北京市顺义区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·顺义期末）的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出 的值 。
2．（2022高二下·顺义期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式展开式的通项为，
所以，即的系数为6。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出 的系数 。
3．（2022高二下·顺义期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意可得，解得，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
4．（2022高二下·顺义期末）设函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】函数的值；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为函数，所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的乘除法运算法则，从而得出导函数，再利用代入法得出导函数的值。
5．（2022高二下·顺义期末）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图可知函数在点的切线斜率小于0，即，
在点的切线斜率等于0，即，
在点的切线斜率大于0，即，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，再结合比较法得出结论正确的选项。
6．（2022高二下·顺义期末）已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】3位居民依次选择检测点，方法数为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出监测点的选择共有的种数。
7．（2022高二下·顺义期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列前n项和公式，进而得出该问题中牛主人应偿还的斗粟数。
8．（2022高二下·顺义期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，
由图可知，
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故答案为：C
【分析】利用空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系图， 分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，进而得出内空气中微生物密度变化的平均速度最快。
9．（2022高二下·顺义期末）已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，
所以，
因为数列为各项均为整数的等差数列，
所以公差也为正整数，
所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，
此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，
所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，
所以的最小值为11。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出，再利用数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，进而得出d的取值，从而得出此时对应的n的取值，进而得出的取值，从而得出的最小值。
10．（2022高二下·顺义期末）已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．一定存在极小值点
C．若，则是函数的极小值点
D．若，则
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，是极大值点，有两个不等实根，
，即，
设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点．B正确，不符合题意；
由于时，，因此A正确，不符合题意；
若，则，，的两解互为相反数，即，C正确，不符合题意；
时，，，D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，再利用 是函数的极大值点，则 有两个不等实根，再利用判别式法得出，设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点，再利用函数求极限的方法，由于时，，若，则，，的两解互为相反数，即，当时，，，从而找出结论不正确的选项。
11．（2022高二下·顺义期末）已知等差数列，，则 .
【答案】5
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第三项的值。
12．（2022高二下·顺义期末）某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有 种.
【答案】6
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合组合数求计数问题的方法，进而得出不同的邀请方法种数。
13．（2022高二下·顺义期末）已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为 .
【答案】78%
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：。
故答案为：78%。
【分析】利用已知条件结合比例的方法和互斥事件加法求概率公式，进而得出购买一件该品牌产品为优秀品的概率 。
14．（2022高二下·顺义期末）函数的最小值为 .
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，由得，得，
在上递减，在上递增，
所以的极小值也是最小值为。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，从而得出函数的最小值。
15．（2022高二下·顺义期末）已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论：
①；
② 数列一定是递增数列；
③ 数列的通项公式可以是；
④ 数列的通项公式可以是.
所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列满足不等式（其中），
则有（其中），
① 由 ，可得.判断正确；
② 当 时，满足，数列为常数列。
则数列不一定是递增数列.判断错误；
③ 当 时，由，可得，
即不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
④ 当 时，
则不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
故答案为：①③④
【分析】利用已知条件结合变形的方法得出，再利用已知条件结合常数列的定义和数列的单调性，得出数列不一定是递增数列，再结合已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式可以是，再利用作差法结合已知条件得出数列的通项公式可以是，进而找出正确结论的序号。
16．（2022高二下·顺义期末）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.
（1）求n的值；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.
【答案】（1）解：的展开式的通项公式为.
因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以，解得：
（2）解：要求展开式中各项系数的和，只需令代入可得：.
即展开式中各项系数的和为1024.
（3）解：要求展开式中的常数项，只需在中，令，而，所以无解，即展开式中不存在常数项.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的第二项和第五项的值，从而得出n的值。
（2）利用已知条件结合赋值法，进而得出展开式中各项的系数的和。
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，进而判断出展开式中不存在常数项。
17．（2022高二下·顺义期末）已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最值.
【答案】（1）解：定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值， 从而得出函数在区间上的最值。
18．（2022高二下·顺义期末）下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生数为14人.
分数段
频率 0.12 0.16 0.2 0.18 0.14 0.1 a
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现从分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生有4人，现从分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：高二年级某班学生共有人，
因为，所以，
所以测试成绩在分数段内的人数为人
（2）解：由（1）知在分数段内的学生有5人，设男生有人，
若抽出2人这2人都是男生的概率为，
则，解得，所以在分数段内男生有4人.
（3）解：在分数段内的学生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2
P
【知识点】概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布表中的数据，再结合频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出高二年级某班学生人数，再利用频率之和等于1，进而得出a的值，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出测试成绩在分数段内的人数。
（2）利用已知条件结合 （1）知在分数段内的学生有5人 ，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出 分数段内男生的人数。
（3） 利用已知条件结合频数等于频率乘以样本容量的公式得出在分数段内的学生人数，进而得出男生的人数，从而得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．（2022高二下·顺义期末）已知数列为等差数列，前n项和为，数列是以为公比的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）数列满足，记数列的前n项和为，求的最小值.
