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河北省沧州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·沧州期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】依题意，，
所以.
故答案为：D
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
2．（2022高二下·沧州期末）已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ）
2 3 4 5
A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．4.1
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为，所以样本中心为，将其代入回归方程，得，解得.
故答案为：C.
【分析】根据表中数据，先求出样本中心，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
3．（2022高二下·沧州期末）某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（ ）
A．15 B．30 C．35 D．42
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】法一：若高二（1）班有家长发言，共有种，若高二（1）班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.
法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二（1）班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.
故答案为：B.
【分析】分高二（1）班有家长发言和没有家长发言两种情况求解，再利用加法原理可求得结果．
4．（2022高二下·沧州期末）已知随机变量的分布列如表所示，其中成等差数列，则的最大值是（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由分布列的性质得，，又成等差数列，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.
故答案为：.
【分析】根据分布列的性质，结合题目条件可得，所以，再利用基本不等式即可求出结果．
5．（2022高二下·沧州期末）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数值大小的比较
【解析】【解答】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数和指数函数的性质及特殊值，比较大小即可．
6．（2022高二下·沧州期末）某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是，两次均击中目标的概率是.则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设该选手第一次击中目标为事件，第二次击中目标为事件，则，
则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是.
故答案为：B.
【分析】设该选手第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，由题意可知，再利用条件概率公式计算即可．
7．（2022高二下·沧州期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A．0.97725 B．0.84135 C．0.65865 D．0.02275
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据X服从二项分布求得期望与方差，由题意可知X服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即可．
8．（2022高二下·沧州期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由是奇函数，得，①
由是偶函数，得、②.
令，由①得，由②得：，
又，所以，即，
令，由①得：，
又，所以，即，则，
代入，得，
所以时，.
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知可得出，，分别令，结合已知条件可得出关于a、b的等式组，解出a、b的值，即可得出函数，，再利用函数的对称性可求得结果．
二、多选题
9．（2022高二下·沧州期末）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，则，于是得，A符合题意；
当时，，B不符合题意；
函数在R上单调递减，则有，C符合题意；
而，有，即，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可．
10．（2022高二下·沧州期末）随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法
B．若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
C．若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法
D．若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法
【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】对于A，男生甲排在两端，则这5名同学共有种不同的排法，A不符合题意；
对于B，2名女生相邻，则这5名同学共有种不同的排法，B符合题意；
对于C，2名女生不相邻，则这5名同学共有种不同的排法，C符合题意；
对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有种不同的排法，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用分步乘法计数原理、排列的知识逐项分析、判断即可．
11．（2022高二下·沧州期末）2022年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持48/小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是（ ）（参考数据
A．0.11 B．0.13 C．0.15 D．0.17
【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设混合检测样本需要检测的总次数为，的可能值为1和，
的分布列为：
1 21
，
设逐份检测样本需要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有，
则有，
又，即，
因此，解得，即，C，D不满足，A，B满足..
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件，分别求出两种检测方式的期望，令，再结合对数函数的公式，即可求解．
12．（2022高二下·沧州期末）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，A符合题意；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，B符合题意
所以，
当时，，
所以，所以C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
三、填空题
13．（2022高二下·沧州期末）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 .
【答案】24
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.
又的展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：24
【分析】利用二项式系数和公式求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
14．（2022高二下·沧州期末）已知都是非零实数，若，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为
所以
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：3
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解最小值即可．
15．（2022高二下·沧州期末）如图所示的电路，有四个开关，若开关自动闭合的概率分别为，则灯泡甲亮的概率为 .
【答案】0.8892
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须开关要闭合，至少有一个开关闭合即可.
【详解】用分别表示开关闭合的概率，则灯泡甲亮的概率为
故答案为：0.8892
【分析】根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须D开关要闭合，ABC至少有一个开关闭合即可．
16．（2022高二下·沧州期末）已知函数，则函数的零点是 ；若函数，且函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】-2和；[-1，+∞)
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由解得，由解得，所以函数的零点是-2和.
对于函数，设，令，则.在同一坐标系内作出直线以及的图象.
若，则与的图象有两个交点.设交点的横坐标为（不妨设），则.
易得的图象和的图象相同，结合的图象可得，当时，有且只有一个解，当时，有两个不同解；
若，则与的图象只有一个交点，设交点的横坐标为，则，当时，有且只有一个解，不合题意.
