北京市昌平区2021--2022学年高二下学期数学期末质量抽测试卷
1．（2022高二下·昌平期末）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】文氏图中阴影部分表示的集合为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合集合的交集和补集的运算法则，进而表示出文氏图中的阴影部分。
2．（2022高二下·昌平期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】函数在区间上递增；
函数在区间上单调递减；
函数在区间上递增；
函数在区间上递增.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，进而判断出在区间上单调递减的函数。
3．（2022高二下·昌平期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，
所以命题“，”的否定是，。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合特称命题与全称命题互为否定的关系，进而找出命题“，”的否定 。
4．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角以为始边，终边经过点，
所以，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和两角和的正切公式，进而得出的值。
5．（2022高二下·昌平期末）将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】“两个骰子的点数之和为6”的事件包括，共种，
其中“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”的有2种，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出 的值 。
6．（2022高二下·昌平期末）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】为正数，为负数，所以，，
，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出大小关系正确的选项。
7．（2022高二下·昌平期末）已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）
A．93% B．94% C．95% D．96%
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】买到的是优质品的概率是。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合信息表中的数据，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出买到的是优质品的概率。
8．（2022高二下·昌平期末）已知函数，则“对任意实数，恒成立”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】恒成立，则，
解得或，
所以“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件。
9．（2022高二下·昌平期末）设均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】依题意：均为锐角，且，
，
，
，
，
所以。
故答案为：D
【分析】依题意：均为锐角，且，再利用同角三角函数基本关系式，得出
，再利用两角差的正弦公式和诱导公式和不等式的基本性质，得出，从而选出正确的选项。
10．（2022高二下·昌平期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】奇函数；函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】是奇函数，
，即关于对称，
，
，
所以是周期为的周期函数.
，
，，
，
，，
所以，
由于，
所以.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和 ， 进而得出关于对称，再利用转化的方法结合周期函数的定义，进而判断出函数是周期为的周期函数，再利用函数的周期性，进而得出函数的值，从而得出的值。
11．（2022高二下·昌平期末）已知，且，则的最小值为 .
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴，（当且仅当，取“=”）。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出x+y的最小值。
12．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．则 ．
【答案】0
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】由于的终边关于轴对称，所以。
故答案为：0
【分析】由于的终边关于轴对称，所以进而得出的值。
13．（2022高二下·昌平期末）已知函数，其导函数为，则 ．
【答案】
【知识点】函数的值；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复合函数求导的运算法则，进而求出导函数，再利用代入法求出导函数的值。
14．（2022高二下·昌平期末）设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则 .
【答案】32
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】
所以等差数列的首项为，公差为，
所以。
故答案为：32。
【分析】利用已知条件结合数列求和的方法以及等差数列的定义，进而判断出等差数列的首项为，公差为，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列前4项的和。
15．（2022高二下·昌平期末）已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
③函数有三个极值点；
④函数有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.
所以①错误，②正确；
因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确；
又因为，
由图像可知、、时，，即，
又在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
所以、0、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
【分析】利用已知条件结合函数与导函数的图象，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，再结合导数求极值点的方法，进而得出函数g(x)的极值点的个数，再结合函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而求出函数g(x)的零点个数，进而找出正确的结论序号。
16．（2022高二下·昌平期末）设函数，若，则函数有 个零点；若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】3；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【解答】当时，，
时，令，即，解得或，
时，，易知在上单调递减，
又，
所以由函数零点存在定理可得在上有且只有一个零点，
综上，时，函数有3个零点；
因为函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，；时，，且，
所以，
所以实数的取值范围是。
故答案为：3；。
【分析】当时，进而得出分段函数的解析式，再利用分类讨论的方法和函数的单调性，再结合函数的零点求解方法和零点存在性定理，进而判断出函数的零点个数；利用函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，进而由已知条件求出实数a的取值范围。
17．（2022高二下·昌平期末）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，
所以.
设等比数列的公比为，
由于，
所以，
所以
（2）解：，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式，进而得出等差数列的公差的值，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数量数列的通项公式求出数列的通项公式。
（2）利用 ，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法，进而得出数列的前项和。
18．（2022高二下·昌平期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时的取值范围.
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
注：如果选择条件①、条件②、和条件③分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）得，
选条件①：因为的最大值为，所以，即，
此时，实数的值唯一确定，满足题意.
所以，当时， ，
因为函数在上的最小值为，
所以，，解得，
所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.
选条件②：的一个对称中心为，所以，即，
此时，实数的值唯一确定，满足题意.
所以，当时， ，
因为函数在上的最小值为，
所以，，解得，
所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.
