
对于D，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由极值差、众数以及中位数的公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B,C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
对A，，所以，
则，正确；
对B，，设所成角为，
所以，正确；
对C，，
设是平面DBF的一个法向量，所以，
令x=1，则，所以，则EC⊥平面DBF，正确；
对D，由题意，EA⊥平面ABCD，则EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA与AC交于A，
则DB⊥平面ACFE，则是平面ACFE的一个法向量，
设BF与平面ACFE所成的角为，
所以，错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记“甲家庭回答对这道题”的事件为，“乙家庭回答对这道题”的事件为，
“丙家庭回答对这道题”的事件为，则
且有 ，即
解得 ；
所以A符合题意，B不正确.
有0个家庭回答对的概率为：
；
所以C符合题意.
有1个家庭回答对的概率为：
，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】设事件，列出方程组，解出，计算有0个家庭回答对的概率和有1个家庭回答对的概率，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】，，
由，，
.
故答案为：.
【分析】 结合分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(-1)即可求出答案.
14．【答案】（-1，0）
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题知，在上的投影为，又 ， ，
所以 ， ；
所以 ，即在上的投影为 ；
又的单位向量为 ，所以在上的投影向量为（-1，0）
故答案为：（-1，0） .
【分析】 求出各自的模长以及对应的夹角，再代入投影向量得计算公式求解，即可求出向量在上的投影向量 .
15．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知，，即，
所以.
故答案为：
【分析】 由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得.
16．【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题得所以函数在上单调递增.
又，
所以函数的零点在区间内.
所以
故答案为：0
【分析】求导可得函数在上单调性， 确定f(0)<0，f(1)>0，根据零点存在定理，可求出a的值.
17．【答案】（1）由 可得 ；
这1000名学生每日的平均阅读时间， 分钟；
（2）由于 ，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c， 抽取了2人d，e，
则再从中抽取2人共有 10种不同的抽取方法，
抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为 .
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出a的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出1000名学生每日的平均阅读时间。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出［60，80）抽取了3人， 抽取了2人，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取的这2名学生来自不同组的概率。
18．【答案】（1）解：
.
∵的最小值为-2，∴，解得.
（2）解：由得，∵，∴，
∴，解得，
∵，，∴.
∴.
由正弦定理，得，得，即
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】(1)先结合二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求出实数的值；
(2)结合已知可求A，结合和差角求出sinC，再由正弦定理可求出b，即可得 的长.
19．【答案】（1）解：因为 ，所以，所以， ，由 得 所以的最小正周期为，对称轴方程为
（2）解：由（1）知，由题知 ，函数在区间 内有两个零点，转化为 与有两个交点
所以 ，即的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】 (1)利用诱导公式和辅助角公式可得 ，根据正弦函数的周期性和对称性可求出 的最小正周期及图像的对称轴方程；
(2)根据函数图象变换可得 ，将 的零点转化为y=g(x)与y=m的交点问题，利用三角函数性质可求解出 m的取值范围．
20．【答案】（1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
设面的一个法向量为，，
可得，即，不妨令则，
平面
（2）解：，则点到平面的距离为
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出BE的方向向量以及平面ACF的法向量，求出两向量数量积为0，即可证得 平面ACF ；
(2)可利用空间中点到平面距离公式进行求解，可求出点B到平面ACF的距离．
21．【答案】（1）解：，
∵的定义域为，
恒成立，
当时，不符合，
当时，满足，解得，
∴实数m的取值范围为
（2）解：令，当时，，
则函数化为，.
①当时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍去）；
②当时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍）或；
③时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍去），
综上，.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)由 恒成立， 得关于m的不等式组，求解可得实数m的取值范围；
(2) 令，， 可得 ， ，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值.
22．【答案】（1）解：假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：
每户的平均收入为：，
令，
化简，得，解得：，
因为，， 且，可得：，
所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.
（2）解：由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为，
令，得：，
由题所给数据，知：，所以，，
所以，的最小值为4，，
即至少抽出16户从事包装、销售工作.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得每户的平均收入为： ， 令 ，求解可得从事包装、销售的户数；
(2) 由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为， 由题意得 ， 由此求出至少抽出16户从事包装、销售工作.
1 / 1福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2022高二下·福州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
故答案为：C
【分析】化简求出集合M，再利用交集的定义进行运算可得答案.
2．（2022高二下·福州期末）若复数z满足，则复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意 ，在复平面上对应的点为 ，在第一象限；
故答案为：A.
【分析】 根据复数代数形式的乘法法则化简复数z，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应点的坐标，可得答案.
3．（2022高二下·福州期末）“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】若，则，反过来，若，只能推出，不一定，例如，此时m＜n，所以“”是的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
4．（2022高二下·福州期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意，，．
故答案为：D．
【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，求解可得答案.
5．（2022高二下·福州期末）函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（ ）
A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣]
C．[﹣，0] D．[﹣，0]
【答案】D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得，f（x）＝sinx﹣cosx＝，
令
解得
所以当k=0时，在上的单调区间为
∴f（x）单调递增区间是，
故答案为：D.
【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）单调递增区间.
6．（2022高二下·福州期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
则函数在上为奇函数，故排除B、D.
，当时，，即
所以函数在区间上单调递减，故排除C
故答案为：A
【分析】由判断函数f (x)的奇偶性以及利用导数得出区间的单调性，逐项进行判断，可得答案.
7．（2021高三上·潍坊期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．16
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值 。
8．（2020高二上·北京期中）已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
二、多选题
9．（2022高二下·福州期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
，A符合题意，
，B符合题意，
，C符合题意，
，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 结合诱导公式及和差角，二倍角公式，逐项进行化简判断，可得答案.
