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河北省石家庄市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，（ ）
A． B． C． D．2
2．（2022高二下·石家庄期末）在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X、Y之间有无关系的是（ ）．
总计
总计
A． B． C． D．
3．（2022高二下·石家庄期末）使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2022高二下·石家庄期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．> B．
C． D．
5．（2020高二下·三水月考）函数 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·石家庄期末）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据其回归直线方程是，且，则当时，的估计值为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022高二下·石家庄期末）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·石家庄期末）已知且，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·石家庄期末）从某大学随机选取的8名女大学生，其体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）．
A．若某女大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.849kg
B．若某女大学生身高为172cm，则可断定其体重必为60.316kg
C．若根据样本数据计算出样本相关系数为，则表明体重与身高有很强的正相关关系
D．若根据样本数据计算出的决定系数越接近1，则表明线性回归模型拟合的效果越好
10．（2022高二下·石家庄期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
11．（2022高二下·石家庄期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，有唯一零点且
C．时，是的极值点
D．若有3个零点，则的范围为
12．（2022高二下·石家庄期末）已知，在处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022高二下·石家庄期末）设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为 .
14．（2022高二下·石家庄期末）将名志愿者分配到3个小区进行志愿服务，每名志愿者只被分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字表示）
15．（2022高二下·石家庄期末）三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．
16．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，则它的极小值为 ；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二下·石家庄期末）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若____，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
18．（2022高二下·石家庄期末）设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性.
19．（2022高二下·石家庄期末）某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到数据如表格所示：
500元及以上 少于500元 合计
男 25 25 50
女 15 35 50
合计 40 60 100
附：，．
0.10 0.05 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）依据的独立性检验，能否认为购买金额是否少于500元与性别有关？
（2）为增加销量，该网店计划今年“双11"期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X（元）的分布列和数学期望．
20．（2022高二下·石家庄期末）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
21．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，对于，恒成立.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：当时，.
22．（2022高二下·石家庄期末）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的图象与直线交于，两点，且，求证：函数在处的切线斜率大于0．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的运算
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导，从而可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：，
则分类变量和有关系时，与差距会比较大，
由，
故与的值相差应该大，
即的大小可以判断X、Y之间有无关系.
故答案为：D．
【分析】当与差距越大，两个变量有关的可能性就越大，则分类变量和有关系，与差距会比较大，进而可得答案．
3．【答案】B
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】
由有：；由有：；
在上单调递增，在上单调递减，
在上取得最大值的为，A，C，D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用导数研究函数的单调性、最值.
4．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴μ1＜μ2＝μ3，B、C不符合题意；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长，
∴σ1＝σ2＜σ3，A不符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ， ，则 的定义域为 . ，当 ， ， 单增，当 ， ， 单减，则 .则 在 上单增， 上单减， .
故答案为：B.
【分析】根据函数表达式，把分母设为新函数，首先计算函数定义域，然后求导，根据导函数的正负判断函数单调性，对应函数图象得到答案.
6．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为，
所以，
因为回归直线方程是，所以，所以，解得：，
所以，所以当时，的估计值为：.
故答案为：A.
【分析】先求出样本中心点，再代入回归方程，即可求出回归方程，再将代入回归方程即可求解.
7．【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图所示，
，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故答案为：D．
【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
8．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意，设，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，其草图如图：
则有，
故答案为：A．
【分析】根据题意，设，对三个式子变形可得， ，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．
9．【答案】A,C,D
【知识点】变量间的相关关系；线性回归方程；相关系数
【解析】【解答】由线性回归方程的意义知，若某女大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.849kg，A符合题意；
若某女大学生身高为172cm，则可断定其体重估计为60.316kg，所以B不正确；
根据样本数据计算出样本相关系数为，则表明体重与身高有很强的正相关关系，C符合题意；
根据样本数据计算出的决定系数越接近1，则表明线性回归模型拟合的效果越好，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据回归方程的性质、相关系数的定义对选项依次判断即可得出答案.