条件③：的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
（2） 由（1）得。
选条件①：利用函数的最大值为，再利用正弦型函数图象求最值的方法，进而得出实数m的值，此时，实数的值唯一确定，满足题意，所以，当时结合构造法和正弦函数的图象求值域的方法，进而得出函数在上的最小值，进而得出函数在区间上最小值时的取值范围；
选条件②：函数的一个对称中心为，再利用正弦型函数的图象求对称中心的方法，进而得出实数m的值，此时，实数的值唯一确定，满足题意，所以，当时结合构造法和正弦函数的图象求最小值的方法，进而函数在上的最小值，从而得出函数在区间上最小值为时的取值范围；
条件③：利用的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意。
19．（2022高二下·昌平期末）为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：
设备类型 仅使用手机 仅使用平板 仅使用电脑 同时使用两种及两种以上设备 使用其他设备或不使用设备
使用人数 17 16 65 32 0
假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．
（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；
（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（3）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备， 表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差，的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）解：学生上网课仅使用手机的概率为，
学生上网课仅使用平板的概率为
（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为，
可取，且，
，
，
，
，
则分布列为：
0 1 2 3
；
（3）解：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)，
，
所以，
，
，
，
所以，
，
所以。
【分析】（1）利用已知条件结合数据表中的数据，子啊结婚古典概型求概率公式，进而分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率。
（2） 利用已知条件结合古典概型求概率公式得出学生上网课仅使用电脑的概率，再利用已知条件得出随机变量的取值，且，再利用二项分布求概率的方法得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望的公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件结合数学方差公式和比较法，进而比较出方差，的大小。
20．（2022高二下·昌平期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）解：当时，，，
，
所以在处的切线方程为
（2）解：，
当时，，在上递减，没有极值.
当时，的定义域为，
令解得.
当时，在区间递减；
在区间递增；
的极小值为，无极大值.
当时，在区间递增；
在区间递减；
的极大值为，无极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间，再结合函数的单调性，进而求出函数的极值。
21．（2022高二下·昌平期末）已知是由正整数组成的无穷数列．设，其中，，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数．
（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
（2）设是正整数．证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；
（3）证明：若，（），则的项只能是1或者2，且有无穷多项为．
【答案】（1）解：由题知，在中，，，，
（2）证明：充分性：是公比为的等比数列且为正整数，
，
，
.
必要性：，
，
又
，
，
，
为公比为的等比数列.
（3）证明：，
，
对任意 ，
假设中存在大于2的项，
设为满足的最小正整数，
则 ，对任意 ，
又且，
故 ，与矛盾，
对于任意 ，有 ，
即非负整数列各项只能为1或2.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数列的周期性，进而得出 ，，，的值。
（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再结合等比数列的定义，进而证出 （）的充分必要条件为是公比为的等比数列 。
（3）利用已知条件结合反证法证出若，（），则的项只能是1或者2，且有无穷多项为。
1 / 1北京市昌平区2021--2022学年高二下学期数学期末质量抽测试卷
1．（2022高二下·昌平期末）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·昌平期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·昌平期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
5．（2022高二下·昌平期末）将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·昌平期末）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·昌平期末）已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）
A．93% B．94% C．95% D．96%
8．（2022高二下·昌平期末）已知函数，则“对任意实数，恒成立”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022高二下·昌平期末）设均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·昌平期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
11．（2022高二下·昌平期末）已知，且，则的最小值为 .
12．（2022高二下·昌平期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．则 ．
13．（2022高二下·昌平期末）已知函数，其导函数为，则 ．
14．（2022高二下·昌平期末）设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则 .
15．（2022高二下·昌平期末）已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
③函数有三个极值点；
④函数有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是 .
16．（2022高二下·昌平期末）设函数，若，则函数有 个零点；若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
17．（2022高二下·昌平期末）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2022高二下·昌平期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时的取值范围.
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
注：如果选择条件①、条件②、和条件③分别解答，按第一个解答计分.
19．（2022高二下·昌平期末）为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：
设备类型 仅使用手机 仅使用平板 仅使用电脑 同时使用两种及两种以上设备 使用其他设备或不使用设备
使用人数 17 16 65 32 0
假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．
（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；
（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（3）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备， 表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差，的大小.（结论不要求证明）
20．（2022高二下·昌平期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
21．（2022高二下·昌平期末）已知是由正整数组成的无穷数列．设，其中，，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数．
（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
（2）设是正整数．证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；
（3）证明：若，（），则的项只能是1或者2，且有无穷多项为．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】文氏图中阴影部分表示的集合为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合集合的交集和补集的运算法则，进而表示出文氏图中的阴影部分。
2．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】函数在区间上递增；
函数在区间上单调递减；
函数在区间上递增；
函数在区间上递增.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，进而判断出在区间上单调递减的函数。
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，
所以命题“，”的否定是，。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合特称命题与全称命题互为否定的关系，进而找出命题“，”的否定 。
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角以为始边，终边经过点，
所以，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义和两角和的正切公式，进而得出的值。
5．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】“两个骰子的点数之和为6”的事件包括，共种，
其中“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”的有2种，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出 的值 。
6．【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】为正数，为负数，所以，，
，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出大小关系正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】买到的是优质品的概率是。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合信息表中的数据，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出买到的是优质品的概率。
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】恒成立，则，
解得或，
所以“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件。
9．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】依题意：均为锐角，且，
，
，
，
，
所以。
故答案为：D
【分析】依题意：均为锐角，且，再利用同角三角函数基本关系式，得出
，再利用两角差的正弦公式和诱导公式和不等式的基本性质，得出，从而选出正确的选项。
10．【答案】C
【知识点】奇函数；函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】是奇函数，
，即关于对称，
，
，
所以是周期为的周期函数.
