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北京市石景山区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·石景山期末）已知等差数列的通项公式为， 则它的公差是（ ）
A．-5 B．-2 C．2 D．5
2．（2022高二下·石景山期末）如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）
A．12千米/小时 B．24千米/小时
C．48千米/小时 D．64千米/小时
3．（2017高二下·东城期末）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（ ）
A．4种 B．12种 C．24种 D．120种
4．（2022高二下·石景山期末）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．21 B．－21 C．35 D．－35
5．（2022高二下·石景山期末）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A．5，-1 B．-1，5 C．-1，0 D．0，-1
6．（2020高二下·哈尔滨期中）从 中任取2个不同的数，事件 “取到的2个数之和为偶数”，事件 “取到两个数均为偶数”，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·石景山期末）下列命题错误的是（ ）
A．随机变量，若，则
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．设，且，则
8．（2022高二下·石景山期末）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2022高二下·石景山期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·石景山期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（ ）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值
二、填空题
11．（2022高二下·石景山期末）离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2
则 ； ．
12．（2022高二下·石景山期末）在的展开式中，二项式系数之和为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．（2022高二下·石景山期末）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
14．（2022高二下·石景山期末）在数列中，，，，则 ．
15．（2022高二下·石景山期末）若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题：
①直线为和的“隔离直线”．
②若为和的“隔离直线”，则的范围为．
③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．
④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题
16．（2020高二上·天津月考）已知数列 是公比为2的等比数列，且 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
17．（2022高二下·石景山期末）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．
（1）求恰有2次击中目标的概率；
（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．
18．（2022高二下·石景山期末）已知函数，当时，取得极值-3．
（1）求，的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（2022高二下·石景山期末）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
20．（2022高二下·石景山期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意，故公差为，
故答案为：B.
【分析】求得，由此求得公差.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由，则当，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，求出s(t)的导数，由导数的定义计算物体在4小时末的瞬时速度s' (4 )，即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，则不同的站法为 种。故答案为：C.
【分析】由题意根据特殊位置考虑即可得到结果。
4．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以含项的系数为；
故答案为：D
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得含项的系数 .
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．
故答案为：D．
【分析】 由切点处的函数值相等求解f(5)的值，再由导数的几何意义可得f'(5)的值.
6．【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意 ， ，故 .
故答案为：B.
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，再把数值代入到概率公式计算出结果即可。
7．【答案】D
【知识点】线性相关；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对A，随机变量，若，则，即，A正确，不符合题意；
对B，线性回归直线一定经过样本点的中心，B正确，不符合题意；
对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C正确，不符合题意；
对D，设，且，则，D错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】结合二项分布的期望公式，即可求解出n，可判断A；结合线性回归方程的性质可判断B；结合相关系数的定义，可判断C；结合正态分布的对称性，可判断D.
8．【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：，
所以.
故答案为：C.
【分析】 首先利用关系式的变换整理得，进一步利用裂项相消法的应用求出 .
9．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意，函数的定义域为，
令，即，即，
设，可得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，作出简图，如图所示，
要使得函数有两个零点，
只需与的图像有两个交点，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】令，转化为，设，利用导数求得函数g (x)单调性和最值，把函数的零点转化为与的图像有两个交点，结合图像，即可求解出实数的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.
…
…
当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.
故答案为：C
【分析】 根据已知条件求得a1， d，进而是求得an，结合数列的有关性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】1；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列可知：，得；
所以；
.
故答案为：1；.
【分析】 根据分布列的性质求出参数a，再计算期望和方差的值.
12．【答案】16；256
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为256.
故答案为：①16；②256.
【分析】 根据二项式系数和公式即可求解出二项式系数之和；再令x = 1即可求出各项系数和.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为：
【分析】由求导公式和法则求出f'(x)，由题意和导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，利用二次函数的图象列出不等式，求出实数a的取值范围.
14．【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由，可得，
从而可得：，，，
故数列是周期为3的数列，
可得：
故答案为：2
【分析】 由，，n∈N*，可依次求得a2， a3， a4， ...，然后根据周期性可得a2022的值.
15．【答案】①④
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】对于①，因为当时，，，所以直线为和的“隔离直线”，所以①正确，
对于②，因为为和的“隔离直线”，所以恒成立，所以，所以，
恒成立，所以恒成立，
因为，当且仅当即时取等号，所以，
综上，所以②错误，
对于③④，设，之间的隔离直线为，即，恒成立，所以，所以，
因为（），所以（）恒成立，
当时，不合题意，
当时，符合题意，
当时，令，对称轴为，
所以只需满足，
所以且，
所以，所以，
同理可得，
所以和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为-4， 和之间有无数条“隔离直线”，且实数不唯一，所以③错误，④正确，
故答案为：①④
【分析】 根据“隔离直线”的定义，建立不等式关系，根据不等式恒成立，逐项进行判断，可得答案.
