河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期数学期末试卷
1．（2022高二下·香河期末）已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】函数的定义域为，
集合，
而或，
对于A， ，故正确；
对于B， ，故错误；
对于C， 或，故错误；
对于D，由，或，所以不是的子集，故错误.
故答案为：A.
【分析】求出，，或，然后根据集合的运算逐项判断可得答案.
2．（2022高二下·香河期末）下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”
C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．若幂函数过点，则
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A选项：“”是“”的充分不必要条件，所以A选项不正确；
对于B选项：命题“对，恒有”的否定是“，使得”，所以B选项不正确；
对于C选项：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，所以C选项不正确；
对于D选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，即，所以D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.
3．（2022高二下·香河期末）随着人们生活水平的提高，产生的垃圾也越来越多，而进行垃圾分类管理能将这些垃圾转化为新能源，同时还能让这些垃圾得到有效的处理，这样能减少对土壤的危害，防止污染空气，但是人们对垃圾分类知识了解不多，所以某社区通过公益讲座的形式对社区居民普及垃圾分类知识，为了解讲座的效果，随机抽取了10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，A不符合题意；
对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，B符合题意；
对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，C不符合题意；
对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，
讲座前正确率的极差为：，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．
4．（2022高二下·香河期末）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则
解得，
即点E到平面的距离为.
故答案为：B.
【分析】设点E到平面的距离为h，根据，利用等体积法即可得出答案.
5．（2022高二下·香河期末）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（﹣x） f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
排除B，D，
函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
由f（x）＝0得 sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，
则f（ ） 0，排除C，
故答案为：A．
【分析】利用函数的奇偶性，定义域和特值法进行判断，即可得到函数图象.
6．（2022高二下·香河期末）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．3233万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元，
则所以解得故.
依题意，即.
所以总费用为.
故答案为：C.
【分析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前项和，即可求出结果.
7．（2022高二下·香河期末）已知的两个极值点分别为且，则函数（ ）
A．-1 B． C．1 D．与b有关
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，故，，且，
又，所以，故，解得（舎）或者．
此时， ，
故
故答案为：B．
【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到，，且，解方程组可以得到，从而可求．
8．（2022高二下·香河期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于A，根据题意知，.
∵，
，
，∴函数不是偶函数，A不符合题意；
对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，B符合题意；
对于C，，， ，即的值域是，C不符合题意；
对于D，的值域是，则的值域是，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.
9．（2022高二下·香河期末）已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第二象限
B．
C．的实部为
D．的虚部为
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
即实部为，虚部为，对应的点为在第三象限，
，
AD不符合题意；BC符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断CD；根据复数的几何意义可判断A；根据复数的模的计算公式可判断B.
10．（2022高二下·香河期末）在中，点满足，当点在线段上（不含点）移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】是中点，则，又点在线段上，即三点共线，设，故，.B对A不符合题意.
，当且仅当时，即，C对.
在上单调递减，当取最小值，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据中点和向量共线，可得，进而可得，然后根据基本不等式以及对勾函数可求最小值.
11．（2022高二下·香河期末）已知正数 ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】由题意，可令 ，由指对互化得： ，由换底公式得： ，则有 ，B不符合题意；
对于A， ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，A符合题意；
对于C D，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 ，所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】由题意，可令 ，再利用指数与对数的互化公式，得出 ，由换底公式得出，再利用对数的运算法则结合对数函数的单调性，再结合作差比较大小法，进而选出不等式成立的选项。
12．（2022高二下·香河期末）已知函数，以下结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为1
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A选项：因为的定义域为，则，所以是偶函数，A选项正确；
对于B选项：令，则，所以，解得，所以有无数个零点，B选项正确；
对于C选项：因为，所以若的最小值为，则是的一个极小值点，而，则，
不是函数的极小值点，C选项错误；
对于D选项：因为，当时，取到最大值1，取到最小值1，所以此时取到最大值1，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的性质，三角函数的性质及导数与单调性及极值，及最值关系检验各选项即可判断.
13．（2022高二下·香河期末）已知随机变量，则 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，则，
即，所以，
而.
故答案为：
【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据二项分布的方差公式计算可得.
14．（2022高二下·香河期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 .
①；②.
【答案】x+1（答案不唯一）
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：若，则，满足性质①；
，满足性质②.
故答案为：x+1（答案不唯一）
【分析】根据函数的的单调性和奇偶性求出函数的解析式即可.