，
，，
，
，，
所以，
由于，
所以.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和 ， 进而得出关于对称，再利用转化的方法结合周期函数的定义，进而判断出函数是周期为的周期函数，再利用函数的周期性，进而得出函数的值，从而得出的值。
11．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴，（当且仅当，取“=”）。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出x+y的最小值。
12．【答案】0
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】由于的终边关于轴对称，所以。
故答案为：0
【分析】由于的终边关于轴对称，所以进而得出的值。
13．【答案】
【知识点】函数的值；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复合函数求导的运算法则，进而求出导函数，再利用代入法求出导函数的值。
14．【答案】32
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】
所以等差数列的首项为，公差为，
所以。
故答案为：32。
【分析】利用已知条件结合数列求和的方法以及等差数列的定义，进而判断出等差数列的首项为，公差为，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列前4项的和。
15．【答案】②③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.
所以①错误，②正确；
因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确；
又因为，
由图像可知、、时，，即，
又在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
所以、0、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
【分析】利用已知条件结合函数与导函数的图象，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，再结合导数求极值点的方法，进而得出函数g(x)的极值点的个数，再结合函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而求出函数g(x)的零点个数，进而找出正确的结论序号。
16．【答案】3；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【解答】当时，，
时，令，即，解得或，
时，，易知在上单调递减，
又，
所以由函数零点存在定理可得在上有且只有一个零点，
综上，时，函数有3个零点；
因为函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，；时，，且，
所以，
所以实数的取值范围是。
故答案为：3；。
【分析】当时，进而得出分段函数的解析式，再利用分类讨论的方法和函数的单调性，再结合函数的零点求解方法和零点存在性定理，进而判断出函数的零点个数；利用函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，进而由已知条件求出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，
所以.
设等比数列的公比为，
由于，
所以，
所以
（2）解：，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式，进而得出等差数列的公差的值，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数量数列的通项公式求出数列的通项公式。
（2）利用 ，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法，进而得出数列的前项和。
18．【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）得，
选条件①：因为的最大值为，所以，即，
此时，实数的值唯一确定，满足题意.
所以，当时， ，
因为函数在上的最小值为，
所以，，解得，
所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.
选条件②：的一个对称中心为，所以，即，
此时，实数的值唯一确定，满足题意.
所以，当时， ，
因为函数在上的最小值为，
所以，，解得，
所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.
条件③：的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
（2） 由（1）得。
选条件①：利用函数的最大值为，再利用正弦型函数图象求最值的方法，进而得出实数m的值，此时，实数的值唯一确定，满足题意，所以，当时结合构造法和正弦函数的图象求值域的方法，进而得出函数在上的最小值，进而得出函数在区间上最小值时的取值范围；
选条件②：函数的一个对称中心为，再利用正弦型函数的图象求对称中心的方法，进而得出实数m的值，此时，实数的值唯一确定，满足题意，所以，当时结合构造法和正弦函数的图象求最小值的方法，进而函数在上的最小值，从而得出函数在区间上最小值为时的取值范围；
条件③：利用的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意。
19．【答案】（1）解：学生上网课仅使用手机的概率为，
学生上网课仅使用平板的概率为
（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为，
可取，且，
，
，
，
，
则分布列为：
0 1 2 3
；
（3）解：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)，
，
所以，
，
，
，
所以，
，
所以。
【分析】（1）利用已知条件结合数据表中的数据，子啊结婚古典概型求概率公式，进而分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率。
（2） 利用已知条件结合古典概型求概率公式得出学生上网课仅使用电脑的概率，再利用已知条件得出随机变量的取值，且，再利用二项分布求概率的方法得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望的公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件结合数学方差公式和比较法，进而比较出方差，的大小。
20．【答案】（1）解：当时，，，
，
所以在处的切线方程为
（2）解：，
当时，，在上递减，没有极值.
当时，的定义域为，
令解得.
当时，在区间递减；
在区间递增；
的极小值为，无极大值.
当时，在区间递增；
在区间递减；
的极大值为，无极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间，再结合函数的单调性，进而求出函数的极值。
21．【答案】（1）解：由题知，在中，，，，
（2）证明：充分性：是公比为的等比数列且为正整数，
，
，
.
必要性：，
，
又
，
，
，
为公比为的等比数列.
（3）证明：，
，
对任意 ，
假设中存在大于2的项，
设为满足的最小正整数，
则 ，对任意 ，
又且，
故 ，与矛盾，
对于任意 ，有 ，
即非负整数列各项只能为1或2.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数列的周期性，进而得出 ，，，的值。
（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再结合等比数列的定义，进而证出 （）的充分必要条件为是公比为的等比数列 。
（3）利用已知条件结合反证法证出若，（），则的项只能是1或者2，且有无穷多项为。
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