16．【答案】（1）由题意可得 ，
即 ，
解得： ，∴ ，
∴数列 的通项公式为 ．
（2） ，
= =
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等差数列的项的性质，结合等比数列的通项公式整理即可求出首项的值，由此即可求出数列的通项公式。
(2)由(1) 的结论整理得到数列的通项公式，再由等差数列和等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，
因为射手每次射击击中目标的概率是，
所以
（2）解：由题意可得，的可能取值为，
；；
，，
；
所以的分布列如下：
0 1 2 3 6
因此，
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率 ，计算求得恰有2次击中目标的概率；
(2) 由题意可得，的可能取值为， 再分别求得X取每一个值的概率，即可求得恰有两次击中目标的概率，再根据得分X的数学期望的定义，求得X的数学期望.
18．【答案】（1）解：由，
当x=1时，f（x）的极值为﹣3，
∴，解得：，经检验，符合题意
（2）解：f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，
即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，
即
由（1）知，，
由得x＜0或x＞1，由得0＜x＜1
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减
所以当x=1，
∴，即，
∴或，即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，即可求出a， b的值；
(2)问题转化为 f（x）≥m-2m2 对任意x>0恒成立，利用导数求出f (x)的最小值，从而求出实数的取值范围．
19．【答案】（1）解：男员工与女员工的人数比例为，所以抽取的5人中男员工的人数为人，女员工人数为人
（2）解：的可能取值为，
，，，
所以的分布列为：
1 2 3
数学期望为
（3）解：设这5名员工笔试成绩的平均数为，
考核成绩的平均数为，
所以，
所以.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用抽取的比例即可求出抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人，所以，随机变量X的所有可能取值为1， 2， 3，利用超几何分布列的概率计算公式即可求出随机变量的分布列和数学期望；
(3)利用方程计算公式即比较与的大小．
20．【答案】（1）解：定义域为，，所以，故曲线在点处的切线方程为：
（2）解：当时，设，则因为，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以当时，，不合要求；当时，，所以，因此不存在，不合要求；当时，设，，则，令，即，解得：，，所以当时，，所以在上单调递增，取，所以当时，，，综上：实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f'(1)，求出曲线在点处的切线方程；
(2)分类讨论，当k=1时， 设，x∈(0， +∞)，根据函数的单调性可得 ，不符合要求；当k>1时，对于x>1，有 不合题意；当k<1时， 设，， 根据函数的单调性求出实数的取值范围．
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北京市石景山区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·石景山期末）已知等差数列的通项公式为， 则它的公差是（ ）
A．-5 B．-2 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意，故公差为，
故答案为：B.
【分析】求得，由此求得公差.
2．（2022高二下·石景山期末）如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）
A．12千米/小时 B．24千米/小时
C．48千米/小时 D．64千米/小时
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由，则当，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，求出s(t)的导数，由导数的定义计算物体在4小时末的瞬时速度s' (4 )，即可得答案.
3．（2017高二下·东城期末）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（ ）
A．4种 B．12种 C．24种 D．120种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，则不同的站法为 种。故答案为：C.
【分析】由题意根据特殊位置考虑即可得到结果。
4．（2022高二下·石景山期末）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．21 B．－21 C．35 D．－35
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以含项的系数为；
故答案为：D
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得含项的系数 .
5．（2022高二下·石景山期末）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A．5，-1 B．-1，5 C．-1，0 D．0，-1
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．
故答案为：D．
【分析】 由切点处的函数值相等求解f(5)的值，再由导数的几何意义可得f'(5)的值.
6．（2020高二下·哈尔滨期中）从 中任取2个不同的数，事件 “取到的2个数之和为偶数”，事件 “取到两个数均为偶数”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意 ， ，故 .
故答案为：B.
【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出事件的个数，再把数值代入到概率公式计算出结果即可。
7．（2022高二下·石景山期末）下列命题错误的是（ ）
A．随机变量，若，则
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．设，且，则
【答案】D
【知识点】线性相关；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对A，随机变量，若，则，即，A正确，不符合题意；
对B，线性回归直线一定经过样本点的中心，B正确，不符合题意；
对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C正确，不符合题意；
对D，设，且，则，D错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】结合二项分布的期望公式，即可求解出n，可判断A；结合线性回归方程的性质可判断B；结合相关系数的定义，可判断C；结合正态分布的对称性，可判断D.
8．（2022高二下·石景山期末）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：，
所以.
故答案为：C.
【分析】 首先利用关系式的变换整理得，进一步利用裂项相消法的应用求出 .
9．（2022高二下·石景山期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意，函数的定义域为，
令，即，即，
设，可得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，作出简图，如图所示，
要使得函数有两个零点，
只需与的图像有两个交点，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】令，转化为，设，利用导数求得函数g (x)单调性和最值，把函数的零点转化为与的图像有两个交点，结合图像，即可求解出实数的取值范围.