10．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；全概率公式
【解析】【解答】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，D符合题意；
因为，，，，A符合题意；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，B，C不正确．
故答案为：AD．
【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】解：对于A，当时，，则，A不符合题意；
对于B，当时，，令，
则，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又，，，
由零点的存在性定理可知，只有一个零点，且，
所以只有一个零点且，B符合题意；
对于C，令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以，
此时函数单调递增，无极值点，
C不符合题意；
对于D，令，
则函数与的零点相同，
当时，，无零点；
当时，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，
当时，，
要使得有个零点，则，即，
解得，
所以的范围为，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用特殊值，即可判断选项A，令，利用导数研究的单调性，结合函数零点的存在性定理即可判断选项B，对函数二次求导，确定函数的单调性，即可判断选项C，令，由导数判断函数的单调性，再结合零点个数列出不等式组求出的取值范围，即可判断选项D．
12．【答案】B,C
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为
由题可知，所以，
所以，，即B符合题意.
令，因为，所以是增函数，
且，又，所以 ，
即，即C符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
14．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1，再将这3组志愿者分配给3个小区，
因此，不同的分配方案种数为.
故答案为：36.
【分析】将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1，再将这3组志愿者分配给3个小区，利用分步乘法计数原理可得结果.
15．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
故答案为：.
【分析】记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则事件至少有两个数位于同行或同列的概率为，根据条件概率公式求其对立事件概率，由此可得.
16．【答案】-1；
【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的综合
【解析】【解答】（1）由，得，令，得，
列表如下：
0
0
极小值
所以，函数的极小值为；
（2），，使得，即，.
①当时，函数单调递增，，
，即；
②当时，函数单调递减，，，即；
③当时，，不符合题意.
综上：.
故答案为：-1；.
【分析】1）利用导数可求得函数的极小值；
（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.
17．【答案】（1）解：选①，由，得（负值舍去）．
选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．
由得．
选③，设第项为常数项，，由，得．
由得展开式的二项式系数最大为，
则展开式中二项式系数最大的项为
（2）解：设第项为有理项，，
因为，，，
所以，
则有理项为，，，．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设第项为有理项，，求出即得解.
18．【答案】（1）解：由题意知，，
又
即 ，解得
（2）解：已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线在点处与直线y=8相切，建立条件关系即可求；
（2）令，解出极值点，对参数分类讨论分别求出函数的单调区间即可.
19．【答案】（1）解：根据列联表中的数据，可以求得
，
所以依据的独立性检验，可以认为购买金额是否少于500元与性别有关
（2）解：因为购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，所以的可能取值为500，450，400，350，
因为每次中奖概率为，所以不中奖的概率为．
所以，，
，．
实际付款数（元）的分布列为：
500 450 400 350
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据，可以求得卡方系数，再与3.841比较大小，即可得出答案.
（2）的可能取值为500，450，400，350，求出每个变量对应的概率，即可求出分布列，再根据期望公式求出期望.
20．【答案】（1）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
x 1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
y 0 4 7 9 11 12 13
，，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，
所以，
故y关于的回归方程；
（2）解：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，
；；；；
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的期望值
【知识点】可线性化的回归分析；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）令 ，则 ，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得 y关于的回归方程； 进而得到y关于x的回归方程；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值．
21．【答案】（1）解：由恒成立，得对恒成立.
令，，令，得
当，，单调递增；当，，单调减，
所以.
故所求实数a的取值范围为
（2）证明：由（1）得恒成立，
要证，只需证即可.
令，
令，易知在单调递增，且，，
故存在，使得.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，，.
故当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解；
（2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可.
22．【答案】（1）解：函数的定义域为，
令，则，令，则，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为
所以函数的极小值为
（2）证明：要证函数在处的切线斜率大于0，即证
即证，又因为，所以
所以，即证，
下面证明不等式
即证，令，令，
则，所以在上单调递增，所以，
所以成立
所以函数在处的切线斜率大于0．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）对求导，根据的单调性求极小值.