综上，函数有三个不同的零点时，的取值范围是[-1，+∞).
故答案为：-2和；[-1，+∞).
【分析】分情况解出的根即可；先令，可得，求出根，在同一坐标系内作出直线以及的图象，数形结合即可．
四、解答题
17．（2022高二下·沧州期末）下表是某农村居民2017年至2021年家庭人均收入（单位：万元）.
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
家庭人均收入（万元） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8
参考公式：相关系数，回归直线中，，，参考数据：.
（1）利用相关系数判断与的相关关系的强弱（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到0.01）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测2022年该农村居民的家庭人均收入.
【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
所以与的相关关系较强.
（2）解：因为，
所以，
.
所以关于的线性回归方程为.
当时，，
所以预测2022年该农村居民的家庭人均收入约为1.92万元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将x＝6代入上式，即可求解．
18．（2022高二下·沧州期末）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，关于的不等式的解集为，求的值.
【答案】（1）解：由题意知，
化简得，解得.
所以所求不等式的解集为
（2）解：不等式可化为.
关于的方程的判别式，
方程的根.
所以，
又，
所以，
解得或，
因为，所以.
解法二：不等式可化为.
关于的方程的判别式
，
设方程的根为，则.
不妨设，则，
又，
所以，
解得或，
又，所以.
【知识点】一元二次不等式的应用
【解析】【分析】（1），由此能求出所求不等式的解集；
（2）法一：不 不等式可化为. ，利用根的判别式、韦达定理能求出a；
法二：不 不等式可化为. ，利用根的判别式、韦达定理能求出a．
19．（2022高二下·沧州期末）2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 80 160
女生 240
合计 180 220 400
附：参考公式及数据，其中.
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求表中的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？
（2）学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：由可得，
由可得，
由可得，
假设为：喜欢冰雪运动与性别无关，
联列表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生 80 80 160
女生 100 140 240
合计 180 220 400
，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关.
（2）解：抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），
的可能取值为，
，
，
，
，所以的分布列为
0 1 2 3
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由可得，由可得，由可得， 根据2×2联列表得χ2，与参考值比较可得答案；
（2）求出X的可能取值及对应概率可得答案．
20．（2022高二下·沧州期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中，是自然对数的底数.
（1）求的值；
（2）若关于的不等式对都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，
即对任意实数都成立，
则，所以对任意实数都成立，
所以，解得
（2）解：由（1）知，，
因为关于的不等式，即对恒成立，
因为，所以，
原问题转化为对恒成立，
设，则对任意的恒成立.
因为，其中，
而，当且仅当时，即时等号成立，
所以时，取最小值，所以.
因此实数的取值范围是
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由是定义在R上的偶函数求解即可；
（2）由已知可得，将问题转化为 对恒成立，求出的最小值即可．
21．（2022高二下·沧州期末）李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.
附：①随机变量服从正态分布，则②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不 发生.
（1）李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；
（2）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.
【答案】（1）解：X的所有取值为，因为重量不少于1000克的概率为，所以，，则的分布列为
0 1 2 3 4
（2）解：①由题意知，因为，所以，因为，
又因为，所以，所以.
②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，而，
所以概率为0.02275的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生，因此，李师傅的举报是有道理的.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）由题意可得，X的所有取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，再结合小概率事件基本不会发生，即可求解．
22．（2022高二下·沧州期末）已知函数.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求实数的最大值；
（3）若函数在区间上有6个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：；
（2）解：因为当时，，
当时，，
又时，，
所以，
同理可得，当时，，当时，，
函数的图象如图所示.
令，解得（舍），
由图可见仅当时，恒成立，
所以实数的最大值是
（3）解：因为有6个不同的零点，即的图象与直线有6个不同的交点，结合上图，易得.
设这6个交点的横坐标从小到大依次为，
则，
所以，
又，所以，
即所求的取值范围是.
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据分段函数及复合函数的定义求值即可；
（2）根据分段函数及复合函数的定义，逐步求出f（x）的解析式，画出并分析图像，直到f（x）＜﹣6，即可求得结果；
（3）所求零点等价于y＝f（x）的图象与直线y＝t的交点，分析（2）的图像，可得出的范围，结合以及零点的对称性即可求和，即可求得取值范围.