10．（2022高二下·石景山期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（ ）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.
…
…
当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.
故答案为：C
【分析】 根据已知条件求得a1， d，进而是求得an，结合数列的有关性质，逐项进行判断，可得答案.
二、填空题
11．（2022高二下·石景山期末）离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2
则 ； ．
【答案】1；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列可知：，得；
所以；
.
故答案为：1；.
【分析】 根据分布列的性质求出参数a，再计算期望和方差的值.
12．（2022高二下·石景山期末）在的展开式中，二项式系数之和为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
【答案】16；256
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为256.
故答案为：①16；②256.
【分析】 根据二项式系数和公式即可求解出二项式系数之和；再令x = 1即可求出各项系数和.
13．（2022高二下·石景山期末）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为：
【分析】由求导公式和法则求出f'(x)，由题意和导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，利用二次函数的图象列出不等式，求出实数a的取值范围.
14．（2022高二下·石景山期末）在数列中，，，，则 ．
【答案】2
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由，可得，
从而可得：，，，
故数列是周期为3的数列，
可得：
故答案为：2
【分析】 由，，n∈N*，可依次求得a2， a3， a4， ...，然后根据周期性可得a2022的值.
15．（2022高二下·石景山期末）若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题：
①直线为和的“隔离直线”．
②若为和的“隔离直线”，则的范围为．
③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．
④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】①④
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】对于①，因为当时，，，所以直线为和的“隔离直线”，所以①正确，
对于②，因为为和的“隔离直线”，所以恒成立，所以，所以，
恒成立，所以恒成立，
因为，当且仅当即时取等号，所以，
综上，所以②错误，
对于③④，设，之间的隔离直线为，即，恒成立，所以，所以，
因为（），所以（）恒成立，
当时，不合题意，
当时，符合题意，
当时，令，对称轴为，
所以只需满足，
所以且，
所以，所以，
同理可得，
所以和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为-4， 和之间有无数条“隔离直线”，且实数不唯一，所以③错误，④正确，
故答案为：①④
【分析】 根据“隔离直线”的定义，建立不等式关系，根据不等式恒成立，逐项进行判断，可得答案.
三、解答题
16．（2020高二上·天津月考）已知数列 是公比为2的等比数列，且 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）由题意可得 ，
即 ，
解得： ，∴ ，
∴数列 的通项公式为 ．
（2） ，
= =
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等差数列的项的性质，结合等比数列的通项公式整理即可求出首项的值，由此即可求出数列的通项公式。
(2)由(1) 的结论整理得到数列的通项公式，再由等差数列和等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
17．（2022高二下·石景山期末）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．
（1）求恰有2次击中目标的概率；
（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．
【答案】（1）解：记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，
因为射手每次射击击中目标的概率是，
所以
（2）解：由题意可得，的可能取值为，
；；
，，
；
所以的分布列如下：
0 1 2 3 6
因此，
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率 ，计算求得恰有2次击中目标的概率；
(2) 由题意可得，的可能取值为， 再分别求得X取每一个值的概率，即可求得恰有两次击中目标的概率，再根据得分X的数学期望的定义，求得X的数学期望.
18．（2022高二下·石景山期末）已知函数，当时，取得极值-3．
（1）求，的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，
当x=1时，f（x）的极值为﹣3，
∴，解得：，经检验，符合题意
（2）解：f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，
即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，
即
由（1）知，，
由得x＜0或x＞1，由得0＜x＜1
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减
所以当x=1，
∴，即，
∴或，即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，即可求出a， b的值；
(2)问题转化为 f（x）≥m-2m2 对任意x>0恒成立，利用导数求出f (x)的最小值，从而求出实数的取值范围．
19．（2022高二下·石景山期末）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）解：男员工与女员工的人数比例为，所以抽取的5人中男员工的人数为人，女员工人数为人
（2）解：的可能取值为，
，，，
所以的分布列为：
1 2 3
数学期望为
（3）解：设这5名员工笔试成绩的平均数为，
考核成绩的平均数为，
所以，
所以.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用抽取的比例即可求出抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人，所以，随机变量X的所有可能取值为1， 2， 3，利用超几何分布列的概率计算公式即可求出随机变量的分布列和数学期望；
(3)利用方程计算公式即比较与的大小．
20．（2022高二下·石景山期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：定义域为，，所以，故曲线在点处的切线方程为：
（2）解：当时，设，则因为，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以当时，，不合要求；当时，，所以，因此不存在，不合要求；当时，设，，则，令，即，解得：，，所以当时，，所以在上单调递增，取，所以当时，，，综上：实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f'(1)，求出曲线在点处的切线方程；
(2)分类讨论，当k=1时， 设，x∈(0， +∞)，根据函数的单调性可得 ，不符合要求；当k>1时，对于x>1，有 不合题意；当k<1时， 设，， 根据函数的单调性求出实数的取值范围．
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