河北省保定市部分学校2021-2022学年高二下学期数学7月质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·保定月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．{7}
2．（2022高二下·保定月考）已知复数，则（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．3
3．（2022高二下·保定月考）从写有数字的5张卡片中任取2张，卡片上的数字恰好一奇一偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·保定月考）“，使得成立”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高二下·保定月考）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2022高二下·保定月考）若曲线与相切，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022高二下·保定月考）如图，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·保定月考）如图，在直三棱柱中，为上一点，平面分三棱柱为上下体积相等的两部分，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·保定月考）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·保定月考）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
11．（2022高二下·保定月考）函数的图象按以下次序变换：①每个点的横坐标变为原来的2倍；②图象向右平移个单位长度；③每个点的纵坐标变为原来的3倍.得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的周期为
C．的一条对称轴为 D．在上单调递减
12．（2022高二下·保定月考）已知函数，有两个零点，则k的可能取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
三、填空题
13．（2022高二下·保定月考）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则 .
14．（2022高二下·保定月考）随机变量，则 .（精确到0.0001）.
参考数据：
15．（2022高二下·保定月考）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为 .
16．（2022高二下·保定月考）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为 .
四、解答题
17．（2022高二下·保定月考）已知数列满足：为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
18．（2022高二下·保定月考）在四棱锥中，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．（2022高二下·保定月考）乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”.有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，所以不仅要会打球，还要把乒乓球打到对方球台的指定位置.某个地区的乒乓球训练机构，在众多乒乓球爱好者中，随机抽取50名，检验乒乓球爱好者的水平，要求每个乒乓球爱好者打100个球，打到对方球台的指定位置，每打到指定位置1个球得1分，100个球都打到指定位置，得满分，即100分，将这50名乒乓球爱好者按成绩分成，共5组，制成了如图所示的频率分布直方图（打100个球，每个乒乓球爱好者至少能得50分）.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名乒乓球爱好者成绩的平均数 中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若该地区这样的乒乓球爱好者有2000人，试估计成绩不低于70分这一水平的人数；
（3）若用按比例分配的分层抽样的方法从样本中成绩在，的两组乒乓球爱好者中抽取5人，再在这5人中抽取2人，参加一个乒乓球技术交流会，在抽到的2人中成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望.
20．（2022高二下·保定月考）已知在中，为上一点.
（1）若且为的中点，求；
（2）若为的平分线，当取最大值时，求的面积.
21．（2022高二下·保定月考）已知与外切，与内切.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若是点的轨迹上的两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，直线的斜率存在，的面积为，证明：为定值.
22．（2022高二下·保定月考）已知.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得
所以N，
因为，
故.
故答案为：B
【分析】首先由对数函数的单调性即可得出x的取值范围，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，再把结果代入到概率公式计算出答案。
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点；不等式的综合
【解析】【解答】的最小值为2，故，
“恒成立”，
即“恒成立”，
所以，故.
故是充要条件.
故答案为：C
【分析】结合题意由指、对数函数的单调性，整理化简已知条件再结合充分和必要条件的定义即可得出a的取值范围。
5．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，且，所以各项均不为0，
所以数列为等比数列，设公比为，
则，解得，
所以，则，解得，即，
因为，所以n的最大值为7.
故答案为：C.
【分析】首先由已知的数列的递推公式以及等比数列的通项公式，整理化简计算出首项与公比的取值，从而得出数列的通项公式，结合题意由不等式的性质即可求出n的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】∵，则
设切点坐标为，则有，整理得，即，故
故答案为：B．
【分析】首先对函数求导，代入数值到导函数的解析式由此得出切点的坐标，联立两式整理化简即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故答案为：A.
