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北京市海淀区2021-2022学年高二下学期数学学业水平调研试卷
一、单选题
1．（2022高二下·海淀会考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】利用交集的定义即可求出答案.
2．（2022高二下·海淀会考）设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案.
3．（2021·唐山模拟）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．20 B．-20 C．160 D．-160
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式 ，令 ，
常数项 。
故答案为：D．
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
4．（2022高二下·海淀会考）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由可得：，，，A，B，C不符合题意，，D符合题意.
故答案为：D
【分析】 结合已知中a5．（2022高二下·海淀会考）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，
则，
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解出答案.
6．（2022高二下·海淀会考）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，
所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
故答案为：B
【分析】从四门学科的全排列数中去掉体育排第一节的排列数，即可得出答案.
7．（2022高二下·海淀会考）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，
所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：C.
【分析】求出小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出恰好出现一次龙的图案朝上的概率 .
8．（2022高二下·海淀会考）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
9．（2022高二下·海淀会考）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性
【解析】【解答】解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】 由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件定义，即可得出答案.
10．（2022高二下·海淀会考）已知函数，，给出下列三个结论：
①一定存在零点；②对任意给定的实数，一定有最大值；③在区间上不可能有两个极值点．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】①当时，，由，可得在存在零点
当时，，由，
，可得在存在零点
当时，在单调递减，值域
又在单调递增，值域，
则与的图象在必相交，
则在存在零点
综上，一定存在零点.判断正确；
②当时，，，在单调递增，存在最大值；
当时，，则，
在上单调递减，值域，
当，时，在上值域
则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；
当时，在上单调递减，
则在上单调递减，，
则，使得
则时，，时，
则在单调递增，在单调递减，存在最大值；
当时，在上单调递增，
当时，，恒成立，
则在单调递增，
当时，单调递增，值域为
又当时，单调递减，值域为
则当时，
若，则在单调递增，
则在单调递增，存在最大值；
若，使得时；时；
则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，
则在有最大值；
综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；
③令，则，，
在上单调递减，值域，
在上单调递增，值域，
又，，
则，使得
则当，或时，，单调递增
当时，，单调递减
则在区间上有两个极值点．判断错误.
故答案为：C
【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得f (x)的零点判断①；利用导数并分类讨论判定f (x)是否有最大值判断②；举反例判断③，即可得答案.
二、填空题
11．（2022高二下·海淀会考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ．
【答案】-1-2i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为复数对应的点的坐标是，
所以，
所以.
故答案为：-1-2i.
【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义，根据复数的四则运算，即可求解出答案.
12．（2022高二下·海淀会考）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
等价于，解得：或.
故答案为：.
【分析】写出分式不等式的等价不等式组，解不等式组，即可求出答案.
13．（2022高二下·海淀会考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上递减，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，从而求出a的取值范围.
14．（2022高二下·海淀会考）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为 元．
【答案】4880
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【解答】设，，则，
则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案为：4880.
【分析】设，，则，这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出一个这样的简易工作房的总造价最低值.
15．（2022高二下·海淀会考）已知数列的每一项均不为0，其前项和为，且．
①当时， ；
②若对任意的，恒成立，则的最大值为 ．
【答案】4；1
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】①，故，，可得，，可解得；
②当，，故，
，，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，即数列为公差为6的等差数列，
若对任意的，恒成立，
由得，，即，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
当时，
，
由得，，即，
即，结合，可解得；
同理，由上得，，故恒成立，
综上，，即最大值为1.
故答案为：① 4；② 1
【分析】 ①由已知可得，可求a3的值；②由①知序号为奇数的项构成以a1为首项公差的等差数列，序号为偶数的项构成以a2为首项公差的等差数列，由题意计算可得 的最大值 .