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河北省沧州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·沧州期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·沧州期末）已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ）
2 3 4 5
A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．4.1
3．（2022高二下·沧州期末）某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（ ）
A．15 B．30 C．35 D．42
4．（2022高二下·沧州期末）已知随机变量的分布列如表所示，其中成等差数列，则的最大值是（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
5．（2022高二下·沧州期末）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·沧州期末）某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是，两次均击中目标的概率是.则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·沧州期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则，
A．0.97725 B．0.84135 C．0.65865 D．0.02275
8．（2022高二下·沧州期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·沧州期末）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·沧州期末）随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法
B．若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
C．若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法
D．若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法
11．（2022高二下·沧州期末）2022年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持48/小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是（ ）（参考数据
A．0.11 B．0.13 C．0.15 D．0.17
12．（2022高二下·沧州期末）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三、填空题
13．（2022高二下·沧州期末）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 .
14．（2022高二下·沧州期末）已知都是非零实数，若，则的最小值为 .
15．（2022高二下·沧州期末）如图所示的电路，有四个开关，若开关自动闭合的概率分别为，则灯泡甲亮的概率为 .
16．（2022高二下·沧州期末）已知函数，则函数的零点是 ；若函数，且函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二下·沧州期末）下表是某农村居民2017年至2021年家庭人均收入（单位：万元）.
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
家庭人均收入（万元） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8
参考公式：相关系数，回归直线中，，，参考数据：.
（1）利用相关系数判断与的相关关系的强弱（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到0.01）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测2022年该农村居民的家庭人均收入.
18．（2022高二下·沧州期末）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，关于的不等式的解集为，求的值.
19．（2022高二下·沧州期末）2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 80 160
女生 240
合计 180 220 400
附：参考公式及数据，其中.
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求表中的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？
（2）学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为，求的分布列与数学期望.
20．（2022高二下·沧州期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中，是自然对数的底数.
（1）求的值；
（2）若关于的不等式对都成立，求实数的取值范围.
21．（2022高二下·沧州期末）李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.
附：①随机变量服从正态分布，则②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不 发生.
（1）李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；
（2）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.
22．（2022高二下·沧州期末）已知函数.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求实数的最大值；
（3）若函数在区间上有6个不同的零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】依题意，，
所以.
故答案为：D
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
2．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为，所以样本中心为，将其代入回归方程，得，解得.
故答案为：C.
【分析】根据表中数据，先求出样本中心，再结合线性回归方程的性质，即可求解．
3．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】法一：若高二（1）班有家长发言，共有种，若高二（1）班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.
法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二（1）班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.
故答案为：B.
【分析】分高二（1）班有家长发言和没有家长发言两种情况求解，再利用加法原理可求得结果．
4．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由分布列的性质得，，又成等差数列，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.
故答案为：.
【分析】根据分布列的性质，结合题目条件可得，所以，再利用基本不等式即可求出结果．
5．【答案】B
【知识点】对数值大小的比较
【解析】【解答】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数和指数函数的性质及特殊值，比较大小即可．
6．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设该选手第一次击中目标为事件，第二次击中目标为事件，则，
则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是.
故答案为：B.
【分析】设该选手第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，由题意可知，再利用条件概率公式计算即可．
7．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据X服从二项分布求得期望与方差，由题意可知X服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即可．
8．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由是奇函数，得，①
由是偶函数，得、②.
令，由①得，由②得：，
又，所以，即，
令，由①得：，
又，所以，即，则，
代入，得，
所以时，.
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知可得出，，分别令，结合已知条件可得出关于a、b的等式组，解出a、b的值，即可得出函数，，再利用函数的对称性可求得结果．
9．【答案】A,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，则，于是得，A符合题意；
当时，，B不符合题意；
函数在R上单调递减，则有，C符合题意；
而，有，即，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可．
10．【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】对于A，男生甲排在两端，则这5名同学共有种不同的排法，A不符合题意；
对于B，2名女生相邻，则这5名同学共有种不同的排法，B符合题意；
对于C，2名女生不相邻，则这5名同学共有种不同的排法，C符合题意；
对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有种不同的排法，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用分步乘法计数原理、排列的知识逐项分析、判断即可．
11．【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设混合检测样本需要检测的总次数为，的可能值为1和，
的分布列为：
1 21
，
设逐份检测样本需要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有，
则有，
又，即，
因此，解得，即，C，D不满足，A，B满足..