【分析】首先由双曲线的定义整理化简已知条件，再由三角形中的几何计算关系结合离心率公式，由此即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】作于点，
则平面且，设，则
可证平面，则，
平面分三棱柱为两个体积相等的四棱锥和，
即
取中点为，则即为所求角，
故答案为：A．
【分析】首先由直三棱锥的几何意义结合线面垂直的性质定理即可得出边的大小，再代入到三棱锥的体积公式结合等体积法，结合四棱锥与三棱锥之间的关系，再由中点的性质整理化简即可得出异面直线所称的角的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对A，因为，当且仅当时等号成立，所以，A符合题意；
对B，，所以，B不符合题意；
对C，，当且仅当等号成立，所以，C符合题意；
对D，因为，所以，所以，当且仅当等号成立，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件整理化简原式，然后由基本不等式即可得出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以4为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，A符合题意；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，C符合题意；
因为，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】首先由已知条件结合奇函数的定义整理化简即可得出函数的周期值，然后由周期的定义整理化简不等式，再结合函数的单调性即可得出函数f(x)在指定区间上的单调性，由函数的单调性即可得出大小关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】先将的图象每个点的纵坐标变为原来的，可得，
再将的图象向左平移个单位长度，可得，
将的图象每个点的横坐标变为原来的，可得，
所以，
则的最大值为，A符合题意；的周期为，B不符合题意；
因为，所以的一条对称轴为，C符合题意；
当，，因为在单调递减，所以在上单调递减，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意由函数平移的性质，结合正弦函数的通项和性质由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当时，，故是的一个零点；
当时，由得，即，即；
当时，由得，即，
画出的图象，分别对，画出的图象观察，
当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，符合题意；
当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，不符合题意；
当时，对，则，当时，，所以与在处相切，如图，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意；
当时，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意.
综上，k的可能取值为，ABC符合.
故答案为：ABC.
【分析】首先由已知条件结合函数零点的定义，由绝对值的几何意义整理化简函数g(x)的解析式，由此作出函数的图象，再由数形结合法结合题意即可得出满足题意的k的取值，并代入验证即可得出满足题意的k的取值。
13．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得：准线为，故，则
故答案为：2．
【分析】由抛物线的简单性质，结合题意计算出结果即可。
14．【答案】0.1587
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】
故答案为：0.1587．
【分析】由分布中的数据，结合题意代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出点的坐标并代入两点间的距离公式，整理化简即可得出圆的标准方程，然后由直线与圆的位置关系结合切线的性质即可得出最小值。
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得
故
故答案为：．
【分析】根据题意作出截面图，结合直角梯形的几何性质计算出球的半径，然后把点的坐标代入计算出球的表面积。
17．【答案】（1）解：由，故的公差为，
，
，
当时，满足，
故对
（2）证明：，
故，
故
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件整理化简数列的递推公式，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，再由裂项相消法结合放缩法即可得证出结论。
18．【答案】（1）证明：作于点，
平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面
（2）解：取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式，由此得到 二面角的正弦值 。
19．【答案】（1）解：由，得
平均数：
中位数：
因为
所以中位数为80
（2）解：由
所以不低于70分这一水平的人数为
（3）解：成绩在内的有（人）
成绩在内的有（人）
用分层抽样抽取5人，故这两组中所抽取的人数分别为3，2
抽到内的人数的可能取值为
，，
0 1 2
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件结合频率分布直方图中的数据，计算出a的取值再由平均数以及中位数公式计算出结果即可。
(2)根据题意结合已知条件，计算出结果即可。
(3)由已知条件计算出各个事件的个数，根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
20．【答案】（1）解：延长至，使，为的中点，可得四边形为平行四边形，
在中，，
即
（2）解：设，
则
，
，
当且仅当，即时取等号，
此时，.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形为平行四边形，然后由余弦定理，代入数值由此计算出结果即可。
(2)首先由三角形的面积公式整理化简即可得出，结合数量积的运算公式由二次函数以及余弦函数的单调性，由此得出数量积的最值，以及取得最值时对应的余弦值结合二倍角的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：设的半径为，则，
，故点的轨迹与椭圆有关，，
又由椭圆定义可知，点的轨迹方程为
（2）证明：设，直线的方程为，
将代入整理得，
有，
，
原点到直线的距离为，
，即，.
将代入得.
【知识点】斜率的计算公式；与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)结合题意由圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义整理化简即可得出点M的轨迹方程。
(2)利用设而不求法设出点以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，然后由韦达定理即可得出两根之和与两根之积关于k的代数式，再代入到弦长公式结合三角形的面积公式整理化简计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：当时，，
，，
为增函数，而，
故在上，为减函数，在上，为增函数
（2）解：，
即，令，则，可知当时，取最小值为0，即，故即恒成立，化为，令，则，故为减函数，最大值为，
故
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件整理化简不等式，再由换元法结合对勾函数的单调性，即可得出函数的最值，由分离参数法结合不等式的性质，即可得出函数的单调性，从而求出函数的最值，从而得出a的取值范围。
1 / 1河北省保定市部分学校2021-2022学年高二下学期数学7月质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·保定月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．{7}
【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得
所以N，
因为，
故.
