北京市平谷区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·平谷期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022高二下·平谷期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
3．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
4．（2022高二下·平谷期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（ ）
A．20 B．8 C．9 D．120
5．（2016高三上·宜春期中）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·平谷期末）若是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．26 B．18 C．22 D．72
7．（2022高二下·平谷期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·平谷期末）口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·平谷期末）已知直线与曲线切于点，则b的值为（ ）
A．3 B．-3 C．5 D．-5
10．（2015高二下·临漳期中）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0 ，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
二、填空题
11．（2022高二下·岑溪期中）的展开式中x的系数为 （用数字作答）.
12．（2022高二下·平谷期末）甲 乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
13．（2022高二下·平谷期末）设双曲线＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 .
14．（2022高二下·平谷期末）已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：
①数列具有性质；
②数列具有性质；
③若数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则.
其中正确的命题有 .
15．（2022高二下·平谷期末）在等比数列中，若，则公比 ； 时，的前项积最大.
三、解答题
16．（2022高二下·平谷期末）已知函数在点处的切线斜率为-6，且当时，取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间.
17．（2022高二下·平谷期末）已知是等差数列，，其前5项和.
（1）求的通项；
（2）求前项和的最大值.
18．（2022高二下·平谷期末）某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男 女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表，规定：数据，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 女生人数
优秀 4 2
良好 5 4
及格 8 11
不及格 60以下 3 3
总计 — 20 20
（1）估计该校高一年级学生体质健康等级是合格的概率；
（2）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.
19．（2022高二下·平谷期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.
20．（2022高二下·平谷期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
21．（2022高二下·平谷期末）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故答案为：A
【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对A，在上，故函数在上单调，A不符合题意；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，B不符合题意；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，逐项进行判断，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，解得，
故.
故答案为：D.
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得公比q，进而计算可得答案.
4．【答案】A
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意，在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是
故答案为：A
【分析】 根据题意，由组合数公式计算可得答案.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得 ，
故选D．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
6．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】∵
∴.
故答案为：C.
【分析】由可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故答案为：C.
【分析】 分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出答案.
8．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】每次取球时，出现3号球的概率为，则两次取得球都是3号求得概率为，
两次取得球只有一次取得3号求得概率为，
故“两次取球中有3号球”的概率为，
故答案为：A.
【分析】 每次取球时，出现3号球的概率为，求得两次取得球都是3号求得概率为，两次取得球只有一次取得3号求得概率为，再把这2个概率值相加，即可求得“两次取球中有3号球”的概率 .
9．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】把代入直线中，得到，
求导得：，所以，解得，
把及代入曲线方程得：，
则b的值为3.
故答案为：A.
【分析】 因为(1， 3)是直线与曲线的交点，所以把(1，3)代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值.
10．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：M'（t）=M0× ，
M'（30）=M0× =﹣10ln2，
∴M0=600．
∴ ．
故选D．
【分析】由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0× ，再由M'（30）=M0× =﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．
11．【答案】-10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为-10；
故答案为：-10
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数.
12．【答案】0.625
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记事件为“乙命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，
则，
，
．
故答案为：0.625．
【分析】计算得到目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次目乙中目标的概率，由条件概率公式可求得乙命中目标的概率 .
13．【答案】y＝±x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
故答案为：y＝±x．
【分析】由已知条件求出b，c，进而根据求出a，再根据双曲线的渐近线方程，求出答案.
14．【答案】②③④
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：①对于数列0，1，3，选取1，3，则3+1A，，所以数列0，1，3不具有性质P，故错误；
②对于数列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），(6+0，6-0)，(4+2，4-2)，(6+2，6-2)，(6+4，6-4)这6组数中的每一组至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质P.故正确；
③若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项，
又由，所以，故③正确；
④因为数列具有性质，
所以与至少有一个是该数列中的一项，且，
若是该数列中的一项，则，
因为，易知不是该数列的项，
所以，所以．
若是该数列中的一项，则或或，
a、若同，
b、若，则，与矛盾，
c、，则，
综上．故④正确．
故答案为：②③④.
【分析】 直接利用题中的信息和定义性数列的性质及赋值法的应用，逐项进行判断，即可得答案.
15．【答案】；4
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】在等比数列中，由，得 ，
∴ ；
∴
则的前n项积：
当n为奇数时，
∴当n为偶数时 有最大值．
又 ，
且当n为大于等于4的偶数时，，
∴当n=4时，的前n项积最大.
故答案为；4.
【分析】直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案.