【答案】（1）解：，因为，所以，
故，
所以，故，
又题意得：，
所以，解得：或-5（舍去），
因为，所以，
所以
（2）解：数列的前n项和
（3）解：，
可以看出为递增数列，且当时，，当时，，当时，，
所以当或5时，取得最小值，最小值为
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式得出公差，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等比数列的通项公式，进而得出满足要求的公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列满足，从而得出数列的通项公式，再利用数列的单调性，进而得出当或5时，取得最小值，再结合数列求和的方法得出数列前n项和的最小值。
20．（2022高二下·顺义期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.
（3）证明：.
【答案】（1）解：，，又，
所以切线方程为
（2）解：，由题意在上恒成立，
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以
（3）证明：由（1），时，，递减，时，，递增，
所以，
所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用 ，由题意在上恒成立，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（3） 由（1）得出，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而证出不等式成立。
21．（2022高二下·顺义期末）若存在某常数M（或m），对于一切，都有（或），则称数列的上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”.
（1）已知4个数列的通项公式如下：①；②；③；④.请写出其中“有界数列”的序号；
（2）若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；
（3）在（2）的条件下，记数列的前n项和为，是否存在正整数k，使，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：①中随着的增大而增大，无“上界”；②中随着的增大而减小，且当时有最大值5，且恒成立，故为“有界数列”；③中随着的增大而增大，无“上界”；④中或，为“有界数列”；故“有界数列”的序号为②④
（2）解：，随着的增大而增大，且，，故存在常数使得，常数1使得，故数列为“有界数列”
（3）解：，故，若要，则，即，因为 ，，故当时，都有成立，故若存在正整数k，使，都有成立，则
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数列的单调性，从而得出数列的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而结合“有界数列”的定义，进而写出其中“有界数列”的序号。
（2）利用已知条件结合数列的单调性，进而结合“有界数列”的定义且，，故存在常数使得，常数1使得，故数列为“有界数列”。
（3）利用已知条件结合数列的通项公式和分组求和的方法，进而得出，若要，则，再利用，，故当时，都有成立，故若存在正整数k，使，都有成立，从而得出实数k的取值范围。
1 / 1北京市顺义区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·顺义期末）的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
2．（2022高二下·顺义期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
3．（2022高二下·顺义期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
4．（2022高二下·顺义期末）设函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．（2022高二下·顺义期末）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·顺义期末）已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
7．（2022高二下·顺义期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
8．（2022高二下·顺义期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·顺义期末）已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2022高二下·顺义期末）已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．一定存在极小值点
C．若，则是函数的极小值点
D．若，则
11．（2022高二下·顺义期末）已知等差数列，，则 .
12．（2022高二下·顺义期末）某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有 种.
13．（2022高二下·顺义期末）已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为 .
14．（2022高二下·顺义期末）函数的最小值为 .
15．（2022高二下·顺义期末）已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论：
①；
② 数列一定是递增数列；
③ 数列的通项公式可以是；
④ 数列的通项公式可以是.
所有正确结论的序号是 .
16．（2022高二下·顺义期末）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.
（1）求n的值；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.
17．（2022高二下·顺义期末）已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最值.
18．（2022高二下·顺义期末）下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生数为14人.
分数段
频率 0.12 0.16 0.2 0.18 0.14 0.1 a
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现从分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生有4人，现从分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望.
19．（2022高二下·顺义期末）已知数列为等差数列，前n项和为，数列是以为公比的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）数列满足，记数列的前n项和为，求的最小值.
20．（2022高二下·顺义期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.
（3）证明：.
21．（2022高二下·顺义期末）若存在某常数M（或m），对于一切，都有（或），则称数列的上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”.