（2）由题知，化简得，等价于，构造函数，根据单调性证明即可.
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河北省石家庄市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的运算
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导，从而可得出答案.
2．（2022高二下·石家庄期末）在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X、Y之间有无关系的是（ ）．
总计
总计
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：，
则分类变量和有关系时，与差距会比较大，
由，
故与的值相差应该大，
即的大小可以判断X、Y之间有无关系.
故答案为：D．
【分析】当与差距越大，两个变量有关的可能性就越大，则分类变量和有关系，与差距会比较大，进而可得答案．
3．（2022高二下·石家庄期末）使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】
由有：；由有：；
在上单调递增，在上单调递减，
在上取得最大值的为，A，C，D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用导数研究函数的单调性、最值.
4．（2022高二下·石家庄期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．> B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴μ1＜μ2＝μ3，B、C不符合题意；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长，
∴σ1＝σ2＜σ3，A不符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可.
5．（2020高二下·三水月考）函数 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ， ，则 的定义域为 . ，当 ， ， 单增，当 ， ， 单减，则 .则 在 上单增， 上单减， .
故答案为：B.
【分析】根据函数表达式，把分母设为新函数，首先计算函数定义域，然后求导，根据导函数的正负判断函数单调性，对应函数图象得到答案.
6．（2022高二下·石家庄期末）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据其回归直线方程是，且，则当时，的估计值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为，
所以，
因为回归直线方程是，所以，所以，解得：，
所以，所以当时，的估计值为：.
故答案为：A.
【分析】先求出样本中心点，再代入回归方程，即可求出回归方程，再将代入回归方程即可求解.
7．（2022高二下·石家庄期末）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图所示，
，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故答案为：D．
【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
8．（2022高二下·石家庄期末）已知且，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意，设，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，其草图如图：
则有，
故答案为：A．
【分析】根据题意，设，对三个式子变形可得， ，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．
二、多选题
9．（2022高二下·石家庄期末）从某大学随机选取的8名女大学生，其体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）．
A．若某女大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.849kg
B．若某女大学生身高为172cm，则可断定其体重必为60.316kg
C．若根据样本数据计算出样本相关系数为，则表明体重与身高有很强的正相关关系
D．若根据样本数据计算出的决定系数越接近1，则表明线性回归模型拟合的效果越好
【答案】A,C,D
【知识点】变量间的相关关系；线性回归方程；相关系数
【解析】【解答】由线性回归方程的意义知，若某女大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.849kg，A符合题意；
若某女大学生身高为172cm，则可断定其体重估计为60.316kg，所以B不正确；
根据样本数据计算出样本相关系数为，则表明体重与身高有很强的正相关关系，C符合题意；
根据样本数据计算出的决定系数越接近1，则表明线性回归模型拟合的效果越好，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据回归方程的性质、相关系数的定义对选项依次判断即可得出答案.
10．（2022高二下·石家庄期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；全概率公式
【解析】【解答】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，D符合题意；
因为，，，，A符合题意；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，B，C不正确．
故答案为：AD．
【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
11．（2022高二下·石家庄期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，有唯一零点且
C．时，是的极值点
D．若有3个零点，则的范围为
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】解：对于A，当时，，则，A不符合题意；
对于B，当时，，令，
则，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又，，，
由零点的存在性定理可知，只有一个零点，且，
所以只有一个零点且，B符合题意；
对于C，令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以，
此时函数单调递增，无极值点，
C不符合题意；
对于D，令，
则函数与的零点相同，
当时，，无零点；
当时，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，
当时，，
要使得有个零点，则，即，
解得，
所以的范围为，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用特殊值，即可判断选项A，令，利用导数研究的单调性，结合函数零点的存在性定理即可判断选项B，对函数二次求导，确定函数的单调性，即可判断选项C，令，由导数判断函数的单调性，再结合零点个数列出不等式组求出的取值范围，即可判断选项D．
12．（2022高二下·石家庄期末）已知，在处取得最大值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为
由题可知，所以，
所以，，即B符合题意.