10．（2021高三上·南京月考）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲
乙
在这次射击中，下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定
D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可知，对于A，甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，
所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，A符合题意；
对于B，甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，所以B不符合题意；
对于C，甲成绩的平均数为，
方差为，
乙成绩的平均数为，
方差为，
则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，C符合题意；
对于D，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由极值差、众数以及中位数的公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高二下·福州期末）已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE⊥BF B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF D．BF与平面ACFE所成角为
【答案】A,B,C
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
对A，，所以，
则，正确；
对B，，设所成角为，
所以，正确；
对C，，
设是平面DBF的一个法向量，所以，
令x=1，则，所以，则EC⊥平面DBF，正确；
对D，由题意，EA⊥平面ABCD，则EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA与AC交于A，
则DB⊥平面ACFE，则是平面ACFE的一个法向量，
设BF与平面ACFE所成的角为，
所以，错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
12．（2022高二下·福州期末）在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙2个家庭都回答错的概率是，乙、丙2个家庭都回答对的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．乙家庭回答对这道题的概率为
B．丙家庭回答对这道题的概率为
C．有0个家庭回答对的概率为
D．有1个家庭回答对的概率为
【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】记“甲家庭回答对这道题”的事件为，“乙家庭回答对这道题”的事件为，
“丙家庭回答对这道题”的事件为，则
且有 ，即
解得 ；
所以A符合题意，B不正确.
有0个家庭回答对的概率为：
；
所以C符合题意.
有1个家庭回答对的概率为：
，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】设事件，列出方程组，解出，计算有0个家庭回答对的概率和有1个家庭回答对的概率，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高二下·福州期末）函数则 ．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】，，
由，，
.
故答案为：.
【分析】 结合分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(-1)即可求出答案.
14．（2022高二下·福州期末）已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为 ．
【答案】（-1，0）
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题知，在上的投影为，又 ， ，
所以 ， ；
所以 ，即在上的投影为 ；
又的单位向量为 ，所以在上的投影向量为（-1，0）
故答案为：（-1，0） .
【分析】 求出各自的模长以及对应的夹角，再代入投影向量得计算公式求解，即可求出向量在上的投影向量 .
15．（2022高二下·福州期末）已知函数（，）部分图像如图所示， ．
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知，，即，
所以.
故答案为：
【分析】 由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得.
16．（2022高二下·福州期末）函数的零点所在的区间是则整数 ．
【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题得所以函数在上单调递增.
又，
所以函数的零点在区间内.
所以
故答案为：0
【分析】求导可得函数在上单调性， 确定f(0)<0，f(1)>0，根据零点存在定理，可求出a的值.
四、解答题
17．（2021高一下·淮安期末）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
【答案】（1）由 可得 ；
这1000名学生每日的平均阅读时间， 分钟；
（2）由于 ，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c， 抽取了2人d，e，
则再从中抽取2人共有 10种不同的抽取方法，
抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为 .
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出a的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出1000名学生每日的平均阅读时间。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出［60，80）抽取了3人， 抽取了2人，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取的这2名学生来自不同组的概率。
18．（2022高二下·福州期末）已知函数的最小值为-2.
（1）求实数的值；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.
【答案】（1）解：
.
∵的最小值为-2，∴，解得.
（2）解：由得，∵，∴，
∴，解得，
∵，，∴.
∴.
由正弦定理，得，得，即
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】(1)先结合二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求出实数的值；
(2)结合已知可求A，结合和差角求出sinC，再由正弦定理可求出b，即可得 的长.
19．（2022高二下·福州期末）已知向量，，函数
（1）求的最小正周期及图像的对称轴方程；
（2）先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度得到函数的图像，若函数在区间内有两个零点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：因为 ，所以，所以， ，由 得 所以的最小正周期为，对称轴方程为
（2）解：由（1）知，由题知 ，函数在区间 内有两个零点，转化为 与有两个交点
所以 ，即的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】 (1)利用诱导公式和辅助角公式可得 ，根据正弦函数的周期性和对称性可求出 的最小正周期及图像的对称轴方程；
(2)根据函数图象变换可得 ，将 的零点转化为y=g(x)与y=m的交点问题，利用三角函数性质可求解出 m的取值范围．
20．（2022高二下·福州期末）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
（1）求证：平面ACF：
（2）求点B到平面ACF的距离．
【答案】（1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
设面的一个法向量为，，
可得，即，不妨令则，
平面
（2）解：，则点到平面的距离为
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出BE的方向向量以及平面ACF的法向量，求出两向量数量积为0，即可证得 平面ACF ；
(2)可利用空间中点到平面距离公式进行求解，可求出点B到平面ACF的距离．
21．（2022高二下·福州期末）已知函数，函数.
（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，函数的最小值为1，求实数a的值.
【答案】（1）解：，
∵的定义域为，
恒成立，
当时，不符合，
当时，满足，解得，
∴实数m的取值范围为
（2）解：令，当时，，
则函数化为，.
①当时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍去）；
②当时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍）或；
③时，
可得当时y取最小值，且，解得（舍去），
综上，.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】(1)由 恒成立， 得关于m的不等式组，求解可得实数m的取值范围；
(2) 令，， 可得 ， ，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值.
22．（2022高二下·福州期末）党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出户（，）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元.（参考数据：，，，）.
（1）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；
（2）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
【答案】（1）解：假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：
每户的平均收入为：，
令，
化简，得，解得：，
因为，， 且，可得：，
所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.
（2）解：由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为，
令，得：，
由题所给数据，知：，所以，，
所以，的最小值为4，，
即至少抽出16户从事包装、销售工作.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】(1)假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得每户的平均收入为： ， 令 ，求解可得从事包装、销售的户数；
(2) 由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为， 由题意得 ， 由此求出至少抽出16户从事包装、销售工作.
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