故答案为：B
【分析】首先由对数函数的单调性即可得出x的取值范围，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．（2022高二下·保定月考）已知复数，则（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
3．（2022高二下·保定月考）从写有数字的5张卡片中任取2张，卡片上的数字恰好一奇一偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，再把结果代入到概率公式计算出答案。
4．（2022高二下·保定月考）“，使得成立”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点；不等式的综合
【解析】【解答】的最小值为2，故，
“恒成立”，
即“恒成立”，
所以，故.
故是充要条件.
故答案为：C
【分析】结合题意由指、对数函数的单调性，整理化简已知条件再结合充分和必要条件的定义即可得出a的取值范围。
5．（2022高二下·保定月考）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，且，所以各项均不为0，
所以数列为等比数列，设公比为，
则，解得，
所以，则，解得，即，
因为，所以n的最大值为7.
故答案为：C.
【分析】首先由已知的数列的递推公式以及等比数列的通项公式，整理化简计算出首项与公比的取值，从而得出数列的通项公式，结合题意由不等式的性质即可求出n的取值范围。
6．（2022高二下·保定月考）若曲线与相切，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】∵，则
设切点坐标为，则有，整理得，即，故
故答案为：B．
【分析】首先对函数求导，代入数值到导函数的解析式由此得出切点的坐标，联立两式整理化简即可得出答案。
7．（2022高二下·保定月考）如图，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故答案为：A.
【分析】首先由双曲线的定义整理化简已知条件，再由三角形中的几何计算关系结合离心率公式，由此即可得出答案。
8．（2022高二下·保定月考）如图，在直三棱柱中，为上一点，平面分三棱柱为上下体积相等的两部分，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】作于点，
则平面且，设，则
可证平面，则，
平面分三棱柱为两个体积相等的四棱锥和，
即
取中点为，则即为所求角，
故答案为：A．
【分析】首先由直三棱锥的几何意义结合线面垂直的性质定理即可得出边的大小，再代入到三棱锥的体积公式结合等体积法，结合四棱锥与三棱锥之间的关系，再由中点的性质整理化简即可得出异面直线所称的角的大小。
二、多选题
9．（2022高二下·保定月考）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对A，因为，当且仅当时等号成立，所以，A符合题意；
对B，，所以，B不符合题意；
对C，，当且仅当等号成立，所以，C符合题意；
对D，因为，所以，所以，当且仅当等号成立，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件整理化简原式，然后由基本不等式即可得出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·保定月考）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以4为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，A符合题意；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，C符合题意；
因为，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】首先由已知条件结合奇函数的定义整理化简即可得出函数的周期值，然后由周期的定义整理化简不等式，再结合函数的单调性即可得出函数f(x)在指定区间上的单调性，由函数的单调性即可得出大小关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高二下·保定月考）函数的图象按以下次序变换：①每个点的横坐标变为原来的2倍；②图象向右平移个单位长度；③每个点的纵坐标变为原来的3倍.得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的周期为
C．的一条对称轴为 D．在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】先将的图象每个点的纵坐标变为原来的，可得，
再将的图象向左平移个单位长度，可得，
将的图象每个点的横坐标变为原来的，可得，
所以，
则的最大值为，A符合题意；的周期为，B不符合题意；
因为，所以的一条对称轴为，C符合题意；
当，，因为在单调递减，所以在上单调递减，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意由函数平移的性质，结合正弦函数的通项和性质由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二下·保定月考）已知函数，有两个零点，则k的可能取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当时，，故是的一个零点；
当时，由得，即，即；
当时，由得，即，
画出的图象，分别对，画出的图象观察，
当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，符合题意；
当时，与的图象没有交点，与的图象有1个交点，不符合题意；
当时，对，则，当时，，所以与在处相切，如图，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意；
当时，与的图象有1个交点，与的图象有没有交点，符合题意.
综上，k的可能取值为，ABC符合.
故答案为：ABC.
【分析】首先由已知条件结合函数零点的定义，由绝对值的几何意义整理化简函数g(x)的解析式，由此作出函数的图象，再由数形结合法结合题意即可得出满足题意的k的取值，并代入验证即可得出满足题意的k的取值。
三、填空题
13．（2022高二下·保定月考）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则 .
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得：准线为，故，则
故答案为：2．
【分析】由抛物线的简单性质，结合题意计算出结果即可。
14．（2022高二下·保定月考）随机变量，则 .（精确到0.0001）.