令，因为，所以是增函数，
且，又，所以 ，
即，即C符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
三、填空题
13．（2022高二下·石家庄期末）设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
14．（2022高二下·石家庄期末）将名志愿者分配到3个小区进行志愿服务，每名志愿者只被分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字表示）
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1，再将这3组志愿者分配给3个小区，
因此，不同的分配方案种数为.
故答案为：36.
【分析】将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1，再将这3组志愿者分配给3个小区，利用分步乘法计数原理可得结果.
15．（2022高二下·石家庄期末）三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
故答案为：.
【分析】记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则事件至少有两个数位于同行或同列的概率为，根据条件概率公式求其对立事件概率，由此可得.
16．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，则它的极小值为 ；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】-1；
【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的综合
【解析】【解答】（1）由，得，令，得，
列表如下：
0
0
极小值
所以，函数的极小值为；
（2），，使得，即，.
①当时，函数单调递增，，
，即；
②当时，函数单调递减，，，即；
③当时，，不符合题意.
综上：.
故答案为：-1；.
【分析】1）利用导数可求得函数的极小值；
（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.
四、解答题
17．（2022高二下·石家庄期末）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若____，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
【答案】（1）解：选①，由，得（负值舍去）．
选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．
由得．
选③，设第项为常数项，，由，得．
由得展开式的二项式系数最大为，
则展开式中二项式系数最大的项为
（2）解：设第项为有理项，，
因为，，，
所以，
则有理项为，，，．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设第项为有理项，，求出即得解.
18．（2022高二下·石家庄期末）设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：由题意知，，
又
即 ，解得
（2）解：已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线在点处与直线y=8相切，建立条件关系即可求；
（2）令，解出极值点，对参数分类讨论分别求出函数的单调区间即可.
19．（2022高二下·石家庄期末）某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到数据如表格所示：
500元及以上 少于500元 合计
男 25 25 50
女 15 35 50
合计 40 60 100
附：，．
0.10 0.05 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）依据的独立性检验，能否认为购买金额是否少于500元与性别有关？
（2）为增加销量，该网店计划今年“双11"期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X（元）的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：根据列联表中的数据，可以求得
，
所以依据的独立性检验，可以认为购买金额是否少于500元与性别有关
（2）解：因为购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，所以的可能取值为500，450，400，350，
因为每次中奖概率为，所以不中奖的概率为．
所以，，
，．
实际付款数（元）的分布列为：
500 450 400 350
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据，可以求得卡方系数，再与3.841比较大小，即可得出答案.
（2）的可能取值为500，450，400，350，求出每个变量对应的概率，即可求出分布列，再根据期望公式求出期望.
20．（2022高二下·石家庄期末）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
x 1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
y 0 4 7 9 11 12 13
，，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，
所以，
故y关于的回归方程；
（2）解：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，
；；；；
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的期望值
【知识点】可线性化的回归分析；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）令 ，则 ，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得 y关于的回归方程； 进而得到y关于x的回归方程；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值．
21．（2022高二下·石家庄期末）已知函数，对于，恒成立.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）解：由恒成立，得对恒成立.
令，，令，得
当，，单调递增；当，，单调减，
所以.
故所求实数a的取值范围为
（2）证明：由（1）得恒成立，
要证，只需证即可.
令，
令，易知在单调递增，且，，
故存在，使得.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，，.
故当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解；
（2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可.
22．（2022高二下·石家庄期末）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数的图象与直线交于，两点，且，求证：函数在处的切线斜率大于0．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
令，则，令，则，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为
所以函数的极小值为
（2）证明：要证函数在处的切线斜率大于0，即证
即证，又因为，所以
所以，即证，
下面证明不等式
即证，令，令，
则，所以在上单调递增，所以，
所以成立
所以函数在处的切线斜率大于0．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）对求导，根据的单调性求极小值.
（2）由题知，化简得，等价于，构造函数，根据单调性证明即可.
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