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件，分别求出两种检测方式的期望，令，再结合对数函数的公式，即可求解．
12．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，A符合题意；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，B符合题意
所以，
当时，，
所以，所以C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
13．【答案】24
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.
又的展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：24
【分析】利用二项式系数和公式求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
14．【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为
所以
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：3
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解最小值即可．
15．【答案】0.8892
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须开关要闭合，至少有一个开关闭合即可.
【详解】用分别表示开关闭合的概率，则灯泡甲亮的概率为
故答案为：0.8892
【分析】根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须D开关要闭合，ABC至少有一个开关闭合即可．
16．【答案】-2和；[-1，+∞)
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由解得，由解得，所以函数的零点是-2和.
对于函数，设，令，则.在同一坐标系内作出直线以及的图象.
若，则与的图象有两个交点.设交点的横坐标为（不妨设），则.
易得的图象和的图象相同，结合的图象可得，当时，有且只有一个解，当时，有两个不同解；
若，则与的图象只有一个交点，设交点的横坐标为，则，当时，有且只有一个解，不合题意.
综上，函数有三个不同的零点时，的取值范围是[-1，+∞).
故答案为：-2和；[-1，+∞).
【分析】分情况解出的根即可；先令，可得，求出根，在同一坐标系内作出直线以及的图象，数形结合即可．
17．【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
所以与的相关关系较强.
（2）解：因为，
所以，
.
所以关于的线性回归方程为.
当时，，
所以预测2022年该农村居民的家庭人均收入约为1.92万元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将x＝6代入上式，即可求解．
18．【答案】（1）解：由题意知，
化简得，解得.
所以所求不等式的解集为
（2）解：不等式可化为.
关于的方程的判别式，
方程的根.
所以，
又，
所以，
解得或，
因为，所以.
解法二：不等式可化为.
关于的方程的判别式
，
设方程的根为，则.
不妨设，则，
又，
所以，
解得或，
又，所以.
【知识点】一元二次不等式的应用
【解析】【分析】（1），由此能求出所求不等式的解集；
（2）法一：不 不等式可化为. ，利用根的判别式、韦达定理能求出a；
法二：不 不等式可化为. ，利用根的判别式、韦达定理能求出a．
19．【答案】（1）解：由可得，
由可得，
由可得，
假设为：喜欢冰雪运动与性别无关，
联列表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生 80 80 160
女生 100 140 240
合计 180 220 400
，
因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关.
（2）解：抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），
的可能取值为，
，
，
，
，所以的分布列为
0 1 2 3
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由可得，由可得，由可得， 根据2×2联列表得χ2，与参考值比较可得答案；
（2）求出X的可能取值及对应概率可得答案．
20．【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，
即对任意实数都成立，
则，所以对任意实数都成立，
所以，解得
（2）解：由（1）知，，
因为关于的不等式，即对恒成立，
因为，所以，
原问题转化为对恒成立，
设，则对任意的恒成立.
因为，其中，
而，当且仅当时，即时等号成立，
所以时，取最小值，所以.
因此实数的取值范围是
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由是定义在R上的偶函数求解即可；
（2）由已知可得，将问题转化为 对恒成立，求出的最小值即可．
21．【答案】（1）解：X的所有取值为，因为重量不少于1000克的概率为，所以，，则的分布列为
0 1 2 3 4
（2）解：①由题意知，因为，所以，因为，
又因为，所以，所以.
②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，而，
所以概率为0.02275的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生，因此，李师傅的举报是有道理的.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）由题意可得，X的所有取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，再结合小概率事件基本不会发生，即可求解．
22．【答案】（1）解：；
（2）解：因为当时，，
当时，，
又时，，
所以，
同理可得，当时，，当时，，
函数的图象如图所示.
令，解得（舍），
由图可见仅当时，恒成立，
所以实数的最大值是
（3）解：因为有6个不同的零点，即的图象与直线有6个不同的交点，结合上图，易得.
设这6个交点的横坐标从小到大依次为，
则，
所以，
又，所以，
即所求的取值范围是.
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据分段函数及复合函数的定义求值即可；
（2）根据分段函数及复合函数的定义，逐步求出f（x）的解析式，画出并分析图像，直到f（x）＜﹣6，即可求得结果；
（3）所求零点等价于y＝f（x）的图象与直线y＝t的交点，分析（2）的图像，可得出的范围，结合以及零点的对称性即可求和，即可求得取值范围.
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