15．（2022高二下·香河期末）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，
∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，
则 （ ）[2（a﹣1）+b﹣2] ，
（4 ） ，
当且仅当 且2a+b﹣6＝0即a ，b＝3时取得最小值为4．
故答案为：4．
【分析】先由已知等式变形，得到2（a﹣1）+b﹣2＝2，再把所求整理，利用基本不等式即可求出最小值.
16．（2022高二下·香河期末）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第n次改良后所排放的废气中的污染物量（单位：）满足函数模型.
（1） ；
（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行 次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.（参考数据：）
【答案】（1）
（2）6
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】（1）由题意得，
所以当时，，
即，解得，
所以.
（2）由题意可得，
整理得，即，
可得，即，
由，得，
又，所以，
故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.
故答案为：；6.
【分析】（1）先由，求出，即可得到的表达式；
（2）由题意可得，两边取对数，解不等式得到，即可得到答案.
17．（2022高二下·香河期末）已知，设.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，解得：，所以.又因为，即，所以或，即，因为“”是“”的充分不必要条件，则有，所以有，即且，所以实数a的取值范围是
（2）解：因为，所以，又“”是“”的必要不充分条件，则，即，所以实数a的取值范围是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先分别解出集合，，由“ ”是“” 是的充分不必要条件，得到，列不等式，即可求得；
（2）先求出，由“”是“” 必要不充分条件，得到，即可求出实数a的取值范围.
18．（2022高二下·香河期末）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ，且 时，有 恒成立．
（Ⅰ）用定义证明函数 在 上是增函数；
（Ⅱ）解不等式： ；
（Ⅲ）若 对所有 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】证明：（Ⅰ）设任意 且 ，由于 是定义在 上的奇函数，∴因为 ，所以 ，由已知有 ,∵ ，∴ ，即 ，所以函数 在 上是增函数.（Ⅱ）由不等式 得 ，解得 （Ⅲ）由以上知 最大值为 ，所以要使 对所有 ，只需 恒成立，得实数m的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)由函数的单调性定义即可证明出函数的单调性。(2)利用(1)函数的单调性即可得出关于x的不等式解出即可。(3)由函数的最大值再结合二次函数再指定区间上的最值情况即可得出关于m的不等式，解出m的取值范围即可。
19．（2022高二下·香河期末）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲 乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲 乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成 ， ， ， ， 五组，整理得到如下频率分布直方图：
参考公式： ， .
参考数据①：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
②若 ，则 ， .
（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的 列联表：
不少于6小时 少于6小时 总计
甲班
乙班
总计
能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？
（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足 ，其中 等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间 的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：
人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；
同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为 人，
则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.
由此得到 列联表：
不少于6小时 少于6小时 总计
甲班 12 28 40
乙班 18 22 40
总计 30 50 80
因为 ，
所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.
（2）解：甲班学生学习时间的平均数
.
，
所以
.
即甲班学生学习时间在区间 的概率为 .
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 根据频率分布直方图分别求出甲班、乙班学习时间不少于6小时和少于6小时 的人数，完成 列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）先求出班学生学习时间的平均数μ，再根据正态分布的性质求解.
20．（2022高二下·香河期末）△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．
（1）求；
（2）设·，求．
【答案】（1）解：
∴
（2）解：∵· ，∴，
则
∴
∴ ，
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得，由题意得，再由切化弦和两角和的正弦公式，化简即可得解；
（2）由向量的数量积的定义可得，再由余弦定理可得.
21．（2022高二下·香河期末）已知
（Ⅰ）求函数上的最小值；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.
【答案】解：（I），当，，单调递减，
当，，单调递增．
①无解；
②，即时，；
③，即时，在上单调递增，
，
所以．
（Ⅱ），则，
设，则，
，，单调递增，，，
单调递减，所以，
因为对一切，恒成立，
所以；
（Ⅲ）问题等价于证明，
由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易得，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（I）求出，分别令 得增区间，得减区间，分三种情况讨论，从而可得函数 在 的最小值；
（Ⅱ） ，则， 只需证即可；
（Ⅲ）问题等价于证明，由的最小值是 ，最大值为.
22．（2022高二下·香河期末）已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， 在 处取得极大值．
（2）解：因为
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的极值，即可求出a的值；
（2）先求导，分两种情况讨论a，再利用导数研究函数的单调性，即可求出 函数 的单调性；
（3）先由已知得到 ， 令 ， ，求导并利用导数研究函数的单调性，得到函数 在 时，取得最小值1，可证 ，整理化简即可证明 .