16．【答案】（1）解：由，有且，，
解得，故，经检验时，取得极值，符合题意.
（2）解：，
，
令解得或，令解得，
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，得到关于a， c的方程组，求出a， c的值，求出函数的解析式；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间.
17．【答案】（1）解：为等差数列，，，.又，即，解得，故，即
（2）解：因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【分析】(1)列出关于首项和公差的方程组，即可求出 的通项；
(2)根据数列的求和公式和二次函数的性质即可求出 前项和的最大值.
18．【答案】（1）解：样本中合格的学生数为：，样本总数为：，
这名学生体质健康合格的概率
（2）解：依题意的可能取值为0、1、2，
所以，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以
（3）解：由样本可知男生健康等级是优秀的概率为，女生健康等级是优秀的概率为，
则这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1 )利用古典概型的概率公式计算可得高一年级学生体质健康等级是合格的概率；
(2)依题意X的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，即可求出X的分布列与数学期望；
(3)首先求出样本中男、女生健康等级是优秀的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.
19．【答案】（1）解：由题意可得，，，
解得，
所以椭圆的方程为：
（2）解：设直线的方程为：，
则过原点的直线且与直线平行的直线为，
因为是直线与的交点，所以，
因为直线的方程与椭圆方程联立：
，整理可得：，
可得，，
即，因为，
直线的方程为：，
联立，解得：，由题意可得，
所以，，
所以，即，所以，即为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) ：由题意可得，，再根据 ，求出a2，即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线的方程为：，，即可求出P点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出M的坐标，同理求出Q的坐标，再求出 的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到 即可证得 为定值.
20．【答案】（1）解：当时，，则，
又，，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：时，由函数，得：，
当且时，，当时，，
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再求出f (0)，利用直线方程的点斜式得答案；
(2)求出原函数的导函数，利用导函数大于0，可得函数的增区间，利用导函数小于0，可得原函数的减区间.
21．【答案】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为
（2）解：由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义可得 即可求出a、b，从而求出椭圆的方程；
(2)由(1)可得A点坐标， 当直线斜率不存在时 ，直接求出P、Q两点坐标，从而得到直线方程，即可求出 的值， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出直线方程，即可得到点的坐标，从而求出的值.
1 / 1北京市平谷区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·平谷期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故答案为：A
【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得答案.
2．（2022高二下·平谷期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对A，在上，故函数在上单调，A不符合题意；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，B不符合题意；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，逐项进行判断，可得答案.
3．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，解得，
故.
故答案为：D.
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得公比q，进而计算可得答案.
4．（2022高二下·平谷期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（ ）
A．20 B．8 C．9 D．120
【答案】A
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意，在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是
故答案为：A
【分析】 根据题意，由组合数公式计算可得答案.
5．（2016高三上·宜春期中）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得 ，
故选D．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
6．（2022高二下·平谷期末）若是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．26 B．18 C．22 D．72
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】∵
∴.
故答案为：C.
【分析】由可求出答案.
7．（2022高二下·平谷期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故答案为：C.
【分析】 分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出答案.
8．（2022高二下·平谷期末）口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】每次取球时，出现3号球的概率为，则两次取得球都是3号求得概率为，
两次取得球只有一次取得3号求得概率为，
故“两次取球中有3号球”的概率为，
故答案为：A.
【分析】 每次取球时，出现3号球的概率为，求得两次取得球都是3号求得概率为，两次取得球只有一次取得3号求得概率为，再把这2个概率值相加，即可求得“两次取球中有3号球”的概率 .
9．（2022高二下·平谷期末）已知直线与曲线切于点，则b的值为（ ）
A．3 B．-3 C．5 D．-5
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】把代入直线中，得到，
求导得：，所以，解得，
把及代入曲线方程得：，
则b的值为3.
故答案为：A.
【分析】 因为(1， 3)是直线与曲线的交点，所以把(1，3)代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值.
10．（2015高二下·临漳期中）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0 ，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：M'（t）=M0× ，
M'（30）=M0× =﹣10ln2，
∴M0=600．
∴ ．
故选D．
【分析】由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0× ，再由M'（30）=M0× =﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．
二、填空题
11．（2022高二下·岑溪期中）的展开式中x的系数为 （用数字作答）.
【答案】-10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为-10；
故答案为：-10
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数.
12．（2022高二下·平谷期末）甲 乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
【答案】0.625
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记事件为“乙命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，
则，
，
．
故答案为：0.625．
【分析】计算得到目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次目乙中目标的概率，由条件概率公式可求得乙命中目标的概率 .