（1）已知4个数列的通项公式如下：①；②；③；④.请写出其中“有界数列”的序号；
（2）若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；
（3）在（2）的条件下，记数列的前n项和为，是否存在正整数k，使，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出 的值 。
2．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式展开式的通项为，
所以，即的系数为6。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出 的系数 。
3．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】依题意可得，解得，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
4．【答案】B
【知识点】函数的值；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为函数，所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的乘除法运算法则，从而得出导函数，再利用代入法得出导函数的值。
5．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图可知函数在点的切线斜率小于0，即，
在点的切线斜率等于0，即，
在点的切线斜率大于0，即，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，再结合比较法得出结论正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】3位居民依次选择检测点，方法数为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出监测点的选择共有的种数。
7．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列前n项和公式，进而得出该问题中牛主人应偿还的斗粟数。
8．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，
由图可知，
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故答案为：C
【分析】利用空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系图， 分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，进而得出内空气中微生物密度变化的平均速度最快。
9．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，
所以，
因为数列为各项均为整数的等差数列，
所以公差也为正整数，
所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，
此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，
所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，
所以的最小值为11。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出，再利用数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，进而得出d的取值，从而得出此时对应的n的取值，进而得出的取值，从而得出的最小值。
10．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，是极大值点，有两个不等实根，
，即，
设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点．B正确，不符合题意；
由于时，，因此A正确，不符合题意；
若，则，，的两解互为相反数，即，C正确，不符合题意；
时，，，D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，再利用 是函数的极大值点，则 有两个不等实根，再利用判别式法得出，设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点，再利用函数求极限的方法，由于时，，若，则，，的两解互为相反数，即，当时，，，从而找出结论不正确的选项。
11．【答案】5
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第三项的值。
12．【答案】6
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合组合数求计数问题的方法，进而得出不同的邀请方法种数。
13．【答案】78%
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：。
故答案为：78%。
【分析】利用已知条件结合比例的方法和互斥事件加法求概率公式，进而得出购买一件该品牌产品为优秀品的概率 。
14．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，由得，得，
在上递减，在上递增，
所以的极小值也是最小值为。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，从而得出函数的最小值。
15．【答案】①③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列满足不等式（其中），
则有（其中），
① 由 ，可得.判断正确；
② 当 时，满足，数列为常数列。
则数列不一定是递增数列.判断错误；
③ 当 时，由，可得，
即不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
④ 当 时，
则不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
故答案为：①③④
【分析】利用已知条件结合变形的方法得出，再利用已知条件结合常数列的定义和数列的单调性，得出数列不一定是递增数列，再结合已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式可以是，再利用作差法结合已知条件得出数列的通项公式可以是，进而找出正确结论的序号。
16．【答案】（1）解：的展开式的通项公式为.
因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以，解得：
（2）解：要求展开式中各项系数的和，只需令代入可得：.
即展开式中各项系数的和为1024.
（3）解：要求展开式中的常数项，只需在中，令，而，所以无解，即展开式中不存在常数项.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的第二项和第五项的值，从而得出n的值。
（2）利用已知条件结合赋值法，进而得出展开式中各项的系数的和。
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，进而判断出展开式中不存在常数项。
17．【答案】（1）解：定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为4
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值， 从而得出函数在区间上的最值。
18．【答案】（1）解：高二年级某班学生共有人，
因为，所以，
所以测试成绩在分数段内的人数为人
（2）解：由（1）知在分数段内的学生有5人，设男生有人，
若抽出2人这2人都是男生的概率为，
则，解得，所以在分数段内男生有4人.
（3）解：在分数段内的学生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2
P
【知识点】概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布表中的数据，再结合频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出高二年级某班学生人数，再利用频率之和等于1，进而得出a的值，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出测试成绩在分数段内的人数。
（2）利用已知条件结合 （1）知在分数段内的学生有5人 ，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出 分数段内男生的人数。
（3） 利用已知条件结合频数等于频率乘以样本容量的公式得出在分数段内的学生人数，进而得出男生的人数，从而得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．【答案】（1）解：，因为，所以，
故，
所以，故，
又题意得：，
所以，解得：或-5（舍去），
因为，所以，
所以
（2）解：数列的前n项和
（3）解：，
可以看出为递增数列，且当时，，当时，，当时，，
所以当或5时，取得最小值，最小值为
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式得出公差，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等比数列的通项公式，进而得出满足要求的公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列满足，从而得出数列的通项公式，再利用数列的单调性，进而得出当或5时，取得最小值，再结合数列求和的方法得出数列前n项和的最小值。
20．【答案】（1）解：，，又，
所以切线方程为
（2）解：，由题意在上恒成立，
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以
（3）证明：由（1），时，，递减，时，，递增，
所以，
所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用 ，由题意在上恒成立，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（3） 由（1）得出，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而证出不等式成立。
21．【答案】（1）解：①中随着的增大而增大，无“上界”；②中随着的增大而减小，且当时有最大值5，且恒成立，故为“有界数列”；③中随着的增大而增大，无“上界”；④中或，为“有界数列”；故“有界数列”的序号为②④
（2）解：，随着的增大而增大，且，，故存在常数使得，常数1使得，故数列为“有界数列”
（3）解：，故，若要，则，即，因为 ，，故当时，都有成立，故若存在正整数k，使，都有成立，则
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数列的单调性，从而得出数列的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而结合“有界数列”的定义，进而写出其中“有界数列”的序号。
（2）利用已知条件结合数列的单调性，进而结合“有界数列”的定义且，，故存在常数使得，常数1使得，故数列为“有界数列”。
（3）利用已知条件结合数列的通项公式和分组求和的方法，进而得出，若要，则，再利用，，故当时，都有成立，故若存在正整数k，使，都有成立，从而得出实数k的取值范围。
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