1 / 1河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期数学期末试卷
1．（2022高二下·香河期末）已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·香河期末）下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”
C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．若幂函数过点，则
3．（2022高二下·香河期末）随着人们生活水平的提高，产生的垃圾也越来越多，而进行垃圾分类管理能将这些垃圾转化为新能源，同时还能让这些垃圾得到有效的处理，这样能减少对土壤的危害，防止污染空气，但是人们对垃圾分类知识了解不多，所以某社区通过公益讲座的形式对社区居民普及垃圾分类知识，为了解讲座的效果，随机抽取了10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4．（2022高二下·香河期末）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022高二下·香河期末）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·香河期末）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．3233万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元
7．（2022高二下·香河期末）已知的两个极值点分别为且，则函数（ ）
A．-1 B． C．1 D．与b有关
8．（2022高二下·香河期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
9．（2022高二下·香河期末）已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第二象限
B．
C．的实部为
D．的虚部为
10．（2022高二下·香河期末）在中，点满足，当点在线段上（不含点）移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2022高二下·香河期末）已知正数 ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·香河期末）已知函数，以下结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为1
13．（2022高二下·香河期末）已知随机变量，则 .
14．（2022高二下·香河期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 .
①；②.
15．（2022高二下·香河期末）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
16．（2022高二下·香河期末）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第n次改良后所排放的废气中的污染物量（单位：）满足函数模型.
（1） ；
（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行 次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.（参考数据：）
17．（2022高二下·香河期末）已知，设.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．（2022高二下·香河期末）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ，且 时，有 恒成立．
（Ⅰ）用定义证明函数 在 上是增函数；
（Ⅱ）解不等式： ；
（Ⅲ）若 对所有 恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2022高二下·香河期末）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲 乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲 乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成 ， ， ， ， 五组，整理得到如下频率分布直方图：
参考公式： ， .
参考数据①：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
②若 ，则 ， .
（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的 列联表：
不少于6小时 少于6小时 总计
甲班
乙班
总计
能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？
（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足 ，其中 等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间 的概率.
20．（2022高二下·香河期末）△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．
（1）求；
（2）设·，求．
21．（2022高二下·香河期末）已知
（Ⅰ）求函数上的最小值；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.
22．（2022高二下·香河期末）已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】函数的定义域为，
集合，
而或，
对于A， ，故正确；
对于B， ，故错误；
对于C， 或，故错误；
对于D，由，或，所以不是的子集，故错误.
故答案为：A.
【分析】求出，，或，然后根据集合的运算逐项判断可得答案.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A选项：“”是“”的充分不必要条件，所以A选项不正确；
对于B选项：命题“对，恒有”的否定是“，使得”，所以B选项不正确；
对于C选项：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，所以C选项不正确；
对于D选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，即，所以D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，A不符合题意；
对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，B符合题意；
对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，C不符合题意；
对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，
讲座前正确率的极差为：，
讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则
解得，
即点E到平面的距离为.
故答案为：B.
【分析】设点E到平面的距离为h，根据，利用等体积法即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（﹣x） f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
排除B，D，
函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
由f（x）＝0得 sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，
则f（ ） 0，排除C，
故答案为：A．
【分析】利用函数的奇偶性，定义域和特值法进行判断，即可得到函数图象.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元，
则所以解得故.
依题意，即.
所以总费用为.
故答案为：C.
【分析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前项和，即可求出结果.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，故，，且，
又，所以，故，解得（舎）或者．
此时， ，
故
故答案为：B．
【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到，，且，解方程组可以得到，从而可求．
8．【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于A，根据题意知，.
∵，
，
，∴函数不是偶函数，A不符合题意；
对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，B符合题意；
对于C，，， ，即的值域是，C不符合题意；
对于D，的值域是，则的值域是，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
即实部为，虚部为，对应的点为在第三象限，
，
AD不符合题意；BC符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断CD；根据复数的几何意义可判断A；根据复数的模的计算公式可判断B.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】是中点，则，又点在线段上，即三点共线，设，故，.B对A不符合题意.
，当且仅当时，即，C对.
在上单调递减，当取最小值，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据中点和向量共线，可得，进而可得，然后根据基本不等式以及对勾函数可求最小值.