参考数据：
【答案】0.1587
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】
故答案为：0.1587．
【分析】由分布中的数据，结合题意代入数值计算出结果即可。
15．（2022高二下·保定月考）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出点的坐标并代入两点间的距离公式，整理化简即可得出圆的标准方程，然后由直线与圆的位置关系结合切线的性质即可得出最小值。
16．（2022高二下·保定月考）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得
故
故答案为：．
【分析】根据题意作出截面图，结合直角梯形的几何性质计算出球的半径，然后把点的坐标代入计算出球的表面积。
四、解答题
17．（2022高二下·保定月考）已知数列满足：为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：由，故的公差为，
，
，
当时，满足，
故对
（2）证明：，
故，
故
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件整理化简数列的递推公式，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列{cn}的通项公式，再由裂项相消法结合放缩法即可得证出结论。
18．（2022高二下·保定月考）在四棱锥中，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：作于点，
平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面
（2）解：取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式，由此得到 二面角的正弦值 。
19．（2022高二下·保定月考）乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”.有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，所以不仅要会打球，还要把乒乓球打到对方球台的指定位置.某个地区的乒乓球训练机构，在众多乒乓球爱好者中，随机抽取50名，检验乒乓球爱好者的水平，要求每个乒乓球爱好者打100个球，打到对方球台的指定位置，每打到指定位置1个球得1分，100个球都打到指定位置，得满分，即100分，将这50名乒乓球爱好者按成绩分成，共5组，制成了如图所示的频率分布直方图（打100个球，每个乒乓球爱好者至少能得50分）.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名乒乓球爱好者成绩的平均数 中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若该地区这样的乒乓球爱好者有2000人，试估计成绩不低于70分这一水平的人数；
（3）若用按比例分配的分层抽样的方法从样本中成绩在，的两组乒乓球爱好者中抽取5人，再在这5人中抽取2人，参加一个乒乓球技术交流会，在抽到的2人中成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：由，得
平均数：
中位数：
因为
所以中位数为80
（2）解：由
所以不低于70分这一水平的人数为
（3）解：成绩在内的有（人）
成绩在内的有（人）
用分层抽样抽取5人，故这两组中所抽取的人数分别为3，2
抽到内的人数的可能取值为
，，
0 1 2
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件结合频率分布直方图中的数据，计算出a的取值再由平均数以及中位数公式计算出结果即可。
(2)根据题意结合已知条件，计算出结果即可。
(3)由已知条件计算出各个事件的个数，根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
20．（2022高二下·保定月考）已知在中，为上一点.
（1）若且为的中点，求；
（2）若为的平分线，当取最大值时，求的面积.
【答案】（1）解：延长至，使，为的中点，可得四边形为平行四边形，
在中，，
即
（2）解：设，
则
，
，
当且仅当，即时取等号，
此时，.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质即可得出线线平行，从而得出四边形为平行四边形，然后由余弦定理，代入数值由此计算出结果即可。
(2)首先由三角形的面积公式整理化简即可得出，结合数量积的运算公式由二次函数以及余弦函数的单调性，由此得出数量积的最值，以及取得最值时对应的余弦值结合二倍角的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
21．（2022高二下·保定月考）已知与外切，与内切.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若是点的轨迹上的两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，直线的斜率存在，的面积为，证明：为定值.
【答案】（1）解：设的半径为，则，
，故点的轨迹与椭圆有关，，
又由椭圆定义可知，点的轨迹方程为
（2）证明：设，直线的方程为，
将代入整理得，
有，
，
原点到直线的距离为，
，即，.
将代入得.
【知识点】斜率的计算公式；与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)结合题意由圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义整理化简即可得出点M的轨迹方程。
(2)利用设而不求法设出点以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，然后由韦达定理即可得出两根之和与两根之积关于k的代数式，再代入到弦长公式结合三角形的面积公式整理化简计算出结果即可。
22．（2022高二下·保定月考）已知.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
，，
为增函数，而，
故在上，为减函数，在上，为增函数
（2）解：，
即，令，则，可知当时，取最小值为0，即，故即恒成立，化为，令，则，故为减函数，最大值为，
故
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件整理化简不等式，再由换元法结合对勾函数的单调性，即可得出函数的最值，由分离参数法结合不等式的性质，即可得出函数的单调性，从而求出函数的最值，从而得出a的取值范围。
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