13．（2022高二下·平谷期末）设双曲线＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】y＝±x
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
故答案为：y＝±x．
【分析】由已知条件求出b，c，进而根据求出a，再根据双曲线的渐近线方程，求出答案.
14．（2022高二下·平谷期末）已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：
①数列具有性质；
②数列具有性质；
③若数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则.
其中正确的命题有 .
【答案】②③④
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：①对于数列0，1，3，选取1，3，则3+1A，，所以数列0，1，3不具有性质P，故错误；
②对于数列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），(6+0，6-0)，(4+2，4-2)，(6+2，6-2)，(6+4，6-4)这6组数中的每一组至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质P.故正确；
③若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项，
又由，所以，故③正确；
④因为数列具有性质，
所以与至少有一个是该数列中的一项，且，
若是该数列中的一项，则，
因为，易知不是该数列的项，
所以，所以．
若是该数列中的一项，则或或，
a、若同，
b、若，则，与矛盾，
c、，则，
综上．故④正确．
故答案为：②③④.
【分析】 直接利用题中的信息和定义性数列的性质及赋值法的应用，逐项进行判断，即可得答案.
15．（2022高二下·平谷期末）在等比数列中，若，则公比 ； 时，的前项积最大.
【答案】；4
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】在等比数列中，由，得 ，
∴ ；
∴
则的前n项积：
当n为奇数时，
∴当n为偶数时 有最大值．
又 ，
且当n为大于等于4的偶数时，，
∴当n=4时，的前n项积最大.
故答案为；4.
【分析】直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案.
三、解答题
16．（2022高二下·平谷期末）已知函数在点处的切线斜率为-6，且当时，取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）解：由，有且，，
解得，故，经检验时，取得极值，符合题意.
（2）解：，
，
令解得或，令解得，
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，得到关于a， c的方程组，求出a， c的值，求出函数的解析式；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间.
17．（2022高二下·平谷期末）已知是等差数列，，其前5项和.
（1）求的通项；
（2）求前项和的最大值.
【答案】（1）解：为等差数列，，，.又，即，解得，故，即
（2）解：因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【分析】(1)列出关于首项和公差的方程组，即可求出 的通项；
(2)根据数列的求和公式和二次函数的性质即可求出 前项和的最大值.
18．（2022高二下·平谷期末）某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男 女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表，规定：数据，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 女生人数
优秀 4 2
良好 5 4
及格 8 11
不及格 60以下 3 3
总计 — 20 20
（1）估计该校高一年级学生体质健康等级是合格的概率；
（2）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.
【答案】（1）解：样本中合格的学生数为：，样本总数为：，
这名学生体质健康合格的概率
（2）解：依题意的可能取值为0、1、2，
所以，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以
（3）解：由样本可知男生健康等级是优秀的概率为，女生健康等级是优秀的概率为，
则这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1 )利用古典概型的概率公式计算可得高一年级学生体质健康等级是合格的概率；
(2)依题意X的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，即可求出X的分布列与数学期望；
(3)首先求出样本中男、女生健康等级是优秀的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.
19．（2022高二下·平谷期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.
【答案】（1）解：由题意可得，，，
解得，
所以椭圆的方程为：
（2）解：设直线的方程为：，
则过原点的直线且与直线平行的直线为，
因为是直线与的交点，所以，
因为直线的方程与椭圆方程联立：
，整理可得：，
可得，，
即，因为，
直线的方程为：，
联立，解得：，由题意可得，
所以，，
所以，即，所以，即为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) ：由题意可得，，再根据 ，求出a2，即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线的方程为：，，即可求出P点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出M的坐标，同理求出Q的坐标，再求出 的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到 即可证得 为定值.
20．（2022高二下·平谷期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间.
【答案】（1）解：当时，，则，
又，，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：时，由函数，得：，
当且时，，当时，，
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再求出f (0)，利用直线方程的点斜式得答案；
(2)求出原函数的导函数，利用导函数大于0，可得函数的增区间，利用导函数小于0，可得原函数的减区间.
21．（2022高二下·平谷期末）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
【答案】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为
（2）解：由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义可得 即可求出a、b，从而求出椭圆的方程；
(2)由(1)可得A点坐标， 当直线斜率不存在时 ，直接求出P、Q两点坐标，从而得到直线方程，即可求出 的值， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出直线方程，即可得到点的坐标，从而求出的值.
1 / 1