三、解答题
16．（2022高二下·海淀会考）已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）解：，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
（2）解：，因此
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)先根据已知条件及等比中项的性质列出关于公差d的方程组，解出d的值，即可计算出等差 数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列 的通项公式，再利用分组求和法即可计算出数列的前项和．
17．（2022高二下·海淀会考）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比 1.5% 2% 3% 5% 8% 9% 20%
表一
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；
（3）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）
【答案】（1）解：从2015年到2021年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为
（2）解：从2015年至2021年中随机选取两年共有种选法，只有2020年和2021年这两年，新能源汽车销量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆，
故可取：
；
的分布列为：
0 1 2
期望
（3）解：2019年，2021年
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)从2015年到2021年这七年中，新能源汽车销量（单位：万辆）分别为： ，
其中，故只有2021，2018，2019连续三年以及2019，2020，2021这三年第三年的销量大于前两年的销量之和，故“爆发年”的年份为：2019，2021年.
【分析】 (1)根据汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，根据古典概型公式计算即可求出这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率 ；
(2)根据图表算出新能源汽车每年的销量，再求出X的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的概率分布列及期望公式计算即可得 的分布列和数学期望；
(3)根据 “爆发年”的定义即可分析数据得以求解.
18．（2022高二下·海淀会考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，，
所以函数在上递增，
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的单调区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）解：由（1）得，
当时，函数在上递增，
所以函数最多一个零点，
故不符题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据函数的单调性，问题转化为 ，解关于a的不等式，求出a的取值范围.
19．（2022高二下·海淀会考）已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，．
（1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
（2）若数列A，均为项0-1数列，证明：；
（3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由
【答案】（1）解：，
（2）证明：对于两个0-1数列A：和：，
记数列：，对于，
若，则此时；
若，则此时，
故对于数列：，考虑的值：
若，则；
若，则，
所以与是同一数列，
所以
（3）解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下：
对于3个项0-1数列A，，，
记，
则，
当时，，
当中有一个不同于其他两个时，，
所以是奇数，
则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；
若为偶数，即，
可构造：，，，
此时数列为，数列，相同，都是，
所以有，
综上所述，当为偶数时，有可能为，
当为奇数时，不可能成立.
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】(1)解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1，所以数列：，数列：，所以，；
【分析】(1)易求 和的值；
(2) 记数列：， 分 与 ，进行讨论可证得 ； (3) 若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，， 使得 ，若为偶数，即，可构造：，，， 当为奇数时，不可能成立.
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北京市海淀区2021-2022学年高二下学期数学学业水平调研试卷
一、单选题
1．（2022高二下·海淀会考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·海淀会考）设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·唐山模拟）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．20 B．-20 C．160 D．-160
4．（2022高二下·海淀会考）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·海淀会考）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
6．（2022高二下·海淀会考）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
7．（2022高二下·海淀会考）小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·海淀会考）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·海淀会考）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022高二下·海淀会考）已知函数，，给出下列三个结论：
①一定存在零点；②对任意给定的实数，一定有最大值；③在区间上不可能有两个极值点．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2022高二下·海淀会考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ．
12．（2022高二下·海淀会考）不等式的解集是 ．
13．（2022高二下·海淀会考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
14．（2022高二下·海淀会考）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为 元．
15．（2022高二下·海淀会考）已知数列的每一项均不为0，其前项和为，且．
①当时， ；
②若对任意的，恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题
16．（2022高二下·海淀会考）已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
17．（2022高二下·海淀会考）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比 1.5% 2% 3% 5% 8% 9% 20%
表一
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；
（3）对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）
18．（2022高二下·海淀会考）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
19．（2022高二下·海淀会考）已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，．
（1）已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
（2）若数列A，均为项0-1数列，证明：；
（3）对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】利用交集的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案.
3．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式 ，令 ，
常数项 。
故答案为：D．
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
4．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由可得：，，，A，B，C不符合题意，，D符合题意.
故答案为：D
【分析】 结合已知中a5．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，
则，
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解出答案.
6．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，
所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
故答案为：B
【分析】从四门学科的全排列数中去掉体育排第一节的排列数，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，
所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：C.
【分析】求出小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出恰好出现一次龙的图案朝上的概率 .