11．【答案】A,C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】由题意，可令 ，由指对互化得： ，由换底公式得： ，则有 ，B不符合题意；
对于A， ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，A符合题意；
对于C D，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 ，所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】由题意，可令 ，再利用指数与对数的互化公式，得出 ，由换底公式得出，再利用对数的运算法则结合对数函数的单调性，再结合作差比较大小法，进而选出不等式成立的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A选项：因为的定义域为，则，所以是偶函数，A选项正确；
对于B选项：令，则，所以，解得，所以有无数个零点，B选项正确；
对于C选项：因为，所以若的最小值为，则是的一个极小值点，而，则，
不是函数的极小值点，C选项错误；
对于D选项：因为，当时，取到最大值1，取到最小值1，所以此时取到最大值1，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的性质，三角函数的性质及导数与单调性及极值，及最值关系检验各选项即可判断.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，则，
即，所以，
而.
故答案为：
【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据二项分布的方差公式计算可得.
14．【答案】x+1（答案不唯一）
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：若，则，满足性质①；
，满足性质②.
故答案为：x+1（答案不唯一）
【分析】根据函数的的单调性和奇偶性求出函数的解析式即可.
15．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，
∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，
则 （ ）[2（a﹣1）+b﹣2] ，
（4 ） ，
当且仅当 且2a+b﹣6＝0即a ，b＝3时取得最小值为4．
故答案为：4．
【分析】先由已知等式变形，得到2（a﹣1）+b﹣2＝2，再把所求整理，利用基本不等式即可求出最小值.
16．【答案】（1）
（2）6
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】（1）由题意得，
所以当时，，
即，解得，
所以.
（2）由题意可得，
整理得，即，
可得，即，
由，得，
又，所以，
故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.
故答案为：；6.
【分析】（1）先由，求出，即可得到的表达式；
（2）由题意可得，两边取对数，解不等式得到，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：因为，解得：，所以.又因为，即，所以或，即，因为“”是“”的充分不必要条件，则有，所以有，即且，所以实数a的取值范围是
（2）解：因为，所以，又“”是“”的必要不充分条件，则，即，所以实数a的取值范围是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先分别解出集合，，由“ ”是“” 是的充分不必要条件，得到，列不等式，即可求得；
（2）先求出，由“”是“” 必要不充分条件，得到，即可求出实数a的取值范围.
18．【答案】证明：（Ⅰ）设任意 且 ，由于 是定义在 上的奇函数，∴因为 ，所以 ，由已知有 ,∵ ，∴ ，即 ，所以函数 在 上是增函数.（Ⅱ）由不等式 得 ，解得 （Ⅲ）由以上知 最大值为 ，所以要使 对所有 ，只需 恒成立，得实数m的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)由函数的单调性定义即可证明出函数的单调性。(2)利用(1)函数的单调性即可得出关于x的不等式解出即可。(3)由函数的最大值再结合二次函数再指定区间上的最值情况即可得出关于m的不等式，解出m的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：
人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；
同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为 人，
则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.
由此得到 列联表：
不少于6小时 少于6小时 总计
甲班 12 28 40
乙班 18 22 40
总计 30 50 80
因为 ，
所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.
（2）解：甲班学生学习时间的平均数
.
，
所以
.
即甲班学生学习时间在区间 的概率为 .
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 根据频率分布直方图分别求出甲班、乙班学习时间不少于6小时和少于6小时 的人数，完成 列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）先求出班学生学习时间的平均数μ，再根据正态分布的性质求解.
20．【答案】（1）解：
∴
（2）解：∵· ，∴，
则
∴
∴ ，
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得，由题意得，再由切化弦和两角和的正弦公式，化简即可得解；
（2）由向量的数量积的定义可得，再由余弦定理可得.
21．【答案】解：（I），当，，单调递减，
当，，单调递增．
①无解；
②，即时，；
③，即时，在上单调递增，
，
所以．
（Ⅱ），则，
设，则，
，，单调递增，，，
单调递减，所以，
因为对一切，恒成立，
所以；
（Ⅲ）问题等价于证明，
由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易得，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（I）求出，分别令 得增区间，得减区间，分三种情况讨论，从而可得函数 在 的最小值；
（Ⅱ） ，则， 只需证即可；
（Ⅲ）问题等价于证明，由的最小值是 ，最大值为.
22．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， 在 处取得极大值．
（2）解：因为
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的极值，即可求出a的值；
（2）先求导，分两种情况讨论a，再利用导数研究函数的单调性，即可求出 函数 的单调性；
（3）先由已知得到 ， 令 ， ，求导并利用导数研究函数的单调性，得到函数 在 时，取得最小值1，可证 ，整理化简即可证明 .
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