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
9．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性
【解析】【解答】解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】 由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件定义，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】①当时，，由，可得在存在零点
当时，，由，
，可得在存在零点
当时，在单调递减，值域
又在单调递增，值域，
则与的图象在必相交，
则在存在零点
综上，一定存在零点.判断正确；
②当时，，，在单调递增，存在最大值；
当时，，则，
在上单调递减，值域，
当，时，在上值域
则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；
当时，在上单调递减，
则在上单调递减，，
则，使得
则时，，时，
则在单调递增，在单调递减，存在最大值；
当时，在上单调递增，
当时，，恒成立，
则在单调递增，
当时，单调递增，值域为
又当时，单调递减，值域为
则当时，
若，则在单调递增，
则在单调递增，存在最大值；
若，使得时；时；
则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，
则在有最大值；
综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；
③令，则，，
在上单调递减，值域，
在上单调递增，值域，
又，，
则，使得
则当，或时，，单调递增
当时，，单调递减
则在区间上有两个极值点．判断错误.
故答案为：C
【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得f (x)的零点判断①；利用导数并分类讨论判定f (x)是否有最大值判断②；举反例判断③，即可得答案.
11．【答案】-1-2i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为复数对应的点的坐标是，
所以，
所以.
故答案为：-1-2i.
【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义，根据复数的四则运算，即可求解出答案.
12．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
等价于，解得：或.
故答案为：.
【分析】写出分式不等式的等价不等式组，解不等式组，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上递减，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，从而求出a的取值范围.
14．【答案】4880
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【解答】设，，则，
则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案为：4880.
【分析】设，，则，这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出一个这样的简易工作房的总造价最低值.
15．【答案】4；1
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】①，故，，可得，，可解得；
②当，，故，
，，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列，即数列为公差为6的等差数列，
若对任意的，恒成立，
由得，，即，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
由得，，即，结合，可解得；
当时，
，
由得，，即，
即，结合，可解得；
同理，由上得，，故恒成立，
综上，，即最大值为1.
故答案为：① 4；② 1
【分析】 ①由已知可得，可求a3的值；②由①知序号为奇数的项构成以a1为首项公差的等差数列，序号为偶数的项构成以a2为首项公差的等差数列，由题意计算可得 的最大值 .
16．【答案】（1）解：，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
（2）解：，因此
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)先根据已知条件及等比中项的性质列出关于公差d的方程组，解出d的值，即可计算出等差 数列的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列 的通项公式，再利用分组求和法即可计算出数列的前项和．
17．【答案】（1）解：从2015年到2021年这七年中，汽车总销量不小于5.5万辆的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为
（2）解：从2015年至2021年中随机选取两年共有种选法，只有2020年和2021年这两年，新能源汽车销量超过了0.5万辆，其余5年的销量均未超过0.5万辆，
故可取：
；
的分布列为：
0 1 2
期望
（3）解：2019年，2021年
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)从2015年到2021年这七年中，新能源汽车销量（单位：万辆）分别为： ，
其中，故只有2021，2018，2019连续三年以及2019，2020，2021这三年第三年的销量大于前两年的销量之和，故“爆发年”的年份为：2019，2021年.
【分析】 (1)根据汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，根据古典概型公式计算即可求出这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率 ；
(2)根据图表算出新能源汽车每年的销量，再求出X的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的概率分布列及期望公式计算即可得 的分布列和数学期望；
(3)根据 “爆发年”的定义即可分析数据得以求解.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，，
所以函数在上递增，
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的单调区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）解：由（1）得，
当时，函数在上递增，
所以函数最多一个零点，
故不符题意；
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
又当时，，当时，，
因为有两个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据函数的单调性，问题转化为 ，解关于a的不等式，求出a的取值范围.
19．【答案】（1）解：，
（2）证明：对于两个0-1数列A：和：，
记数列：，对于，
若，则此时；
若，则此时，
故对于数列：，考虑的值：
若，则；
若，则，
所以与是同一数列，
所以
（3）解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下：
对于3个项0-1数列A，，，
记，
则，
当时，，
当中有一个不同于其他两个时，，
所以是奇数，
则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；
若为偶数，即，
可构造：，，，
此时数列为，数列，相同，都是，
所以有，
综上所述，当为偶数时，有可能为，
当为奇数时，不可能成立.
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】(1)解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1，所以数列：，数列：，所以，；
【分析】(1)易求 和的值；
(2) 记数列：， 分 与 ，进行讨论可证得 ； (3) 若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，， 使得 ，若为偶数，即，可构造：，，， 当为奇数时，不可能成立.
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